56 СУЩНОСТЬ МАТЕМАТИКИ И ЕЕ ФУНКЦИИ
собой, а что это за состояние, они не знают, потому что недостаточно в нем разбираются»15.
Если же речь идет о сложнейшем математическом познании, то тем более без серьезного мыслительного труда не обойтись. Здесь необходим долгий путь возрастания в мудрости: «Зрение рассудка становится острым тогда, когда глаза начинают уже терять свою зоркость»1 . Сам Платон, как мы видели, не всегда с легкостью осваивал теории в этой сфере. Поэтому, когда платоновский Сократ говорит:
О сын Гиппоника Гермоген! Стара пословица: прекрасное дело трудно, когда ему нужно учиться. Так вот, оказывается, и об именах немалая есть наука. Конечно, если бы я успел прослушать у Продика пятидесятидрахмовый урок, после чего, по его словам, можно и самому стать учителем, ничто не помешало бы тебе тотчас досконально узнать всю истину о правильности имен. Да вот такого-то урока я не слыхал, а прослушал всего лишь драхмовый. Поэтому я и не знаю, что будет истинным в делах такого рода17, —
эти слова являются ироническим примечанием к широко распространенному мнению, будто достаточно найти хорошего (а лучше — высокооплачиваемого!) преподавателя, и знания будут легко получены и усвоены.
Федр. 250а. Есть, конечно, и другие требования, например «философский характер», описываемый Платоном в «Государстве» (486). Можно вспомнить и слова Диотимы, указывающие на необходимость любви к исследуемому предмету: «Кто, наставляемый на пути любви, будет в правильном порядке созерцать прекрасное, тот, достигнув конца этого пути, вдруг увидит нечто удивительно прекрасное по природе, то самое, Сократ, ради чего и были предприняты все предшествующие труды, — нечто... вечное» (Пир. 210е). Хорошим примером людей, имеющих подобные черты характера, являются те математики в Академии, которые не только занимались своим предметом и учили других, но и интенсивно участвовали в философских лекциях и беседах с Платоном.
16Пир. 219а.
17Кратил. З84а-Ь.
Как достичь математического знания? 57
Что касается именно математического познания, можно вспом нить историю, рассказанную неоплатоником Проклом: царь Египта Птолемей I однажды спросил Евклида, «есть ли более короткий путь изучения геометрии, нежели "Начала"; а тот ответил, что нет царского пути к геометрии»18. Можно вспомнить о «короле мате матиков» Гауссе — многие думали, что решения приходят к нему легко и практически без усилий, но однажды он написал: «Определение радикала долго мучило меня. Его отсутствие портило мне все остальное, что я находил; за последние 4 года редко бывала неделя, когда я не делал ту или иную напрасную попытку развязать этот узел, — и особенно деятельно в последнее время. Но все раз мышления, весь поиск оказались совершенно напрасными, каждый раз я в печали должен был отложить перо. Наконец, несколько дней назад, я преуспел...»19
С другой стороны, без хорошего учителя, играющего роль «повитухи» в сократовском смысле, также вряд ли можно полу чить настоящее знание. «Если бы мальчик, — пишет А. В. Родин, — с которым беседует Сократ, оказался вундеркиндом и без лишних
слов сразу "по наитию" правильно удвоил квадрат, это тоже не было
21
бы знанием» . «Задавая свои вопросы, Сократ не просто создает условие для того, чтобы душа собеседника "проснулась" и "вспомнила", что она уже знает, но знание само предполагает беседу, в которой собеседники находятся друг к другу в отношении свободного теоретического касания: то же самое умение удвоить
квадрат... которым прекрасно владели и вавилонские математики-
22
практики... вне такой беседы имеет статус мнения, а не знания» .
Прокл Диадох. Комментарий к первой книге «Начал» Евклида. Введение. Ч. II. Гл. 8.
19Письмо Гаусса к Олберсу от 3 сентября 1805 г. (Gauss. Werke Х/1. S. 25).
20Теэтет. 150b.
21Родин. Математика Евклида в свете философии Платона и Аристотеля. С.21.
22Там же. При этом Родин подчеркивает, что Платон, в противоположность софистам, настаивал на свободной дискуссии (что ограничивает сравнение
5 8 СУЩНОСТЬ МАТЕМАТИКИ И ЕЕ ФУНКЦИИ
Плодотворное отношение между учителем и учеником можно описать следующим образом. Учитель необходим как человек, обладающий большими познаниями. Важна и его личность , но ученик должен не просто верить ему на слово (об этом мы будем говорить ниже), но удостовериться, что действительно понял объясняемое. В определенном смысле, критическое отношение ученика к учителю — единственный путь, на котором ученик и учитель могут стать «собеседниками», которые «находятся друг к другу в отношении свободного теоретического касания» . Поэтому задача учителя состоит в том, чтобы поощрять самостоятельное, критическое мышление ученика. Вот как поступает платоновский Сократ: во время беседы с Гермогеном тот слишком доверчиво и слишком быстро выражает согласие. Поэтому Сократ спрашивает с
с акушеркой). «Единственной речевой формой, в которой может высказы ваться знание, служит непринужденная беседа, тогда как завораживающая речь софиста способна только внушить то или иное мнение» (Там же. С. 20). «Когда последователи Поппера противопоставляют "гуманистический релятивизм" софистов "тоталитарному абсолютизму" Платона, то забывают, что софистический релятивизм связан с практикой убеждения, которую, как мы только что сказали, лишь весьма условно можно назвать либеральной, а платоновский "абсолютизм" — с его концепцией знания, достигаемого в свободной дискуссии» (Там же. С. 20).
