Дефиниции 141
Дефиниция, определение — это процедура придания строго фиксированного смысла терминам языка. По мнению некоторых исследователей, Платон сыграл значительную роль в истории
дефиниций с точки зрениях их правильного понимания и использо-
197
вания . Суть сократического метода, широко используемого Платоном в диалогах, состоит в том, чтобы ставить под вопрос используемые понятия до тех пор, пока не выявится их подлинное значение:
Ведь пока мы с тобою относительно него [софиста. — В. 3.] согласны в одном только имени, а то, что мы называем этим именем, быть может, каждый из нас про себя понимает посвоему, меж тем как всегда и во всем должно скорее с помощью объяснения соглашаться относительно самой вещи, чем соглашаться об одном только имени без объяснения198.
Например, когда платоновский Сократ начинает рассматривать «человека при тираническом строе»199, он сначала выясняет смысл такого важнейшего понятия, как «вожделение»:
По-моему, мы недостаточно разобрали вожделения — в чем они состоят и сколько их. А раз этого не хватает, не будет полной ясности и в том исследовании, которое мы пред-
200
принимаем
«Я считаю, что действительно в значительной степени именно благодаря влиянию Платона дефиниции играют в античной математике более важ ную роль, чем в современной» (Fritz. Platon, Theaetet und die antike Mathe matik. S. 40). Согласно Диогену, Платон первым «употребил в философии такие понятия, как "противостояние", "основа", "диалектика", "качество", "продолговатое число", "открытая плоскость граней"» (DL. III, 24).
Софист. 218Ь-с. Государство. 571а. Там же.
142СУЩНОСТЬ МАТЕМАТИКИ И ЕЕ ФУНКЦИИ
А.В. Родин описывает сущность сократического метода таким образом: «У платоновского Сократа есть один универсальный вопрос, с которого он начинает всякое теоретическое исследование:
"Что есть то, о чем идет речь?" (τί έστι). Ответ на такой вопрос назы вается определением (ορός)»201. Так и Сократ спрашивает Теэтета:
202
«Кто-то может понять имя чего-то, не зная, что это такое?» Особенность позиции Платона становится более ясной при
сравнении с номиналистическим подходом к дефиниции. Например, номиналист У. Куайн пишет: «Определения... должны рас сматриваться как сторонние соглашения, сокращающие запись. Вводимые ими новые обозначения должны рассматриваться как внешние по отношению к нашему базовому языку; единственное, так сказать, неофициальное оправдание нашего введения таких обозначений — это гарантия их однозначной устранимости в пользу базовой записи... цель определения, вероятно, состоит в сокра щении записи...» Другими словами, дефиниция как техническая аббревиатура никоим образом не отвечает на вопрос: «Что есть эта вещь?» Но для Платона все как раз наоборот: процесс определения должен именно раскрывать нам «суть вещи». Дефиниция в платоновском понимании действительно отвечает на вопрос: «Что есть эта вещь?», и ответ предполагается «определенным, т. е. единственным. Множественность полученных не увязанных между собой ответов свидетельствует о том, что вопрос остался без удовлетворительного ответа»
Родин. Математика Евклида в свете философии Платона и Аристотеля. С. 21. Далее Родин пишет: «У платоновского Сократа вопрос "τί έστι" ("что это есть?"), ответом на который является родо-видовое определение, играет роль теоретического запроса, т. е. является вопросом, который пере водит речь в теоретическую сферу, предваряет теорию как таковую» (Там же. С. 25).
Теэтет. 147Ь.
Куайн. С точки зрения логики. С. 126.
Родин. Математика Евклида в свете философии Платона и Аристотеля. С. 28.
Дефиниции 143
Например, в одном из диалогов Сократ спрашивает: «Что есть знание?» Ответы, даваемые собеседниками, не удовлетворяют его, так как они являются только примерами, а не дефинициями, поэтому Сократ замечает:
Стало быть, смешно в ответ на вопрос, что есть знание, называть имя какого-то искусства. Ведь вопрос состоял не в том, о чем бывает знание... Кроме того, там, где можно ответить просто и коротко, проделывается бесконечный путь. Например, на вопрос о глине можно просто и прямо сказать, что глина — увлажненная водой земля, а уж у кого в руках
205
находится глина — это оставить в покое В этот момент происходит интересное событие: собеседник
Теэтет приходит Сократу на помощь. Он хорошо понял суть дефиниций: надо подходящим способом соединить какие-то «вещи»
— возможно, очень большое или даже бесконечное количество феноменов — и подвести их под единое название, при этом «коротко и просто». Да, есть простые примеры определений: «Глина — это увлажненная водой земля». Но в философских обсуждениях задачи зачастую сложнее. Так, Теэтет вспоминает о вспомогательном примере из математики: Феодор доказал иррацио нальность V3, V5, ..., до Vi7, и потом они использовали дефиниции, чтобы осуществлять распределение (классификацию) бесконечного количества разных отрезков , иррациональных и рациональных. По словам Теэтета, ситуация была такова:
Феодор объяснял нам на чертежах нечто о сторонах квадрата [площадь которого выражена продолговатым числом], нала гая их на трехфутовый и пятифутовый [отрезки] соответст венно и доказывая, что по длине они несоизмеримы с однофутовым [отрезком]; и так перебирая [эти отрезки] один
205Теэтет. 147Ь-с.
