Материал: Zennkhauzer_V_-_Platon_i_matematika_-2016

Иррациональные отношения 111

Фаулер оспаривал достоверность таких рассказов; по его дан­ ным, древние источники никогда не упоминают о каком-то изумле­ нии такого рода. Аристотель, например, часто критиковал пифаго­ рейскую философию, но не говорил, что несоизмеримость разру­ шает ее главную догму «Все есть число». Теэтет (147d-148b) «не дает никаких указаний на то, что явление несоизмеримости представляло какую-то фундаментальную концептуальную трудность для математиков; скорее оно рассматривается в качестве источника интересных и плодотворных проблем» . А. Е. Раик также констатирует, что «доказательство этого факта, т. е. иррациональности V2, принадлежащее пифагорейцам, не вызывало никаких сомнений» (курсив наш. — В. 3.). Невообразимой была для них только мысль о том, что соотношению несоизмеримых отрезков мог бы соответствовать новый вид чисел, — то, что мы называем сегодня «иррациональными числами», например л/2146

144Fowler. The Mathematics of Plato's Academy. P. 290.

145Раик. Очерки по истории математики в древности. С. 157.

146Иррациональное, кстати, является «невообразимым» не только для древ­ них греков, но и для некоторых современных математиков. Уже Кеплер напоминал о том, что стороны семиугольника являются иррациональными, и делал такой вывод: «Это важный факт. В этом лежит причина того, что Бог не использовал семиугольники для украшения мира, как он сделал это с простыми фигурами» (Kepler. Weltharmonik. S. 45). И математик Л. Кронекер сказал однажды: «Господь сотворил целые числа; остальное

— дело рук человека» (цит. по. Bell: Die grossen Mathematiker. S. 453).

Кроме того, согласно Расселу, привычные обоснования для существования иррациональных чисел стоят на «глиняных ногах»: «Уравнение х2 - 2 = 0,

как утверждалось, должно иметь решение, поскольку с ростом JC от 0 до 2, х2 - 2 увеличивается и, являясь сначала отрицательным, затем становится

положительным; если χ изменяется непрерывно, то же происходит с JC - 2; следовательно, х2 - 2 должен стать равным 0 при переходе от отрицатель­ ного значения к положительному. Или, опять же, было отмечено, что

диагональ квадрата со стороной равной 1 имеет, очевидно, точную и определенную длину *, и что эта длина такова, что х2 - 2 = 0. Но такие аргументы были не в силах доказать, что χ действительно является числом. Они могут в равной степени рассматриваться как демонстрации неадек­ ватности чисел алгебре и геометрии» (Rüssel. The Principles of Mathematics.

112 СУЩНОСТЬ МАТЕМАТИКИ И ЕЕ ФУНКЦИИ

Все же проблема иррациональных отношений играет важней­ шую роль в развитии древнегреческой математики. Согласно иссле­ дованиям Ван дер Вардена, это открытие привело к изложению алгебры полностью в геометрической форме (в конце этого парагра­ фа мы приведем пример подобной геометрической конструкции). Как подчеркивает Ван дер Варден, это было естественным шагом для греческих математиков в силу логической строгости их взглядов: «Мы в настоящее время говорим, что длина диагонали выражается "иррациональным числом" V2, и чувствуем свое превосходство над бедными греками, которые "не знали, что такое иррациональные числа". Однако греки знали очень хорошо иррациональные отношения. Как мы увидим далее, они имели очень ясное представление об отношении диагонали к стороне квадрата и были в состоянии совершенно безукоризненно доказать, что это отношение не может быть выражено в целых числах. И если они не рассматривали V2 как число, то это было результатом не их неведения, но только того, что они строго держались своего опре­ деления числа. "Arithmos" обозначает количество, а следовательно, и целое число. Логическая строгость не позволяла им допускать даже дробей, и они заменяли их отношением целых чисел. — Для вавилонян же каждый отрезок и каждая площадь представляли собой просто-напросто число. Они даже и не задумывались, когда приходилось площадь прямоугольника сложить с его основанием. Когда они не могли точно извлечь квадратный корень, то спокойно удовлетворялись приближением. Инженеры и естествоиспытатели во все времена поступали точно так же. Но для греков имело

