Материал: Zennkhauzer_V_-_Platon_i_matematika_-2016

Сущность математических объектов 71

вом. Речь идет о справедливом распределении каких-либо вещей или должностей; «демократическое» распределение совершается путем жребия, оно представляет собой равенство меры, веса и числа, т. е. арифметическое равенство. Оно необходимо в не­ которых ситуациях, но является менее ценным по сравнению с истинным и наилучшим геометрическим равенством, «суждением Зевса», которое наделяет большего — большим, меньшего — меньшим, даруя каждому то, что соразмерно его природе. В представлении Платона, очевидно, геометрия описывает природу самого мира, а арифметика относится к обыденной, торговой жизни: это в чем-то напоминает суждение Хайдеггера, что άριθμεΐν означает не «считать», а «считаться с чем-то, быть расчетливым»5 .

2.4. Сущность математических объектов

Что же это такое — число? Вопрос непростой. Однажды голландский математик Давид ван Данциг спросил 4: когда я пишу на доске:

10,0'°

то я знаю, конечно, что имеется в виду. Необходимо возвести число 10 в 10-ю степень, а затем проделать эту операцию еще раз с полученным результатом. Но что, если я в нем сомневаюсь: можно ли сказать, что этому термину соответствует «натуральное число», и можно ли вообще говорить о «результате»? Ведь если мы понимаем натуральные числа как ряд, где каждое новое число конструируется из предыдущего путем добавления единицы (0 + 1 =

1, 1 + 1 = 2, 2 + 1 = 3, ..., 3004 + 1 = 3005, и т. д.), то мы никогда не

получим степень 10 — она слишком велика для этого. А если кто-то скажет: «Я не вижу границы, я всегда могу добавить 1», то ему можно ответить в духе Витгенштейна: «Я не смогу этого сделать, если я умру перед совершением нужного шага — и из-за

Heidegger. Platon — Sophistes. S. 18.

54 Dantzig. Is ΙΟ10'" a finite number? P. 273-277.

72 СУЩНОСТЬ МАТЕМАТИКИ И ЕЕ ФУНКЦИИ

многих других причин» . Можно, конечно, возразить: «Но я написал это число — вот оно: 10 !», и тут, видимо, возникает про­ тиворечие: «Невозможно последовательно выстраивать настолько

является натуральным числом! Противоречие, однако, только вы­ глядит таковым, поскольку при таком шаге неосознанно изменился сам смысл термина "натуральное число"»56.

Мы не станем подробно останавливаться на том, как эти проблемы были представлены на протяжении двух последних веков57, но хотим подчеркнуть, что вопрос о характере «сущест­ вования» чисел совсем не прост. То же самое можно сказать и о геометрических фигурах: точке, линии, треугольнике и т. д., — что они представляют собой в идеальном смысле? Эта проблема касается как математики, так и философии: «Вопрос о характере бытия математических объектов, особенно чисел, был всегда фило­ софской проблемой первостепенной важности»58.

Платон несколько раз поднимал такие вопросы. При этом он различал две . математические области: арифметику — науку о числах, и геометрию — науку о фигурах. Им соответствуют два вида объектов: числа и геометрические объекты. По Платону, они имеют разный статус: «Числа — чисто идеальные сущности, а

Витгенштейн писал: «"Но я все же знаю и то, что, какое число мне ни предложи, я смогу дать следующее на ним безо всяких колебаний". — Разумеется, если этому не воспрепятствует моя смерть или множество иных происшествий. Но моя уверенность в том, что я смогу продолжить ряд, безусловно, очень важна» (Витгенштейн. Философские работы. Ч. II. С. 5). См. также рассуждения Фреге о возможности бесконечно констру­ ировать новые термины: «Это возможно? Для всемогущего Бога — да, для человека — нет» (Frege. Grundgesetze der Arithmetik. T. II. S. 129).

Dantzig. Is 10m1 0 a finite number? P. 274.

Приведем хотя бы один пример: Фреге спрашивает, что такое «переменное число» в какой-то функции? Ведь число не может изменяться! Также не бывает «неопределенного числа»! Тогда о чем же мы говорим на самом деле, используя такие термины? (Frege. Was ist eine Funktion? S. 81-82).

Patzig. Vorwort zu Gottlob Frege, Funktion-Begriff-Bedeutung. S. 11.

Сущность математических объектов 73

линии, фигуры — сущности "промежуточные"» . Дело в том, что геометрия представляет числа и числовые отношения «в виде опре­ деленных пространственных образов, схем, т. е. фигур»60, и поэтому геометрические фигуры находятся немного ближе к чувственному миру, нежели числа. Тем не менее и числа, и фигуры принадлежат миру идей. В отличие от пифагорейцев, рассматривавших числа и геометрические предметы в тесной связи с эмпирическим миром вещей, Платон настаивал на том, что они есть «идеи». Числа — это, так сказать, «чистые идеи», а геометрические фигуры — «идеи в геометрическом пространстве». В дальнейшем для нас будет важно, что оба вида объектов — числовые и геометрические — принадлежат умопостигаемому, а не эмпирическому миру, и поэтому мы будем говорить просто о «математике» и «математических объектах».

