Материал: Zennkhauzer_V_-_Platon_i_matematika_-2016

66 СУЩНОСТЬ МАТЕМАТИКИ И ЕЕ ФУНКЦИИ

б) Математик ничего не умеет делать с добычей. В догреческие времена математика представляла собой лишь свод практических правил; греческие математики, наоборот, интересовались только — или хотя бы преимущественно — теоретическими рассуждениями . Конечно, в повседневной жизни людей математические правила (счет, геометрические измерения, правило «золотого сечения» в архитектуре и т. д.) продолжали играть значительную роль, и Платон одобрял это, требуя даже применения этих навыков на практике41. Но на высшем уровне познания эти навыки не работают

и как подчеркивал Платон, здесь математик ничего не может, он не

всостоянии сделать что-то стоящее и «умное» со своими результатами.

в) Добыча математика — если мы хотим придать ей высший смысл, — передается философу, который принимает ее и приготавливает по всем правилам искусства. Дичь, зверь в лесу, является, так сказать, существом жизненного мира; в этом мире может возникнуть только обыденное, а не «истинное» знание. Математик-охотник убивает зверя, извлекая его из мира жизни и чувств, то есть совершает операцию абстрагирования. Это важное действие, но на нем возможности охотника заканчиваются. Лишь философ-диалектик в состоянии сделать последний, завершающий

Это доказывают «Начала» Евклида, которые являются чистой математикой (прежде всего геометрией). Эту мысль также подтверждает исторический анекдот: некий человек спросил Евклида, в чем состоит польза матема­ тики. Вместо ответа Евклид приказал своему слуге: «Дай этому человеку немного золота, он хочет изучать математику только для получения прибыли!»

См., напр.: Государство. 526d — «Поскольку геометрия применяется в военном деле, ясно, что подходит. При устройстве лагерей, занятии мест­ ностей, стягивании и развертывании войск и разных других военных построениях как во время сражения, так и в походах, конечно, скажется разница между знатоком геометрии и тем, кто ее не знает».

См., напр.: Евтидем. 290с — «Никакое охотничье искусство, — отвечал он [Клиний. — В. 1], — не идет далее того, чтобы схватить, изловить. А

68 СУЩНОСТЬ МАТЕМАТИКИ И ЕЕ ФУНКЦИИ

«Числа и круги, которые используют математики, становятся идеями только в руках диалектиков; только философы познают, что идеи образуют существующий мир»44. По этой причине Платон считал, что философия по своей природе выше математики , а повар — выше охотника: «Диалектика — это единственно правиль­ ный и универсальный метод постижения высшего блага, прочие науки изучают только чувственно-вещественное его проявление в осязаемом, видимом мире»46.

2.3. Распределение арифметики

Платон выделял такие области, как: 1) искусство счета; 2) геоме­ трия; 3) астрономия; 4) музыка — области, которые мы, как уже говорилось , объединяем под общим названием «математика». Платоновское понимание первой из этих областей меняется от диалога к диалогу: например, в тексте, приведенном нами чуть ниже, Сократ отделяет «искусство счета и измерения», необходимое при постройке домов и в торговле, от «геометрии и вычислений», применяемых в философии. Таким образом, мы видим стремление Платона провести дополнительное разграничение в области «искусства счета», или, как мы сегодня бы, наверное, сказали, в «арифметике»48.

44Speiser. Piatons Ideenlehre und die Mathematik. S. 49.

45Ср.: Тимей. 47b, где о философии сказано следующее: «Лучше... не было и не будет подарка смертному роду от богов». Также см. ниже наши рассуждения в параграфе 4.7 «Математика и философия».

46Тахо-Годи в примечании к отрывку (Платон. Диалоги. М.: Мысль, 1986).

47Введение. С. 9. Примеч. 1 настоящего издания.

Наши термины тоже не единообразны; мы можем, например, говорить о математике и геометрии как о чем-то различном, а в другой раз включить их обе в категорию «математики».