Р. 282). Знаменитое «Дедекиндово сечение» тоже не дает никаких доказа­ тельств существования иррациональных чисел; «Таким образом, существо­ вание иррациональных чисел не доказано, они могут быть просто удобной выдумкой» (Ibid.). То же самое необходимо сказать и о теории Вейерштрасса: «Ряды рациональных чисел не могут доказать существование иррациональных чисел как своего предела, а только могут доказать, что, если существует такой предел, он должно быть иррациональным» (Ibid. Р. 268; см. целиком главу XXXIV «Infinity and Continuity», где Рассел обсуждает все проблемы обоснования иррациональных чисел).

Иррациональные отношения 113

значение точное знание, "диагональ в самой своей сущности", как выражает это Платон, а не допустимое приближенное значение. — Уравнение χ =2 не может быть разрешено ни в области целых чисел, ни даже в области отношений чисел. Но оно вполне разрешимо в области прямолинейных отрезков: действительно, его решением является диагональ квадрата со стороной, равной единице. Следовательно, для того чтобы получить точное решение квадратного уравнения, нам надлежит из области чисел перейти в область геометрических величин. Геометрическая алгебра приложима также и к иррациональным отрезкам и тем не менее является точной наукой. Следовательно, не только наслаждение зримым, но и логическая необходимость заставила пифагорейцев преобразовать их алгебру в геометрическую форму»

Интересно посмотреть, как греки доказывали несоизмеримость стороны квадрата и его диагонали. В приложении к книге X «Начал» Евклида мы находим старинное доказательство, которое, несомненно, было известно уже Платону. Оно построено на косвенном способе доказательства148 и опирается на некоторые свойства четных и нечетных чисел. Как мы уже говорили, в своих диалогах Платон неоднократно рассуждал о четных и нечетных числах. Рассматриваемое старинное доказательство достаточно сложно149, поэтому понятно, почему факт несоизмеримости долгое время оставался неизвестным.

Ван дер Варден. Пробуждающаяся наука. С. 175.

Подобный метод вызывает какое-то неудобство или даже сомнение — мы еще скажем об этом в параграфе 3.11.

Греческая система цифр (цифры записывались буквами α, β, γ'...) была не слишком удобна, поэтому греки предпочитали математические рассуж­ дения в геометрической форме. Сегодня в нашем распоряжении есть средства (арабские цифры, алгебраические знаки), делающие доказатель­ ства намного короче и нагляднее. Теорему несоизмеримости стороны квадрата и его диагонали в наше время можно доказать следующем образом: возьмем квадрат ABCD с диагональю А С и предположим, что АС линейно соизмерима с AB. Допустим, отношение АС : AB в численном выражении равно m : я, где тип — натуральные, взаимно простые числа

114 СУЩНОСТЬ МАТЕМАТИКИ И ЕЕ ФУНКЦИИ

Приведем доказательство несоизмеримости стороны квадрата и его диаметра из «Начал» (X):

Пусть нам будет предложено доказать, что для квадратных фигур диаметр будет линейно несоизмерим со стороной.

Пусть квадрат будет ABCD, диаметр же его АС; я утверждаю, что CA будет линейно несоизмерима с AB.

