526 НЕКОТОРЫЕ УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ГУМАНИТАРИЕВ
полезные науки. Между тем вот что очень важно, хотя поверить этому трудно: в науках очищается и вновь оживает некое орудие души каждого человека, которое другие занятия губят и делают слепым, а между тем сохранить его в целости более ценно, чем иметь тысячу глаз, — ведь только при его помощи можно увидеть истину»58.
Как мы сказали, такие «духовно-математические занятия» не получаются легко, они требуют полной отдачи. «Я думаю, — говорит платоновский Сократ, — ты нелегко и немного найдешь таких предметов, которые представляли бы для обучающегося, даже усердного, больше трудностей, чем этот»5 . Надо учиться долго и серьезно, «нужна привычка, раз ему предстоит увидеть все то, что там, наверху» . И Платон подчеркивает: «Только если кто постоянно занимается этим делом и слил с ним всю свою жизнь, у него внезапно, как свет, засиявший от искры огня, возникает в душе это сознание...»61 Поэтому Ренатус Циглер прав, когда он пишет: «Как знал уже Платон, интенсивное погружение в процессы мышления, в особенности математического мышления, — дело не только формальное. Речь идет о сознательном упорном труде в области самостоятельного мышления. При ближайшем рассмот рении, в этом процессе раскрываются новые источники опыта, которые ведут к нечувственным областям действительности» .
Правда, многие студенты не привыкли сосредотачиваться в течение длительного периода времени на математических задачах. Поэтому упражнения, подобные тем, что приведены в п. Г2, могут показаться невозможными, слишком утомительными, страшными. Но это значит, что студентам нужен хороший проводник по горным маршрутам, готовый помочь и в то же время достаточно строгий, чтобы заставлять их делать над собой усилие...
58Государство. 527d.
59Там же. 526с.
60Там же. 516а.
61VII Письмо. 34Id.
62Ziegler. Mathematik und Geisteswissenschaft. S. 20. (Курсив мой.)
Введение 527
Упорный труд — это одно, направление этого труда — совсем другое. Надо не только трудиться, надо отвернуться от обычной формы математических уроков, и это оказывается довольно сложно,
ведь это не то же самое, что перевернуть черепок; тут надо душу повернуть от некоего сумеречного дня к истинному дню бытия: такое восхождение мы, верно, назовем стрем лением к мудрости63.
Было бы интересно узнать, какими средствами и методами
пользовались в платоновской Академии, чтобы обучить студентов понимать математику в этом новом смысле. К сожалению, мы практически ничего не знаем об этом. Мы лишь слышали от Платона, что
никто не пользуется арифметикой действительно как нау кой, увлекающей нас к бытию64,
и это значит, что Платону и его сотрудникам приходилось искать новые формы, методы и содержание для таких математических уроков. Поэтому нам самим необходимо придумывать специальные «философско-математические» курсы для гуманитариев (и желательно также для самих математиков — ведь им тоже было бы полезно узнать немножко о пути вверх...).
Опытный преподаватель, возможно скажет, что на практике только часть (и иногда очень малая) гуманитариев готова и способна следить за ходом таких упражнений. Но так, вероятно, было и в самой Академии. «Негеометр да не войдет!» — означал ли этот лозунг, что лишь хорошо знающие математику принимались в ее ряды? Вряд ли, говорит И. Н. Мочалова: «Если бы не полу чившие математического образования не принимались в Ака демию, то Аристотель вряд ли мог стать учеником Платона». Но, добавляет она, «для тех, кто выбрал Академию, изучение, в той или иной степени, математического квадривиума становилось обяза-
63Государство. 521b-d.
64Там же. 523а.
528 НЕКОТОРЫЕ УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ГУМАНИТАРИЕВ
тельным» . Несомненно, многие из ее членов не имели специ фического «математического устройства ума», и охотно под писались бы под словами одного швейцарского поэта: «Я люблю тыкву и картофель, но круг пугает меня!» Но все же то, что пишет Жмудь о пифагорейской школе, имело вес не только для Академии Платона, но и для нас: «Неизвестно, насколько было рас пространено преподавание математических дисциплин в пифаго рейской школе. Но даже если оно затрагивало лишь небольшое число учеников, в условиях крайней малочисленности как научных сочинений, так и самих ученых это имело далеко идущие послед ствия. Постоянные занятия математикой позволяли накапливать и сохранять новые знания, а вместе с тем приобщать к ней именно в том возрасте, который благоприятен и для изучения, и для само стоятельного творчества. Эта традиция, поддержанная впоследст вии софистами и закрепленная авторитетом Платона, пережила и Античность, и Средневековье, она сохраняет свою ценность и в наши дни»67.