206«По вопросу о несоизмеримости или иррациональности мы имеем прежде всего отрывок из "Теэтета", где Феодор доказывает несоизмеримость V3, V5, ... Vi7, после чего Теэтет создает общую теорию подобных "корней"» (Heath. A History of Greek Mathematics. Vol. 1. P. 304).
144 СУЩНОСТЬ МАТЕМАТИКИ И ЕЕ ФУНКЦИИ
за другим, он дошел до семнадцатифутового. Тут его что-то остановило. Поскольку такого рода отрезков оказалось бесчисленное множество, нам пришло в голову попытаться найти какое-то их единое [свойство], с помощью которого мы могли бы охарактеризовать их все. — Сократ: Ну, и
нашли вы что-нибудь подобное? — Теэтет: Мне кажется, нашли. Взгляни же и ты207.
Акак же Феодор и Теэтет решили эту задачу?
Весь [ряд] чисел разделили мы надвое: одни числа можно получить, взяв какое-то число равное ему число раз. Уподобив это равностороннему четырехугольнику, мы наз-
208
вали такие числа равносторонними и четырехугольными Эти «равносторонние и четырехугольные числа» (мы называем
их «числа второй степени») соответствуют дефиниции Д\: числа, которые могут возникнуть из возведения в квадрат одного натурального числа. Их ряд начинается с чисел
1, 4, 9, 25, 36 и т. д.
Другие числа Феодор и Теэтет определили таким образом: эти числа
стоят между первыми, например три, пять и всякое другое число, которое нельзя получить таким способом, а лишь взяв большее число меньшее число раз или взяв меньшее число большее число раз. Эти другие числа мы назвали продолговатыми, представив большее и меньшее число как
209
стороны продолговатого четырехугольника Они соответствуют определению Д?. числа, которые не могут
возникнуть из возведения в квадрат одного натурального числа, и, согласно дефиниции, являются всеми остальными числами:
Теэтет. 147с-е. Там же. 147е. Теэтет. 148а.
Дефиниции 145
2, 3, 5, 6, 7, 8, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 17 и т. д.
Дальше они дали определение двух типов отрезков:
Всякий отрезок, который при построении на нем квадрата дает площадь, выраженную равносторонним числом, мы назвали длиной, а всякий отрезок, который дает разно стороннее продолговатое число, мы назвали [несоизмеримой с единицей] стороной квадрата, потому что такие отрезки соизмеримы первым не по длине, а лишь по площадям, которые они образуют. То же и для объемных тел210.
То есть «длина» — это отрезки длиной 1, 2, 3, 4, 5, ... Площади квадратов, построенных на таких отрезках, выражаются «равно сторонними числами» (1, 4, 9, 16, 25 и далее). А «сторона» — это отрезки, которые дают квадраты с площадью 2, 3, 5, 6, 7, 8, 10 и т. д. Они представляют собой корни V2, V3, V5, Vô, V7, V8, VlO и пр., т. е. иррациональные числа (как мы называем их сегодня); с единицей соизмеримы эти площади, но не сами отрезки.
По рассказу Платона, Феодор доказывал иррациональность этих корней вплоть до Vi7. Мы не знаем, каким образом он делал это и почему остановился именно на V172". Но интересно, что Платон
210Там же.
211Ван дер Варден излагает возможные решения и показывает вероятную причину того, почему Феодор остановился на Vi7. См.: Ван дер Варден. Пробуждающаяся наука. С. 197-202. См. также: Burnyeat. The Philosophical Sense of Theaetetus' Mathematics. P. 502-505; там есть и возможные причины того, почему Теодор начал с V3, а не с V2. Способ доказательства Феодора и то, почему он остановился на Vi7, объясняется, по мнению Ж. Итара, тем, что все это доказательство может быть совершено при помощи одного только учения о четных и нечетных числах и что первое число, для кото рого этот способ не пригоден, как раз и есть 17. Рассуждение следующее. Используя современные термины, мы скажем: если разность двух целых чисел а - b делится на целое число m без остатка, то мы говорим, что они «сравнимы по модулю m», и пишем а = b (mod m). Значит, если а = Ь, то а - b делится по любому модулю. Теперь допустим, что у нас имеется
рациональное число plq так, что его квадрат делится без остатка, т. е. p2lq2 = N. Тогда мы имеем равенство р2 = Nq2 или р2 - Nq2 = 0. Значит,