Почему минус на минус дает плюс? 541
продолжит вычисления, неожиданно обнаружит, что для η = 41 f(n) = 1681, и это не простое число, так как 1681 = 41 .
В математике есть множество примеров, которые, по словам Межковского, показывают, что «имеются недопустимые обобще ния, которые не подтверждаются бросающимися в глаза ошибоч ными результатами»74. Межковский сам приводит как такие примеры, так и другие, которые мы, наоборот, сочли бы «невоз можными», но они являются истинными, — и опять наш опыт и наши утверждения оказываются не такими, как мы думали. Например, следующий тезис: «Каждый шар К с радиусом 1 равноразложен (zerlegungsgleich = ) к двум шарам К\ и Κι тоже радиусом 1», т. е.
К&К}, К±К2, Κ±ΚλΌΚ2 = Κ, КХС\К2 = ®
Этот результат полностью противоречит нашему опыту: одно яблоко, скажем мы, невозможно разрезать так, чтобы его части были равны частям двух яблок того же размера. Ну, папа не может, а математик может.. ,75
Вопрос не простой. Я помню, что когда услышал в школе, что «минус на минус дает плюс», то удивился: как это? Конечно, если учитель сказал, что это так, то надо верить, но выглядит это загадочно. 5 умножить на 3, это понятно: 3 раза взять слагаемое 5, и получается 5-3 = 15. Уже менее очевидным является факт, что 3 умножить на 5 дает тот же самый результат: 3-5 = 15, ведь это совсем другая задача. Но опыт показывает, что последовательность множителей не имеет значения, и это можно подтвердить наглядно, если мы возьмем как множители стороны прямоугольника, а произ-
74Meschkowski. Mathematik als Bildungsgrundlage. S. 59.
75Доказательство у этой теоремы не простое, его можно прочитать в: Mesch kowski. Ungelöste und unlösbare Probleme der Geometrie. S. 138-155.
542 НЕКОТОРЫЕ УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ГУМАНИТАРИЕВ
ведением станет площадь прямоугольника: его положение оче видно не имеет значение для площади.
3 |
5 |
3 раза
5 раза
Не очень трудна также задача «(-5) умножить на 3»: мы интер претируем (-5) как некий долг, и три таких долга, очевидно, составят долг (-15). Но совсем плохо обстоит дело с противо положной задачей: «5 умножить на (-3)» означает «минус три раза пять», что не имеет никакого смысла. К счастью, есть хитрый выход: мы скажем, что и здесь можно поменять множители — тогда, конечно, получается
5·(-3)« (-3)5 = -15.
Но рассмотрим теперь нашу задачу «минус пять умножить на минус 3», т. е. (-5)·(-3). Здесь перемена множителей не поможет,
и мы просто не в состоянии понять смысл этого выражения. Что же делать?
Есть два выхода, но оба они требуют расширения поля зрения. Первый путь обращается к алгебре. Формулируются законы, которые легко обосновать:
(я + Ь)'С = а-с + Ь-с a-(b-c) = a-b + c
и предполагается, что они действительны для любых чисел или терминов. Применяя их, мы выводим так: (-5)·(-3) = (0 - 5)·(-3) = 0·(-3)-5·(-3) = 0-5·(-3) = 0 - 5 · ( 0 - 3 ) = 0-[5·(0-3)] = 0-[(0-3)·5] = 0 - [ 0 - 5 - 3 - 5 ] = 0 - [ 0 - 1 5 ] = 0 - 0 + 1 5 = 0+15 = +15.