Распределение арифметики 69

В диалоге «Горгий» Платон разделяет ее еще на две сферы, называя их «искусством арифметики» и «искусством счета»49. Искусство арифметики есть «познание четных и нечетных чисел, какова бы ни была их величина» (ср.: Евклид. Начала. VII), а искусство счета «старается установить величину саму по себе и в ее отношении к другим величинам» (ср.: Евклид. Начала. IX).

Платон также делит арифметику на практическую и теоретичес­ кую (научную) части. Практики довольствуются приблизительными вычислениями; при этом, например, архитекторы считаются более точными, чем землемеры. В противоположность этому, теоретики обращаются с числами точнейшим образом.

Сократ: Во-первых, об арифметике. Не следует ли одну ее часть назвать искусством большинства, другую же — искусством философствующих? — Протарх: На основании какого же признака можно установить различие между двумя этими частями арифметики? — Сократ: Различие здесь немалое, Протарх. Одни ведь подвергают счету и нарица­ тельные единицы того, что можно подсчитывать, например: два лагеря, два быка и два самых малых или же два величайших предмета. Другие же никогда не последуют за ними, если только не будет допущено, что между многими тысячами [подлежащих счету] единиц не существует никакого различия. — Протарх: Ты прекрасно изображаешь немаловажное различие, существующее между людьми, корпящими над числом; так что есть достаточное основание различать две арифметики. — Сократ: Ну а что ты скажешь относительно искусства счета и измерения, применяемых при постройке домов и в торговле, в отличие от геометрии и вычислений, применяемых в философии: нужно ли назвать то и другое одним искусством или же допустить два? — Протарх: Следуя прежнему, я, со своей стороны, подал бы

Горгий. 451а-с. Платон часто говорит также не о числах, а о прямом и непрямом: «Счетное искусство имеет дело с четными и нечетными числами и с вопросом о том, каково их количество само по себе и по отношению друг к другу» (Хармид. 166а).

70 СУЩНОСТЬ МАТЕМАТИКИ И ЕЕ ФУНКЦИИ

голос за то, что они представляют собой два искусства. — Сократ: Правильно .

При этом для Платона различие между практической и теорети­ ческой математикой (мы используем здесь этот термин в общем смысле) состоит не только в степени точности, но и в самой их сущ­ ности. Математики-практики занимаются вещами, подверженными постоянным изменениям, поэтому они принципиально не могут достичь абсолютно верного результата. Математики-теоретики, напротив, имеют дело с неизменными сущностями, поэтому они могут высказывать всеобщие положения51.

Ван дер Варден, резюмируя платоновскую классификацию математики, пишет: «Платон различает практическую и теоретичес­ кую логистику совершенно так же, как он различает практическую и теоретическую арифметику (Горгий. 451а-с). К теоретической логистике относится, прежде всего, изучение чисел в их взаимном отношении друг к другу, которое как раз рассматривается в книге VII [Евклида], в то время как теоретическая арифметика рас­ сматривает "четное и нечетное и какую долю каждое из них составляет в данном отдельном случае". Таким образом, древнее пифагорейское учение о четном и нечетном (книга IX) Платон, повидимому, относит к теоретической арифметике, а учение о число­ вых соотношениях (кн. VII и VIII) — к теоретической логистике. Эти теоретические науки он противопоставляет практической арифметике — счету, и практической логистике — вычислениям, и прежде всего вычислениям с дробями» .

В двух местах (Горгий. 508, Законы. 757) Платон проводит еще одно различие: между арифметическим и геометрическим равенст-

Филеб. 56d-57a.

Филеб. 59с: «Устойчивое, чистое, истинное и то, что мы называем беспримесным, может быть направлено либо на это, то есть на вечно пребывающее тождественным себе и совершенно несмешанным, либо на то, что наиболее сродно с ним; все прочее надо назвать второстепенным и менее значительным».

Ван дер Варден. Пробуждающаяся наука. С. 162.