Сущность математических объектов |
81 |
Можно вспомнить и уже цитировавшийся отрывок |
из |
«Платоника» Эратосфена81: «Сам Платон порицал друзей Евдокса, Архита и Менехма, которые хотели свести удвоение куба к механическим построениям, ибо они думали получить две средние пропорциональные не из теоретических соображений; но ведь таким образом уничтожается и гибнет благо геометрии и этим путем геометрия возвращается обратно к чувственному, вместо того чтобы подыматься выше этого и твердо держаться вечных,
нематериальных образов, пребывающий в коих бог есть вечный
82
бог» . Итак, по Платону, никакие механические способы в гео метрии не допустимы83.
От сочинения Эратосфена сохранились лишь фрагменты. В трактате «Платоник» (Platonikos) Эратосфен обращается к математическим и музы кальным основам платоновской философии.
Ван дер Варден. Пробуждающаяся наука. С. 224. На основании своих исследований Ван дер Варден описывает ситуацию следующим образом: «По-видимому, в "Платонике", возражая Архиту, Евдоксу и Менехму, Платон сказал: "Вы нашли механические решения? В этом нет никакого искусства; даже и я, совсем не геометр, могу это сделать: для этого нужен только схематический чертеж, даже нет надобности в предварительном геометрическом решении задачи. Вот, взгляни... Но если поступать так, то все благо геометрии совершенно разрушается, так как внимание от чистой геометрии отвращается к материальным предметам"...» (С. 226).
Томас Хит так описывает это убеждение Платона: «Вполне вероятно, что Платон мог видеть в Архите и Менехме людей, чьи построения были чрезмерно механистичными, поскольку в них задействовались более сложные средства, чем в обычных, выполненных с помощью прямой и круга; кроме того, даже эти обычные построения, которых одних было вполне достаточно для операций "возведения в квадрат", "наложения (прямоугольника)" и "присоединения", согласно Платону, «е являются частью теоретической геометрии... Есть признаки того, что это ограни чение началось еще до Платона... хотя влияние Платона, несомненно, помогло сохранить это ограничение в силе; прочие инструменты, а также использование в построениях кривых более высокого порядка, чем круги, были явным образом запрещены в тех случаях, когда можно было обойтись циркулем и линейкой» (Heath. A History of Greek Mathematics. Vol. 1. P. 288). H. Бурбаки также описывает ситуацию следующим образом: «Поздние традиции, не заслуживающие большого доверия, возводят к
82 СУЩНОСТЬ МАТЕМАТИКИ И ЕЕ ФУНКЦИИ
Интересно, что Евклид перенял это требование Платона: в «Началах» не используются никакие материальные средства, а присутствуют только чисто теоретические размышления . Правда, Евклид применяет выражения из обыденной жизни, — например, в постулате 3 он говорит: «Допустим, что из всякого центра и всяким раствором может быть описан круг». Но слово «описан» — это только наглядная (по мнению Платона, даже «забавная») манера говорить:
Платону введение первой классификации таких построений, которым была предназначена долгая и блестящая карьера: по-видимому, по сообра жениям более философского, чем математического, характера он выделил построения с помощью "циркуля и линейки", т. е. такие, в которых в качестве вспомогательных кривых берутся только прямые и окружности. В связи с этим принципом Платону приписывают также классификацию плоских кривых на "плоские геометрические места" (прямая и круг), "пространственные геометрические места" (конические сечения, полу чаемые как плоские сечения пространственного тела, конуса); все остальные кривые назывались "τοποίγραμμίκοί". Любопытно, что влияние этой классификации сказалось еще на Декарте...» (Бурбаки. Очерки по истории математики. С. 87).
Тесная связь между платоновской философией и пониманием математики, с одной стороны, и конструкцией «Начал» — с другой, понятна, если иметь в виду, что Евклид учился в Академии Платона, использовал в своем труде важные достижения математиков, работавших в Академии, и закончил свою книгу изложением так называемых платоновских тел. «В этом смысле... Евклида можно считать платоником» (Родин. Математика Евклида в свете философии Платона и Аристотеля. С. 195). Однако ради корректности следует отметить, что у нас нет прямых источников, подтверждающих тесную связь Евклида с Академией. Но Томас Хит в своем большом издании «Начал» Евклида приводит следующие аргументы: «Наиболее вероятно, что Евклид получил математическое образование в Афинах от учеников Платона, ибо большинство геометров, которые могли бы учить его, были из этой школы, и именно в Афинах жили и преподавали более старшие авторы, писавшие об элементах, а также другие математики, от которых зависели евклидовские "Начала". Возможно, он сам был платоником, но этого нельзя заключить из заявлений Прокла на эту тему» (Heath. The thirteen books of Euclid's Ele ments. P. 2).
Сущность математических объектов 83
Но кто хоть немного знает толк в геометрии, не будет оспа ривать, что наука эта полностью противоположна тем словес ным выражениям, которые в ходу у занимающихся ею... Они выражаются как-то очень забавно и принужденно. Словно они заняты практическим делом и имеют в виду интересы этого дела, они употребляют выражения построим четырех угольник, проведем линию, произведем наложение и так далее: все это так и сыплется из их уст. А между тем все это наука, которой занимаются ради познания85.