23Так полагает, например, Паже: «Философия начинается тогда, когда студент поражен голосом преподавателя, его словами» (Pages. Frühstück bei
Sokrates. S. 162).
24«Свободное теоретическое касание» — удачная формулировка А. В. Родина, который ссылается на несколько отрывков из диалогов Платона, например на «Софиста» (229е-230с), где Платон противопоставляет обучение «убеждением» обучению «касанием». Последнее является «теоретическим» в том смысле, что оно направлено на получение не практического, а научного знания, и «свободным» в том смысле, что оно не принуждает ученика к чему-то, а позволяет ему, с помощью учителя, идти своим путем, на котором ум ученика постепенно прикасается к изучаемой области знания: «Именно в свете проблематики теоретического "касания" следует, как представляется, понимать известное учение Платона о "припоминании" знания, которым душа человека, согласно излагаемому Платоном мифу, уже обладает с самого его рождения» (Родин. Указ. соч. С. 19).
Как достичь математического знания? 59
наигранным удивлением: «Так в чем же тут дело? Ведь сам-то я здесь ничего не пойму, Гермоген. А ты понимаешь?» На этот вопрос Гермоген вынужден честно ответить: «Клянусь Зевсом, тоже нет» .
В то же время важно и критическое отношение учеников к самим себе. Дело в том, что человек легко переоценивает себя и делает ложные выводы. Об этом остроумно говорит платоновский Сократ: тот, кто всегда крутит головой, рано или поздно приходит к выводу, что мир вращается вокруг него:
Сократ: И правда, клянусь собакой, я, кажется, неплохой гадатель, а пришло мне в голову вот что: самые древние люди, присваивавшие имена, как и теперь большинство мудрецов, от непрерывного вращения головой в поисках объяснений вещам всегда испытывали головокружение, и поэтому им казалось, что вещи вращаются и несутся в какомто вихре. И разумеется, и те и другие считают, что причина такого мнения не внутренний их недуг, но таковы уж вещи от природы: в них нет ничего устойчивого и надежного, но все течет и несется, все в порыве и вечном становлении26.
И наконец, последнее требование: необходимо иметь достаточно свободного времени для учебы. Вспомним, что ни Платон, ни его помощники не были вынуждены зарабатывать на жизнь физическим трудом. Аристотель сказал по этому поводу, что математические знания были приобретены «прежде всего в тех местностях, где люди имели досуг»27.
25Кратил. 392е.
26Там же. 41 lb—с.
27Аристотель. Метафизика. 981Ь22. Правда, Нейгебауэр подвергает сом нению правильность этого тезиса Аристотеля. «Наши фактические знания о развитии научной мысли и социальном положении людей, ответственных за него, настолько фрагментарны, что мне кажется совершенно невоз можным проверить любую такую гипотезу, однако она может показаться правдоподобной современному человеку» (Neugebauer. The exact sciences in antiquity, 1951. P. 145).
60 СУЩНОСТЬ МАТЕМАТИКИ И ЕЕ ФУНКЦИИ
Заголовком этого параграфа был следующий вопрос: как до стичь математического знания? Резюмируя сказанное, мы приходим к следующему выводу: припоминание (άνάμνησις) играет в этом важнейшую роль, но оно не происходит просто так, с легкостью и при любых условиях. Необходимо серьезно, тщательно, настойчиво и критически стремиться к знанию, не позволяя себе затеряться в водовороте повседневных мелочей, отвлекающих нас от цели. Для этого, в частности, надо иметь достаточно свободного времени. Кроме того, здесь не обойтись без хорошего «акушера», который ободряет и поощряет ученика, но при этом допускает критическое отношение к себе.
Замечание. Не только в процессе преподавания, но и во всех вопросах, рассмотренных нами выше, существенную роль играет язык . Не менее важно и другое: является ли язык conditio sine qua поп абстрактного математического мышления? Или же математика — это чисто ментальная конструкция, а язык — всего лишь костыль для обмена мыслями, постоянно выступающий причиной недоразумений? Именно такого мнения придерживается школа математических интуиционистов, главных оппонентов платоновского направления математики (о них мы будем говорить ниже). Возможно, Платон согласился бы с ними, хотя бы частично? Что на самом деле означает припоминание, άνάμνησις? Каковы механизмы его действия? Ниже мы, в соответствии с общепринятой традицией, представим интуиционистов как непосредственных противников платоников, но было бы интересно исследовать, есть ли у них общие черты. Ведь реальность зачастую намного сложнее, чем наши классификации...
См. несколько размышлений о роли языка в философии и математике в параграфе 4.4.