Как мне кажется, есть многочисленные упражнения, ведущие «человека к размышлению»6*. При их выборе необходимо учиты вать мнения опытных авторов69, но также рекомендуется сохранять определенную свободу, так как выбор задач и упражнений должен учитывать знания учащихся и предпочтения самого преподавателя,
Мочалова. Метафизика ранней академии и проблемы творческого насле дия Платона и Аристотеля. С. 244.
Eggimann. Jesus-Texte. S. 69. Некоторые проблемы математического образования для гуманитариев и их неготовность или неспособность к нему обсуждаются в параграфе 4.7, раздел 5.
Жмудь. Наука, философия и религия в раннем пифагореизме. С. 200-201. Государство. 523а.
Важные аспекты были представлены в 5-й секции («Современные проб лемы математического образования») Третьей всероссийской научной конференции, проходившей 27-28 сентября 2013 г. в Москве; см.: Фило софия математики: актуальные проблемы. Математика и реальность/ В. А. Бажанов и другие. М.: Центр стратегической конъюнктуры, 2013. С. 233-263.
Введение 529
ведь успех зависит от интереса и энтузиазма двух сторон. Важно при этом — мы повторяемся, — что все это должно происходить не «школьно», а в духе платоновских требований: нельзя довольствоваться полученными результатами и отворачиваться от задачи сразу по ее решению, как это обычно делают школьники. Только дополнительный шаг приводит нас к тому, что было для Платона самым важным: к тому, чтобы быть способным улавливать «суть дела», находить «руководящие идеи под поверхностью».
Например: допустим, в какой-то задаче мы использовали формулу
2 2 1
(а + Ь) = а + lab + Ъ . Спросим себя: что мы имеем в виду, когда говорим, что левая сторона равна правой? Далее: что есть равенство? Откуда у нас это понятие, это представление? Является ли оно просто «абстракцией» многообразного опыта в духе Аристотеля, или «руководящей идеей» в духе Платона?70
Вспомним убеждение Платона: хорошо, когда туго соображаю щие ученики становятся с помощью математических упражнений «более восприимчивыми, чем были раньше», но «для этого было бы достаточно какой-то незначительной части геометрии и счета» . Намного важнее вот что:
рассмотреть преобладающую ее [математики] часть, имею щую более широкое применение: направлена ли она к нашей цели, помогает ли она нам созерцать идею блага?12
Ср.: Федон. 75Ь — «Прежде чем начать видеть, слышать и вообще чувствовать, мы должны были каким-то образом узнать о равном самом по себе — что это такое, раз нам предстояло соотносить с ним равенства, постигаемые чувствами: ведь мы понимаем, что все они желают быть такими же, как оно, но уступают ему».
71Государство. 526Ь.
72Там же. Раздел Г12, например, просто требует дополнительных этических размышлений. Сам Эйнштейн страдал от последствий открытия своей формулы; ср. также высказывания легендарного британского астрофизика Стивена Хокинга: в январе 2016 г., в интервью британским СМИ, он назвал главные факторы, угрожающие развитию жизни на Земле. Неконтролируемое технологическое развитие, сказал Хокинг, может привести к глобальной ядерной войне или распространению генетически
530 НЕКОТОРЫЕ УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ГУМАНИТАРИЕВ
Последующие двенадцать предложенных упражнений отслежи вают различные аспекты поставленной цели: от простого тренинга до более «платонического» понимания математики.
Рекомендуется для начала коротко показать арифметические средства древних математиков и те виды задач, которыми они занимались, а потом решить одну задачу, сначала методом древ них, а потом с использованием наших алгебраических возмож ностей. Следующий текст содержит одну задачу из клинописных математических текстов и информацию о ней:
«Среди арифметических задач имеется много задач на отдачу денег в рост (позднее, когда начисление в Древнем Риме, а затем в Венеции, считали "со ста", стали говорить о "процентах"), который вавилонские ростовщики рассчитывали с 60 единиц, а именно в год 12 шекелей с 1 мины (т. е. с 60 шекелей). В задачах требуется по данной величине уплачиваемых в год "процентных" денег опре делить величину начального капитала, найти, во что вырастет данный капитал при начислении процентов и на проценты, опре деление количества лет, за которые данный начальный капитал вырос до данной суммы, и т. п. Подобные задачи решались арифме тически, шаг за шагом, строились и сопоставлялись арифмети ческая и геометрическая прогрессии.
К таким прогрессиям, так же как и у египтян, вели и задачи на раздел денежных сумм. Так, например, требовалось разделить if
модифицированных вирусов. «Мы не сможем перестать двигаться вперед или повернуть прогресс вспять, поэтому нам нужно узнать, где таится опасность, и научиться ее сдерживать». Жизнь на Земле находится в постоянно растущей опасности быть уничтоженной из-за развития ядерного и бактериологического оружия, а также «других угроз, о которых мы еще не думали».