86 СУЩНОСТЬ МАТЕМАТИКИ И ЕЕ ФУНКЦИИ
многие древние геометры знали и использовали кривые — спирали, квадратрисы, конхоиды, циссоиды и т. д. — для решения различ ных, и довольно сложных, задач.
Софист Гиппий Элидский, например, успешно решил задачу
89
удвоения куба с помощью своей квадратрисы . Также с помощью
вышеупомянутой непрерывной пропорции а:х=х:у=у:2а |
мы |
легко получаем требуемый результат посредством геометрической
90
конструкции из сечения параболы и гиперболы . И сразу возникает вопрос: почему Платон и Евклид отказывались от использования подобных кривых?91 Почему они ограничивались самыми простыми
имеющие более разнообразное и вынужденное происхождение и возни кающие в связи с более несимметричными поверхностями и от комплекс ных движений... В настоящее время считается серьезной ошибкой в геометрии искать решение плоскостной задачи с помощью конусов или линейных кривых... В связи с существованием этих различных классов задач, геометры прошлого, которые стремились на плоскости решить вышеуказанную проблему трисекции угла, которая по своей природе есть проблема тела, не смогли добиться успеха. Ибо они были еще незнакомы с коническими сечениями и были сбиты с толку по этой причине. Но позже с помощью конических сечений они смогли разбить угол на три секции».
См.: Чистяков. Три знаменитые задачи древности. С. 68-70.
Из а : χ = χ : у следует парабола у = х2/а; из а : χ = у : 2а следует гипербола
у= 2а2/х\ пересечение этих двух кривых дает результат.
Ине только Платон и Евклид. А. Раик пишет: «Только геометрическое изложение и построение признавалось официальной наукой, считалось незыблемым и строгим. Причем весьма существенным является тот факт, что геометрическое построение понималось как построение с помощью прямых и окружностей, самых совершенных геометрических образов. Таким образом, можно сказать, что древнегреческая математика пред-
Сущность математических объектов 87
элементами, что не позволяло им найти решения некоторых важных математических задач? Можно спросить: чем квадратриса хуже круга? Не можем ли мы видеть и в более сложных кривых идеальные, неизменные геометрические сущности? На этот вопрос Платон и Евклид ответили бы, что есть большая разница между этими фигурами: круг — это простая, основная, «интуитивная», даже «архетипическая» форма, а квадратриса — это что-то исскуственное, созданное человеком.
\У ьг
ГА
/\к
\/ s
ОА
Это кривая, определяемая кинематически: две прямых линии двигаются одновременно и равномерно, линия а поворачивается вокруг точки О, линия Ъ откладывается параллельно линии ОА вниз, и соответствующая точка пересечения линии а с линией Ъ дает пункт Ρ квадратрисы К. В отличие от круга, который легко можно представить как существующий «вечно» и независимо от человека, квадратриса является искусственной конструкцией, человеческим изобретением. Каждый человек интуитивно понимает, что такое круг, но понять форму квадратрисы намного сложнее без дополни тельных разъяснений.
Но, возможно, это объяснение является чрезмерно рациональ ным и психологическим. Прокл предлагает более символическую трактовку: «Прямая линия является символом несгибаемого, неиз менного, нетленного, неустанного и всемогущего Провидения, которое присутствует во всем, а круг и круговое движение символи зируют деятельность, которая возвращается к себе, концентри руется на себе, и контролирует все в соответствии с одним умо-
ставляла собой теорию построения с помощью циркуля и линейки» (Раик. Очерки по истории математики в древности. С. 158).
88 СУЩНОСТЬ МАТЕМАТИКИ И ЕЕ ФУНКЦИИ
постигаемым Пределом. Поэтому Демиургический Нус установил эти два принципа в себе, прямой и круговой, и произвел из себя две монады, одна из которых действует круговым образом, чтобы усовершенствовать все интеллигибельные сущности, а другая движется по прямой, чтобы привести к рождению всех чувственных вещей. Поскольку душа промежуточна между чувственным и умопостигаемым, она движется по кругу постольку, поскольку
находится в союзе с умопостигаемой природой, но, поскольку она
~ 92
руководит чувственным, осуществляет свои промысл по прямой» . Процитируем также Чернисса, который дает более глубокое объяс нение этого платоновского предубеждения против использования механических приборов: «Его [Платона] собственный интерес и его желание вызвать интерес у других, объясняются историей критики, которую он предпринял по отношению к попытке решить геометрическую задачу с помощью механического приспособления. Его занимало не практическое решение проблемы, не виртуозность решения, которая есть радость для виртуоза и его аудитории, не математическая наука ради самой себя, но математика как пропедевтика к философии, ибо он верил, что изучение этой науки является лучшим средством подготовки ума к абстрактному мышлению, которым только подлинно реальные объекты, идеи, могут быть достигнуты, запомнены и осмыслены. Вот почему он был настолько озабочен методом: достоинство и предназначение, которые он видел в математике, были бы совершенно потеряны и извращены, если бы практиковались таким образом, чтобы низводить ум до частностей, а не возносить к бестелесным и неизменным реалиям» .
Стремление Платона и Евклида допускать только «идеальные конструкции» не означает, конечно же, что они смогли осуществить эту цель полностью. Фаулер замечает, что не все действия в
Прокл Диадох. Комментарий к первой книге «Начал» Евклида. Дефиниции 108-109.