квадрата на AB (предложение 47 книги I). И поскольку CA соизмерима с AB, то, значит, CA имеет к AB отношение как число к числу (предложение 6). Пусть оно будут иметь то, которое El имеет к Я, и пусть ΕΙ, Я будут наименьшие из имеющих с ними одно и то же отношение (ср. предложение 33 книги VII); значит, El не будет единицей. Действительно, если El будет единицей, имеет же к Я отношение, какое АС имеет к AB, и АС больше AB, то, значит, и El (единица) больше Я — числа (предложение 14 книги V);

(т. е. m и η имеют только один общий делитель, равный единице). Из АС : AB = m : η следует (AC)2 : (AB)2 = m2 : η2. Согласно теореме Пифагора, мы знаем, что (АС)2 = 2(АВ)2, следовательно, 2 = т2: п2 или т2 = 2л2, значит, т2

— четное число и, следовательно, само m — четное число (это заключение верно, так как квадрат нечетного числа тоже нечетен!) Так как m — четное число, существует число h = т/2. Отсюда, m = 2h. Следовательно, т2 = ЛИ2. Поскольку выше мы получили т2 = 2п , то 2п2 = Ah2, следовательно, п2 = 2л2. Значит, η — четное число и, следовательно, η — тоже четное число. Но по условию тип взаимно простые числа, и если т, как мы видели выше, четное число, то η должно быть нечетным. Это противоречие, и значит, что наше первоначальное предположение, что диагональ квадрата АС линейно соизмерима со стороной квадрата AB, неверно. Отсюда следует, что диагональ квадрата линейно несоизмерима с его стороной, что и требовалось доказать.

150«Понятие диаметра было обычным у Евклида и других авторов для обозначения диаметра квадрата, а также параллелограмма; диагональ была более поздним термином, введенным Героном» (Heath. The Thirteen Books of Euclid's Elements. Vol. 1. P. 185).

Иррациональные отношения 115

это же нелепо. Значит, El единицей не будет; значит, будет числом. И посколько будет, что как прямая CA к AB, так и число El к Я, то, значит, и как квадрат на CA к квадрату на AB, так и квадрат на El к квадрату на Я (предложение 20 книги VI, следствие; предложение 11 книги VIII). Квадрат же на CA вдвое больше квадрата на AB, значит, и квадрат на El вдвое больше квадрата на Я; значит, квадрат на El будет четным; так что и само El будет четным. Действительно, если бы оно было нечетным, то и квадрат на нем был бы нечетным, поскольку ведь, если складываются сколько угодно нечетных чисел и количество же их нечетно, то и целое будет нечетным (предложение 23 книги IX); значит, El будет четным. Разделим его пополам в G. И поскольку El, Я суть наименьшие из имеющих с ними то же отношение, то они будут первыми между собой (предложение 21 книги VII). И El четное; значит, Я будет нечетным. Действительно, если бы оно было четным, то числа El, Я измеряла бы двойка; ибо всякое четное число имеет половинную часть (определение 6 книги VII); между тем, они являются первыми между собой; это же невозможно. Четным, значит, не будет Я; значит — нечетным. И поскольку El вдвое больше EG, то, значит, квадрат на El в четыре раза больше квадрата на EG (предложение 11 книги VIII). Квадрат же на El вдвое больше квадрата на EG; значит, и квадрат на Я вдвое больше квадрата на EG; значит, четным будет квадрат на Я Четным, значит, вследствие вышесказанного, будет и Я; но оно же и нечетное; это же невозможно. Значит, CA не будет линейно соизмеримым с AB; что и требовалось доказать.

Факт несоизмеримости стороны квадрата и его диагонали (а также несоизмеримости некоторых других отрезков в геометрии), т. е. факт существования «иррациональных соотношений», был известен Платону1 \ который, согласно исследованиям Фаулера,

См., напр.: Гиппий Больший. ЗОЗЬ — «Что же мешает, чтобы... две величины, каждая из которых неопределенна, взятые вместе, давали бы то определенную, то неопределенную величину?..» Э. Хайч в комментарии к этому отрывку отмечает, что утверждение Сократа, «что сумма двух иррациональных слагаемых может быть иногда рациональной, иногда ир­ рациональной, часто вообще не рассматривается некоторыми исследо-