Материал: Zennkhauzer_V_-_Platon_i_matematika_-2016

76 СУЩНОСТЬ МАТЕМАТИКИ И ЕЕ ФУНКЦИИ

(ведь тогда фундаментом бытия оказался бы эмпирический мир), а частью единственной подлинной реальности. И когда мы, жители Земли, обнаруживаем какие-то истины или закономерности, мы только осознаем и описываем отношения между этими объектами, а сами эти истины и закономерности существуют независимо от того,

68

знаем мы о них или нет .

В диалоге «Тимей» Платон укрепляет свое представление о вечном и неизменном существовании математических объектов, ссылаясь на их творение Демиургом. Платон разделяет эти объекты на «тождественное» и «иное» и говорит, что мы, под влиянием бурных эмоций, часто воспринимаем и используем эти фундамен­ тальные для математики понятия совершенно неверно. Но (и можно сказать: «Слава богу!») эти объекты «не могут быть до конца разрушены никем, кроме того, кто их сопряг»6 . Математика — это божественное творение.

Учение Платона о вневременном бытии математических объек­ тов не было принято его ближайшим учеником Аристотелем, для которого математические понятия — всего лишь результаты про­ цесса абстрагирования в ходе мыслительной деятельности человека, в которую не внедряются «вечные понятия»: «Рассуждающий же о природе изучает все виды деятельности и состояния такого-то тела и такой-то материи. А то, что не таково, изучает другой, при случае

— сведущий в искусстве, например строитель или врачеватель; свойства же, которые хотя и неотделимы от тела, но, поскольку они не состояния определенного тела и берутся отвлеченно от тела, изучает математик»7 .

И еще: будучи результатом идеализации, математические объекты неиз­ бежно носили бы следы «нечеткости» эмпирических объектов, и это недопустимо для Платона: «он отличает острые математические формы от нечетких эмпирических признаков» (Kömer. Op. cit. S. 207).

Тимей. 43d.

Аристотель. О душе. I, 1; 403b, 11-15. См. также: Никомахова этика. VI, 9; 1142а 18 — «Почему, в самом деле, ребенок может стать математиком, но мудрым природоведом не может. Может быть, дело в том, что [предмет

Сущность математических объектов 77

В наши дни позицию Аристотеля поддерживают математики конструктивистского и интуиционистского направлений. В качестве примера мы приводим здесь текст нидерландского интуициониста Аренда Гейтинга, описывающий воображаемую дискуссию между платоническим математиком А и неплатоническим математикомконструктивистом Б. В начале беседы А ссылается на теорему, гласящую: «Имеется бесконечное множество пар простых чисел»71. Эта теорема до сих пор не доказана. Тем не менее математик А уверен, что «в принципе» вопрос уже решен, независимо от будущего доказательства. Но математик Б совершенно с этим не согласен. Для него наличие доказательства, сделанного человеком,

— решающий факт. Доказательство — это определенная матема­ тическая конструкция, и пока эта конструкция не выстроена, вопрос о правильности теоремы принципиально открыт. В ответе своему оппоненту-платонику конструктивист Б мог бы сказать: «Если вы, дорогой коллега, хотите защищать свою позицию, вы вынуждены обращаться к метафизическим понятиям, к миру математических сущностей, существующему независимо от нашего знания. Но математика не должна зависеть от мира вечных идей. Я признаюсь, что все математики в каком-то смысле убеждены в существовании вечной истины, но если они попытаются определить этот смысл более точно, то неизбежно запутаются в лабиринте метафизических трудностей, избежать которых можно только в том случае, если

72

метафизика отделена от математики» .

математики] существует отвлеченно, а начала [предметов философии — мудрости и физики] постигаются из опыта?» Подробное изложение аристотелевского понимания математики принадлежит перу Беккера: Becker. Mathematische Existenz. S. 683-686.

Пара простых чисел (так называемые близнецы) — это два простых числа, между которыми есть только одно четное число, например: 3 и 5, 5 и 7, 11 и 13, 17 и 19.

Heyting. Intuitionism. Цит. по: Grundlagen der modernen Mathematik. S. 6567. Более подробное изложение интуиционистских взглядов см.: Гейтинг. Интуиционизм.

