Материал: Zennkhauzer_V_-_Platon_i_matematika_-2016
Иррациональные отношения 121
геометрическим формам, как это утверждают идеалисты, у греков геометрия стала играть роль алгебры»163. Этот геометрический путь «был ошибкой в стратегии, хотя на первых порах античная мате матика получила большие тактические преимущества. Построение алгебры на основе геометрии впервые позволило обосновывать общим образом некоторые теоремы и правила алгебры, однако при дальнейшем развитии геометрическое облачение как панцирь сковало живое тело античной математики. Оно мешало гармо ничному развитию отдельных частей математики, делало ее громоздкой и малоподвижной. Геометрическая броня античной математики походила на внешний скелет панцирных животных, который при дальнейшей эволюции был заменен внутренним скелетом»1 . Чтобы читатель мог «прочувствовать» особенности геометрического метода, применявшегося Платоном и древними греческими математиками, приведем несколько примеров.
Чтобы продемонстрировать для начала преимущество reo-
2 |
2 |
2 |
метрического метода, возьмем формулу (а + Ь) = а + lab + Ъ , которая непонятна для многих школьников. В геометрической форме это уравнение сразу становится очевидным: большой квадрат
2 |
|
2 |
2 |
(а + Ь) состоит из двух квадратов а |
и Ъ и двух одинаковых |
||
прямоугольников ab: |
а |
Ъ_ |
|
|
ab |
Ъ2 |
|
|
а2 |
ab |
|
Кольман. История математики в древности. С. 116.
164История математики с древнейших времен до начала XIX столетия. Т. I. С. 78.
122 СУЩНОСТЬ МАТЕМАТИКИ И ЕЕ ФУНКЦИИ
Демонстрируя трудности чисто геометрических методов, Бурбаки приводит следующий пример. В X книге «Начал» Евклид «рассматривает выражения, получаемые путем сочетания несколь ких радикалов, как, например, Д/Л/Я±Л/£ (где а и b — рациональные), приводит условия, при которых эти выражения являются иррацио нальными, разбивает их на многочисленные категории (доказывая, что они отличны друг от друга) и изучает алгебраические соотношения между этими различными иррациональностями,
например такое, которое мы бы теперь записали следующим образом: VV/> + V? - V K ^ + V / ^ ^ V K ^ - ^ 7 - ^ )
Все это было выражено на обычном для "Начал" языке геометрии, что делало изложение особенно неудобным и запутанным»165.
А теперь посмотрим, как древние греки решали квадратное уравнение χ - ах + b = 0. Этот пример потребует от читателя внимательного рассмотрения, но он является полезным для того, чтобы немножко лучше понять форму математического мышления, используемого Платоном. Сначала мы интерпретируем величины дс, a, b геометрически. Пусть χ будет отрезком, так же а. Тогда х2 означает площадь квадрата, и ах — площадь прямоугольника. Следовательно, b также должно выражать площадь; пусть b означает квадрат со стороной Vè. Уравнение х2 - ах + b = 0 мы напишем в форме ах - χ = b и интерпретируем его геометрически таким образом: отрезок χ должен конструироваться так, чтобы площадь прямоугольника ах минус площадь квадрата χ была равна площади квадрата Ь.
Сначала дадим «рецепт» для решения:
Первый шаг: Нам дано 6, надо определить V&. Это делается с помощью геометрического построения высоты. На прямой отложим отрезки 1 и е. В точке их касания О поставим перпендикуляр. Над отрезком 1 + b начертим круг. По теореме Фалеса (вписанный угол, опирающийся на диаметр, является прямым, так как он опирается
Бурбаки. Очерки по истории математики. С. 88.
Иррациональные отношения 123
на половину окружности) точка С касания перпендикуляра с кругом определяет угол прямоугольного треугольника. Его высота равна Vô, так как по теореме о высоте прямоугольного треугольника произведение частей гипотенузы, на которые их делит высота, — 1 и Ь — равно квадрату высоты: \ b = (Vè)2.
μ
Второй шаг: нарисуем отрезок AB = а. Проведем перпендикуляр m через середину отрезка. От точки касания С отложим отрезок равный Vb, конец этого отрезка - точка О. Нарисуем окружность с центром О и радиусом а/2. Определим точки касания окружности с отрезком AB : D и Ε. Тогда отрезок DB является одним решением дг/, и отрезок ЕВ другим решением Х2 уравнения χ - ах + Ъ = 0.
oc=V£
