Древневавилонская задача 531
мины серебра между 10 братьями так, чтобы доли братьев образо вали арифметическую прогрессию, причем известно, что доля 8-го брата равна 6 шекелям.
Задача решалась так: сначала определялась доля, приходящаяся на каждого брата в среднем, т. е. 10 шекелей, затем сумма долей 8- го и 3-го братьев (20 шекелей), далее превышение доли 3-го брата над долей 8-го (8 шекелей) и, наконец, искомое превышение, т. е. разность долей данной прогрессии.
Решение было арифметическим, велось по продуманному плану, предполагало знание свойств арифметической прогрессии, но алгебраических формул в явном виде не применяло. Вместе с тем в задачах на геометрическую прогрессию, а также на нахождение суммы квадратов чисел предписание, по которому велось вычисление, со всей очевидностью указывает, что вавилонскому математику были известны общие правила суммирования арифметической и геометрической прогрессий и квадратов чисел» .
Для гуманитариев в этой задаче нет ничего сложного, нужно только внимательно в ней разобраться (и это полезно). Сначала
надо учесть, что вавилоняне использовали шестидесятеричную
2
систему счисления, и это значит, что 1^ мины в вышеупомянутой
цитате надо писать в форме \-^ = ^г- МИНЫ. НО 1 мина равняется 60
шекелям, следовательно, 1-| мины равняется 100 шекелям. Тогда каждый из 10 братьев получил бы, при равном распределении, 10
шекелей.
И вавилоняне продолжали мыслить таким образом:
Кольман. История математики в древности. С. 53. Другие источники таких задач: Чистяков. Три знаменитые задачи древности; Барвин, Фрибус. Старинные задачи.
532 |
НЕКОТОРЫЕ УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ГУМАНИТАРИЕВ |
|
|
|
||||||
Братья |
|
|
|
|
|
|
6 шекелей |
|
||
® |
® |
® |
® |
® |
Î |
@ |
® |
|||
Ф |
® |
® |
||||||||
|
|
I |
|
|
|
|
|
I |
|
|
|
|
|
® |
и ® |
|
вместе 20 шекелей |
|
|
|
|
|
|
|
—> ® |
получает 14 шекелей |
|
|
||||
|
|
|
-* |
® |
получает на 8 шекелей больше чем |
® |
||||
|
|
|
—> |
8 шекелей больше в течение 5 шагов |
|
|||||
|
|
|
—• |
1 шаг соответствует | |
шекелей |
|
|
|||
Теперь они знают значение шага арифметического ряда и могут вычислить все доли:
86 |
78 |
70 |
62 |
54 |
46 |
38 |
, |
22 |
14 |
5 ' |
5 ' |
5 ' |
5 ' |
5 ' |
5 ' |
5 |
' |
' 5"'' |
5 |
А как мы сегодня решили бы эту задачу? Мы, наверное, написали бы систему уравнений, где А — доля «последнего» брата, их — шаг ряда:
(I) |
А + (А + Х) + (А + Ь) + (А + Ь) + (А + 4Х) + (А + 5Х) + (А + ЬХ) + (А + 1Х) + (А + ЪХ) + (А + |
9Х)-\00ШЖ^ |
|
(II) |
А + 2х - 6 шекелей |
|
|
|
14 |
8 |
|
Отсюда мы легко получаем А = <- , χ = - и, соответственно, все те же доли.
Желательно, чтобы гуманитарии, особенно философы, познакоми лись с древнегреческой математикой (или хотя бы получили какоето представление о ней) как с такой формой математики, которой занимались, например, Платон и Аристотель. Да, можно усом ниться в возможности такого занятия в принципе, так как гумани тарии обычно забывают почти все, чему научились на школьных уроках математики. Тем не менее все же стоит попробовать. Вероятность успеха выше, если сказать им, что никакого экзамена не будет, и пригласить просто спокойно следить за рассуждением, не беспокоясь о том, что они, наверное, многого не понимают. Такой урок похож на то, что происходит, когда мы смотрим на известную картину великого мастера: мы многого не знаем о ее
Один кусочек из Евклида 533
технике, истории, композиции и т. д., но все же можем получить ценные впечатления.
Из «Начал» Евклида мы выбрали предложение 36 книги IX, которое дает некий взгляд на скрытую структуру натуральных чисел. Можно сначала выдать всем участникам текст из Евклида, и пусть кто-то (возможно, сам преподаватель) медленно прочтет его вслух. Текст такой:
Пусть от единицы будут отложены сколько угодно чисел в двойном отно шении до тех пор, пока вся их совокупность сложенная не сделалась первым числом, а именно Л, В, С, Д и пусть Ε равно будет этой совокупности, и £, умноженное на Д произведет ΙΗ. Я утверждаю, что ΙΗ будет совершенным числом.