Платон прав. На самом деле вышеупомянутый евклидовский постулат 3 выражает следующее: «Для любой (идеальной) точки и для любого (идеального) отрезка существует (идеальный) круг, центром которого является данная точка и радиусом которого является данный отрезок». В своих «Началах» Евклид ничего не «рисует» или «конструирует». Он лишь доказывает на основании своих аксиом (постулатов), что различные геометрические формы, а также свойства и соотношения, идеально существуют*6. Например, предложение 1 говорит о том, что на основании постулата 1, постулата 3, определения 15 и аксиомы 1 можно сконструировать
Государство. 527а-Ь. Интересно при этом высказывание Платона, что словесные выражения употребляются «забавно и принужденно», т. е. математик не может обойтись без таких «забавных» выражений. «Платон не объясняет источник этой принужденности, находится ли она в природе самого предмета или в природе того, кто им занимается. Возможно, причина в них обоих. Если кто-то смотрит на солнце, его глазам будет больно. Поэтому надо изучать солнце с помощью теней и отражений. По аналогии, мы должны использовать неподходящий язык при изучении математики» (Benno, Mueller. Plato and mathematics. S. 16. Примеч. 12).
Мордухай-Болтовской подчеркивает: «У Евклида нет термина теорема; под названием "предложение" стоят как теоремы, так и то, что мы сейчас назвали бы задачами на построение. Но для Евклида это больше чем задачи на построение; это доказательство существования. Оно играет такую же роль, как у нас, например, доказательство существования интеграла от непрерывной функции, и поэтому входит в цепь следующих друг за другом предложений» (Мордухай-Болтовской. Комментарии к книге I «Начал». С. 256).
84 СУЩНОСТЬ МАТЕМАТИКИ И ЕЕ ФУНКЦИИ
(«построить») равносторонний треугольник, но на самом деле ничего не «конструируется»: текст лишь демонстрирует «идеальное существование» таких треугольников на базе аксиом.
Рассмотрим следующий пример. Дано: точка А и отрезок а. Задача: от точки А провести отрезок Ь, равный отрезку а. На практике мы применяем для этого циркуль: измеряем данный отрезок а циркулем, затем опять с помощью циркуля отмеряем от точки А требуемое расстояние. Но этот производимый вручную процесс был недопустим для Платона и Евклида. Можно ли выполнить это задание без циркуля — только на основании аксиом? Да, можно, и в предложении 2 первой книги «Начал» Евклид доказывает это. При этом мы еще раз подчеркиваем, что, хотя Евклид говорит «отложим», «продолжим» и т. д., в реальности ничего не «рисуется» и не «конструируется». Рисунки, присутст вующие в «Началах», — это всего лишь пособия, вспомогательные средства для малоопытного читателя. Текст Евклида предполагает чисто теоретическое размышление, основанное только на аксиомах и уже доказанных теоремах (интересно отметить, что каждый шаг евклидовских рассуждений опирается на определенные постулат, аксиому или определение!). При условии принятия аксиомати ческой базы его положения логически бесспорны.
Рассмотрение евклидовского доказательства в оригинале помо жет нам лучше увидеть, как Платон и Евклид понимали и приме няли чисто мыслительные, идеальные математические объекты :
Предложение 2:
От данной точки отложить прямую, равную данной прямой.
Пусть данная точка будет А, заданная же прямая ВС; требуется от точки А отложить прямую, равную данной прямой ВС.
Это не означает, что Платон и Евклид полностью согласны друг с другом в философских вопросах о характере «идеальных объектов». «Евклид вовсе не приписывал идеального существования геометрическим объектам, как это делал Платон» (Там же. С. 238).
Сущность математических объектов 85
Проведем от точки А к точке В соединяющую прямую AB и построим на ней равносторонний треугольник DAB (пред
ложение 1); по прямым DA и DB продолжим
прямые АЕ, BF, из центра В раствором ВС
опишем круг CGH (постулат 3) и далее из
центра D раствором DH опишем круг HKL (постулат 3).
Поскольку теперь точка В — центр круга CHG, то ВС равна ВН (определение 15). Далее, поскольку точка D — центр круга HKL, то DL
равна DH (определение 15), а у них DA равна DB. Значит, остаток AL равен остатку ВН (аксиома 3). Но уже доказано, что и ВС равно ВН; значит, каждая из прямых AL и ВС равна ВН. Но равные одному и тому же равны и между собой (аксиома 1); значит, и AL равна ВС.
Значит, от данной точки А отложена прямая AL, равная заданной ВС, что и требовалось сделать.
Но остается еще один вопрос. Как мы видели, Евклид, следуя требованиям Платона, не допускал использования механических приборов, так как они не дают точных результатов и не считаются пригодными для теоретического научного исследования. Но почему Евклид работал только с самыми простыми формами: точкой,
линией и кругом? Почему он не допускал использования других
88
геометрических форм, например параболы? Согласно Паппу ,
Папп. Математическое собрание. Книга IV: «Существуют, как говорится, три типа проблем в геометрии, это так называемые "плоскостные", "трех мерные" и "линейные" проблемы. Те, которые могут быТь решены с помощью прямой и круга, подходящим образом называются "проблемами плоскости", так как линии, с помощью которых такие вопросы решаются, берут свое начало на плоскости. Задачи, которые решаются с использованием одного или нескольких участков конуса, называют "проблемами трехмерных фигур", поскольку необходимо при построении использовать поверхности тел, то есть конусов. Остается третий тип, так называемые "линейные" проблемы. Для конструирования в этих случаях требуются другие кривые, нежели уже упомянутые, а именно кривые,