Вспомним платоновское сравнение математика с охотником: математик не создает свои объекты сам, он их находит, «выслеживает». Объекты его «охоты» — точка, линия, круг, число, а также понятия отношений, вроде тождественности или не­ равенства — не созданы человеком, они вечны и неизменны. Это относится в равной степени и к арифметике, и к геометрии. «Существуют абсолютно точные простые фигуры или чистые элементарные формы, например круг или квадрат» — так описывает точку зрения Платона немецкий философ и математик Оскар Беккер61. То же самое с числами: как объясняет Платон в «Теэтете», их можно использовать в практической жизни («я вижу пять и еще семь человек»), и при этом могут получаться различные результаты («вместе я вижу двенадцать человек» или, быть может, одиннадцать, — ведь люди могут ошибаться в вычислениях, особенно если они сложны). Но эти ошибки не могут случиться с «самими числами» как чистыми идеями — здесь все определенно,

Гайденко. Обоснование научного знания в философии Платона. С. 124.

60Там же.

61Becker. Mathematische Existenz. S. 586.

74 СУЩНОСТЬ МАТЕМАТИКИ И ЕЕ ФУНКЦИИ

точно и вечно: «Когда видишь или осязаешь, можно принять одиннадцать за двенадцать, но мысленно такое представление об этих числах невозможно» . Лишь эти мысленные числа являются объектами математики — объектами, обладающими собственным интеллигибельным способом существования. «Платон никогда не объясняет этот особый вид их существования», заметил Артман63. Кроме того, математические объекты являются совсем не тем, чем их считал Аристотель . Мы не ошибемся сильно, если опишем эти

Теэтет. 195е. По Наторпу, этот отрывок наглядно показывает, что Платон имеет в виду «понятие в себе» и его способ существования. «Мыслимое таким образом понятие существует "в себе" и характеризуется Платоном как особенное, исключительно мысленное существование. Но и такое существование имеет свой смысл. Понятие существует как таковое, если оно достаточно обосновано в систематической взаимосвязи с другими понятиями. Так, математики, говоря о существовании числа π или е и вообще о числах нерациональных, мнимых и т. д., никоим образом не думают при этом об отдельном их проявлении где-то и когда-то, будь то в мире чувств или в другом мире за или над ним (или, может, кто-то предпочитает иначе называть это странное пространственное отношение между нигде и где-то)» (Natorp. Piatos Ideenlehre. S. 99).

Artmann, Mueller. Plato and mathematics. S. 18. Действительно, уже в самом понятии «существование» кроется проблема: что в действительности это такое? В «Пармениде» (143) аргументация Платона такова: если такое число, как 1, существует, то 1 имеет существование, но число 1 не иден­ тично его существованию: следовательно, число 1 вместе с его сущест­ вованием представляют 2. Значит, существует число 2. Следовательно, мы имеем 3 элемента: число 1, его существование, и число 2. И так далее. По Расселу, это заключение неверно. «Во-первых, "существование" не является термином, который имеет определенный смысл. А во-вторых, и это важнее, если бы изобрели определенное значение для этого термина, то видели бы, что у чисел нет существования. Потому что они являются на самом деле "логическими фикциями"» (Russell. Einführung in die mathe-

matische Philosophie. S. 154).

«Аристотель утверждал, что для Платона математические объекты составляли еще один класс отдельных сущностей, промежуточный между чувственными элементами и идеями, причем эти математические числа и фигуры отличаются от предметов чувственного мира, напоминая идеи тем, что они вечны и неподвижны, но отличаются от идей и сходны с

объекты словами знаменитого математика XIX в. Ш. Эрмита: «Я верю, что числа и функции анализа не являются произвольным созданием нашего разума; я думаю, что они существуют вне нас в силу той же необходимости, как и объекты реального мира, и мы их встречаем или их открываем и изучаем точно так, как это делают физики, химики или зоологи»65. Интересно в этом смысле и описание математиком Александром Дьюдни своих ощущений от математических исследований: «Что касается вопроса о том, обнаруживается или творится математика, я должен признаться в почти мистическом опыте, который я всегда переживаю, работая над математической проблемой — опыте, который как будто при­ ходит откуда-то извне. Меня часто охватывает сверхъестественное чувство, что решение моей проблемы существует где-то там, снаружи, размышляю ли я сейчас над ней или нет. И если я действительно нахожу решение, то у меня создается непреодолимое впечатление, что я обнаружил его, а не создал» . Есть еще один важный пункт, на который указывал, например, С. Кернер67: по мнению Платона, математические объекты являются не идеализациями эмпирических объектов или результатом абстрагирования

чувственными вещами тем, что их существует множество каждого вида. Попытки найти этот "промежуточный класс" в диалогах не увенчались успехом, и снова и снова было положительно доказано, что Платон ни в одном месте в своих трудах не признавал математические числа и фигуры как сущности, отдельные от чувственного с одной стороны, и от идей с другой» (Cherniss. The Riddle of the Early Academy. P. 75-76). Так рас­ суждает и Ведберг: «Платон обычно, как нам представляется, предполагает простую онтологическую дихотомию идей и практических элементов, которая не оставляет места для промежуточного класса математических объектов» (Wedberg. Plato's Philosophy of Mathematics. P. 12).

Цит. по: Бурбаки. Очерки по истории математики. С. 29. В противополож­ ность этому взгляду математические формалисты «не интересуются проблемами, поставленными "парадоксами", и порывают с воззрениями Платона, который стремится придать математическим понятиям интеллек­ туальное "содержание", общее для всех математиков» (Там же. С. 47).

Dewdney. Reise in das Innere der Mathematik. S. 13. Körner. Philosophie der Mathematik. S. 20.