A JS^ |
С |
D |
|
|
| |
£ |
|
|
|
G |
N |
|
К |
|
, |
|
|
L |
|
, |
X |
|
£ |
H |
/ |
|
|
||
, |
Q |
( ( |
Ρ |
, |
Действительно, каково будет количество А, В, С, Д столько же возьмем от Ε в двойном отношении чисел £, GK, L, М. Значит, "по равенству" (предложение 14 книги VII) будет, что как А к Д так и Ε к М. Значит, произведение из Е, D равно будет произведению из А, M (предложение 19 книги VII). И произ ведение из Е, D есть /Я; и значит, произведение из А, M будет /Я. Значит, А, умножая М, произвело /Я; значит, M измеряет /Я по числу единиц в А. И А есть двойка; значит, IH будет вдвое больше М. Также и Л/, Z,, GK, Ε будут последовательно вдвое больше друг друга; значит, Е, GK9 L, М, /Я последовательно пропорциональны в двойном отношении. Тогда отнимем от второго GK и от последнего /Я соответственно каждое из GN, IX, равных первому Е\ значит, будет, что как остаток второго числа к первому, так и остаток последнего ко всем ему предшествующим (предложение 35). Значит, будет, что как ΝΚ к £, так и ХН к M, L, KG, Ε вместе. И ΝΚ равно Е\ значит, и ХН равно Л/, Z,, GK, Ε вместе. Также и IX равно £, Ε же равно А, В, С, D и единице. Значит, все IH равно Е, GKy L, M и А, В, С, D и единице; и оно измеряется ими. Я утверждаю, что и /Я не измерится никаким иным числом, кроме А, В, С, Д Еу GK, L, M и единицы. В самом деле, если возможно, пусть какое-то О измеряет /Я и пусть О не будет тождественно ни с одним из А, В, С,
534 НЕКОТОРЫЕ УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ГУМАНИТАРИЕВ
Д£, GK, L, М. И сколько раз О измеряет /Я, пусть столько единиц будет в Р\ значит, Р, умножая О, произвело /Я. Но вместе с тем и Е, умножая Д
произвело /Я; значит, будет (предложение 19 книги VII), что как ЕкР, так и О к D. И поскольку от единицы будут последовательно пропорциональные числа A, В, С, Д то, значит, D не измерится никаким иным числом, кроме А, В, С (предложение 13). И предполагается, что О не тождественно ни с одним из А, B, С; значит, О не измерит D. Но как О к Д так и £ к Р; значит, и £ не измеряет Ρ (определение 21 книги VII). И £ — первое; всякое же первое число будет первым по отношению ко всякому, кого оно не измеряет (предложение 29 книги VII). Значит, £", Ρ будут первыми между собой. Первые же и наименьшие (предложение 21 книги VII), наименьшие же равное число раз измеряют имеющие с ними то же отношение (предложение 20 книги VII), предыдущее — предыдущее и последующее — последующее; и как Ε к Р, так и О к Д значит, равное число раз Ε измеряет О и Ρ измеряет D. Но D не измеряется никаким иным, кроме А, Ву С, значит, Ρ будет тождественно одному из А, В, С. Пусть оно тождественно В. И каково будет количество В, С, Д начиная от £, возьмем столько же чисел — £, GК, L. И Е, GK, L с В, С, D будут в том же самом отношении; значит, "по равенству" будет (предложение 14 книги VII), что как 5 к Д так и Ε к L. Значит, произведение из В> L равно произведению из D, Ε (предложение 19 книги VII); но произведение из Д Ε равно произведению из Р, 0\ и значит, произведение из Р, О равно произведению из В, L. Значит, будет, что как Ρ к В, так и L к О (предложение 19 книги VII). И Ρ тождественно с В; значит, и L будет тождественно с О; это же невозможно; ибо О предполагается не тождественным ни одному из отложенных чисел. Значит, /Я не измерится никаким числом, кроме А, В, С, D, Е, GK, L, M и единицы. И доказано, что IN равно А, В, С, Д Е, GK, L, M и единице. Совершенным же числом будет то, которое равно своим частям (определение 23 книги VII); значит, /Я будет совершенным, что и требовалось доказать.
Потом следует обсудить особенности этого доказательства, например то, что Евклид мыслит «геометрически», или то, как тщательно обосновывает он каждый шаг. Но это доказательство требует от нас, по-видимому, больших усилий, и мы можем по достоинству оценить современные возможности, которыми рас полагаем. Современный подход может выглядеть так:
|
|
Один кусочек из Евклида |
535 |
|
Первый шаг: |
|
|
|
|
Переведем предложение 36 в наш язык: |
|
|
||
«Если от |
единицы откладывается |
Если |
|
|
сколько |
угодно |
последовательно -> |
S= 1+2 + 22 +23 +...+ 2" |
|
пропорциональных чисел в двой |
является простым |
чис |
||
ном отношении, до тех пор, пока |
лом, то S-2W является |
|||
вся их совокупность сложенная не |
совершенным числом. |
|||
сделается первым числом и вся |
|
|
||
совокупность, |
умноженная на |
|
|
|
последнее число, произведет чтото, то возникающее число будет совершенным».
Второй шаг:
Мы запишем сумму S = 1 + 2 + 22 + 23 +... +2" в форме 2Я+1 - 1, которая проще для вычисления. Доказательство этого тождества:
S = l + 2 |
+ 22 +23 |
+...+ |
2" || |
- |
( 1 - 2 ) |
S • ( 1 - 2) = 1 - 2 |
+ 2 - |
22 + 2 |
2 - |
23 + 23 - - 2 " + 2 л - 2'л+1 |
|
S- ( 1 - 2 ) |
= 1 - 2 Jл+1 |
|
|
|
|
- S = 1 - 2 J л+1 |
|
|
|
|
|
S= 2л+1 |
1 |
|
|
|
|
значит, 1+ 2 + 22 + 23 +...+ 2я = 2Л+1 - 1
Третий шаг:
Убедимся в правильности предложения 36 с помощью нескольких примеров:
η = 1: S = 2"+1 - 1 = 22 - 1 = 3 — простое число! S-2w = 3-2 = 6
Τ: 1,2,3; ΣΤ = 6
η= 2: S = 2η+ι - 1 = 23 - 1 = 7 — простое число! S-2/1 =7-4 = 28
Τ: 1,2,4,7,14; £Τ = 28
η= 3: S = 2"+1 - 1 = 24 - 1 = 15 — не простое число S-2w= 15-8 = 120
Τ: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60; ΣΤ = 240