Cherniss. The Riddle of the Early Academy. P. 66.
Сущность математических объектов 89
«Началах» могут быть выполнены с помощью линейки и циркуля (см. пропозиции 5, 11, 12 и 18 в книге XII). «Хотя эти четыре члена пропорции не конструируются с помощью линейки и циркуля, их существование принимается без каких-либо ограничений»94.
Бертран Рассел также перечислил некоторые ошибки Евклида, например: в приложении 1 в «Началах» по умолчанию пред полагается, что круги пересекают друг друга, но это не само собой
разумеется, и если они не пересекаются, вся конструкция не
95
работает . Или возьмем приложение 4: Евклид полагает, что можно один треугольник «поместить» в другой треугольник, а ведь движение предполагает материальные тела96. Но такая критика,
Fowler. The Mathematics of Plato's Academy. P. 288. Надо также согласиться с Фаулером, что ситуация часто оказывается сложнее и разнообразнее, если мы не цепляемся за общепринятые представления. Так, Фаулер заме чает: «Широко распространено мнение, что греческая геометрия была по умолчанию ограничена построениями с помощью линейки и циркуля. На самом деле, наши данные намного разнообразнее, и репертуар основных конструкций, безусловно, должен также включать лемя/я-конструкции, в которых линия проводится, "ограняя" или "наклоняясь" (neuein) в сторону данной точки (то есть проходя через нее) — и перехватывая две данные кривые или прямые в данном отрезке» (Там же. Р. 283). Но все-таки нельзя не признать, что стремление Платона и Евклида ограничить допустимые конструкции очевидно.
«Совершенно не очевидно, что круги, которые нам нужно построить, пересекаются, и если они не пересекаются, то все утверждение неверно» (Russell. The principles of mathematics. P. 411).
Шопенгауэр проницательно замечает: «Меня удивляет, что никто не ставил под сомнение скорее восьмую аксиому [вместо аксиомы парал лельности]: "Фигуры, совпадающие друг с другом при наложении, равны" [у Евклида: "Совмещающиеся друг с другом равны между собой" — на самом деле это аксиома 7]. Ведь совпадать друг с другом при наложении
— это либо тавтология, либо нечто совершенно эмпирическое и относящееся не к чистому созерцанию, а к внешнему чувственному опыту. Здесь предполагается подвижность фигур; но подвижное в пространстве — это исключительно материя, и, таким образом, ссылка на взаимное нало жение покидает чистое пространство, единственную стихию геометрии, для того чтобы перейти в область материального и эмпирического» (Шопенгауэр. Мир как воля и представление. Т. II. С. 108). Позже довольно
90 СУЩНОСТЬ МАТЕМАТИКИ И ЕЕ ФУНКЦИИ
естественно, не принижает заслуг Платона, Евклида и других древ них авторов, впервые поставивших вопрос о разъяснении сущности и принципов функционирования математических объектов .
похоже выразился Рассел: «Говорить о движении — значит подразумевать, что наши треугольники не пространственные, но материальные. Поскольку точка в пространстве имеет некое положение и не может менять его, как леопард не может менять свои пятна, движение точки в пространстве — это фантом, непосредственно противоречащий закону идентичности, это гипотеза, что данная точка может быть сначала одной точкой, а потом другой. Следовательно, движение, в обычном смысле, возможно только для материи, а не для пространства» (Russell. The principles of mathematics. P. 411). Интересно, что уже Прокл заметил эту трудность: «Но если объекты геометрии находятся за пределами материи, ее идеи чисты и отделены от объектов чувств, то никто из них не будет иметь никаких частей, или тел, или величин. Поскольку идеи могут иметь величину, объем и протяженность в принципе только через материю, которая является их вместилищем, вместилищем, которое содержит в себе неделимое как делимое, не имеющее протяженности как протяженное, и неподвижное как движение» (Прокл Диадох. Комментарий к первой книге «Начал» Евклид. Введение. Ч. II, 50). Ср. также размышления Гоббса: «По всему этому легко можно постичь, что Евклид в своих определениях точки, линии и поверхности не подразумевал, что точка должна быть ничем или что линия не должна иметь широту, а поверхность толщину, ибо, если бы он это сделал, то его предложения не только неразумно было бы допустить, но и невозможно было бы выполнить. Поскольку линии проводятся лишь движением, а движение присуще только телу. Следовательно, он подразумевал, что размеры точки, ширина линии и толщина поверхности не должны быть приняты во внимание, то есть не будут учитываться при доказательстве любых теорем о величине тел, или длине поверхностей, или объеме фигур» (Hobbes. Principles. P. 211).
Мы, конечно, затронули только некоторые аспекты вопроса о характере математических объектов и самой математики как науки. Одна из значительных сложностей заключается в том, что математика очень успешно применяется в естествознании. Здесь трудно согласиться с мнением, что математика является просто результатом абстрагирования или только игрой. Приведем хотя бы одну цитату на эту тему: «Вопрос об истинности математики нельзя обойти путем противопоставления причудливой математики правдивой науке. Мы не сделаем этого легкого шага, потому что математика — это не просто игра. Многие из ведущих модернистов, такие как Давид Гильберт и Эмми Нетер, явно презирали эту