Другой путь использует представление о комплексных числах: «число» — это вектор в двухмерном пространстве, и «умножать» означает «растягивать и вращать». В нашем примере:
Почему минус на минус дает плюс? 543
5 умножить на 3 означает «растягивать отрезок длины 5 по правой стороне числовой оси на коэффициент 3»:
5-3-15
I I I I I I I ' I M I M I I I
15
(-5) умножить на 3 означает «растягивать отрезок длины 5 по левой стороне числовой оси на коэффициент 3»:
(_5)-3«-15
-5
-15
M i I t I I M I I M
5 умножить на (-3) означает «растягивать отрезок длины 5 по правой стороне числовой оси на коэффициент 3 и обращать результат на 180° против часовой стрелки»:
5·(-3)--15
ц ι ι ι ι ι ι ι ι Γι I I I
-15
(-5) умножить на (-3) означает «растягивать отрезок длины 5 по левой стороне числовой оси на коэффициент 3 и обращать результат на 180° против часовой стрелки»:
И-И-+15
< |
Н И М ,-5 |
1 |
|
ι 1^ м ι |
M | у | | | | | I J J ^ I ι ι ι |
Теперь наглядно понятно, почему «минус умножить на минус дает плюс» (разумеется, наши объяснения — это не доказательство; вся система счета просто устроена таким образом, и уже потом можно убедиться, что такая система хорошо работает).
544 НЕКОТОРЫЕ УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ГУМАНИТАРИЕВ
Г6: Почему есть только пять правильных многогранников?
Выше мы обсудили так называемые Платоновы тела, т. е. правиль ные многогранники, которым Платон соположил четыре стихии (землю, воздух, воду и огонь). Платон знал, что есть и пятый многогранник, додекаэдр, и он ассоциировал его со Вселенной, без дальнейших объяснений. Но почему же есть пять и только пять таких тел? Найти ответ нетрудно, и гуманитариям будет особенно интересно, что одно из объяснений этого феномена принадлежит знаменитому Иоганну Кеплеру. Можно раздать текст всем учащимся, чтобы каждый попробовал разобраться в нем; потом можно все обсудить и прояснить неясности. Текст такой:
«Кроме упомянутых пяти тел [тетраэдр (пирамида), гексаэдр (куб), октаэдр, икосаэдр, додекаэдр], нет больше ни одного тела с равносторонними и равноугольными гранями. Так как из двух треугольников или двух других фигур нельзя образовать вещественный угол. Из трех треугольников, однако, возникает угол пирамиды, из 4-х — октаэдра, из пяти — икосаэдра. Из шести равносторонних и равноугольных треугольников, которые соприкасаются в одной точке, нельзя образовать вещественный угол. Так как угол равностороннего треугольника составляет 2/3 прямого, 6 таких углов вместе составляют 4 прямых угла. И ничего не выходит — так как целый угол образуется из менее чем 4-х прямых (Евклид. XI. 21). По той же самой причине никакой вещественный угол не может образоваться из более чем 6-ти таких углов. Из 3-х квадратов возникает угол куба; из 4-х квадратов не возникает никакого вещественного угла, так как их углы — это вместе 4 прямых. Из 3-х равносторонних и равноугольных пятиугольников возникает угол додекаэдра. Из 4-х, однако, не возникает никакого вещественного угла. Так как угол равно стороннего пятиугольника составляет 1 1/5 прямого, 4 таких угла были бы больше, чем 4 прямых. И ничего не выходит. Также из других многоугольников нельзя образовать вещественный угол, так как из этого получилось бы нечто невозможное. Поэтому ясно, что
Доказательсто теоремы Пифагоры по Гауссу 545
кроме упомянутых 5-ти, нельзя образовать никакое другое тело, заключенное в равносторонних и равноугольных гранях»76.
Г7: Доказательсто теоремы Пифагоры по Гауссу
Гуманитариям будет интересно ознакомиться с подлинным текстом «короля математики», текстом, который они легко смогут понять, и который был для Гаусса, наверное, просто небольшим развле чением . Для знающих латинский язык текст будет любопытным упражнением, а остальные все равно смогут следить за ходом мышления.
Brunsvigae, 1797, Oct. 16.
Nova theorematis pythagoraei demonstratio
::,]
D A B
Theorema. Si trianguli ABC angulus sit rectus, erit
ABqu + AC*U = BC*U
Demonstratio.
Producatur AB utrinque fiatque
BD=BF = BC.
Turn triangula CBD, CBF erunt isocelia et anguli
Kepler. Mysterium Cosmographicum (1596). Гл. 2. Примеч. 4. Gauss. Werke. Bd. X/l. S. 524-525.