7 8 СУЩНОСТЬ МАТЕМАТИКИ И ЕЕ ФУНКЦИИ

Интересно, что уже софист Протагор отказался от представ­ ления, что геометрия основана на идеальных, вечных объектах. Как сообщает Аристотель, Протагор утверждал, что касательная имеет с окружностью больше чем одну точку соприкосновения73. Это будет верным, если иметь в виду не идеальные, а нарисованные или встречающиеся в природе линии и круги. Но для Платона, как мы уже видели, геометрическая фигура была не «предметом», а «идеей», которую мы можем охватить лишь мысленно. Плато­ новская геометрия является наукой, «которой занимаются ради познания вечного бытия, а не того, что возникает и гибнет» . Поэтому, если математики

пользуются чертежами и делают отсюда выводы, [то] их мысль обращена не на чертеж, а на те фигуры, подобием которых он служит. Выводы свои они делают только для четырехугольника самого по себе и его диагонали, а не для той диагонали, которую они начертили75.

«Окружность соприкасается с линейкой не в точке, а так, как указывал Протагор, возражая геометрам» (Аристотель. Метафизика. II, 2, 997Ь).

74Государство. 527Ь.

75Государство. 510с-е. А. В. Родин пишет об этом: «Действительно, теорети­ ческая математика пользуется чертежами и вычислительным инструмен­ тарием, и без них она не была бы возможна, однако... нужно признать, что чертежи и вычисления определяют скорее предмет математики, но ни в коей мере не ее теоретический статус. То отвлечение от практических конкретностей, о котором можно говорить при работе с чертежами и при "чистых" вычислениях, имеет мало общего с теорией, если мы определяем теорию по наличию "доказательств", — другое дело, что сами чертежи и вычисления оказываются общими и для практической, и для теоретической математики, хотя работа с ними ведется тут и там совершенно по-разному» (Родин. Математика Евклида в свете философии Платона и Аристотеля. С. 12). Это «двойное лицо» геометрии Исаак Яглом описывал так: «Странный мир геометрии — все в нем предельно конкретно, наглядно, осязаемо, и в то же время призрачно, бестелесно, условно» (Яглом. Математика и реальный мир. С. 54).

Сущность математических объектов 79

Здесь можно вспомнить одно несколько юмористическое, но удач­ ное высказывание математика Пойа: «Геометрия — это искусство делать правильные выводы из неправильных фигур»76.

Это убеждение в идеальном характере чисел и геометрических фигур является не просто «красивой идеей» Платона. По его мнению, только на этой идеальной, чисто разумной основе в мате­ матике вообще возможно получение неопровержимых результатов и убедительных доказательств .

Чтобы рассмотреть этот фундаментальный вопрос подробнее, попробуем выяснить, какие средства и доказательства могут быть применены в геометрии. Допустимо ли использование механичес­ ких инструментов, например приспособления из двух рамок, для решения геометрических задач? Этот прибор — простое, но очень разумное изобретение (см. рис. 1 и 2)78.

Polya. Schule des Denkens. S. 94.

«Платон был не только философом, обладавшим познаниями в математике, но и идеологом — в том смысле, что он решал, что позволено или не позволено в науке. Таким образом, он требовал чистоты математических методов. Ему приписывается, что он допускал только "циркуль и линейку" в качестве конструктивного принципа в геометрии, но только в их идеаль­ ной форме» (Gronau. Vorlesung zur frühen Geschichte der Mathematik. § 2.2.0).

Даны отрезки а и b и прибор из двух рамок, меньшую из которых можно перемещать внутри большей (рис. 1). Если мы разместим прибор так, как показано на рис. 2, то получим отрезки χ и >>, и с помощью трех подобных треугольников легко доказывается непрерывная пропорция а. χ = x:y=y:b. Данная пропорция, как заметил Папп, имеет особенную пользу: «Нам даны две неравные прямые линии для нахождения двух средних членов в непрерывной пропорции. По этой теореме каждая трехмерная фигура может быть увеличена или уменьшена в любом заданном соотношении» (Папп. Математическое собрание. Книга VIII). Попробуем, например, использовать этот прибор для решения задачи удвоения куба. Возьмем куб со стороной а. Если мы выбираем b = 2α, то пропорция будет выглядеть так: а : χ = χ : у = у : 2а. Из а : χ = χ : у следует^ = х21а и следовательно, а : χ = х2/а : 2а или х3 = 2д3. Значит, JC является стороной нового куба, объем которого равен двойному объему первого куба со стороной а. Таким обра­ зом, задача удвоения куба решена с помощью данного прибора.