Материал: Zennkhauzer_V_-_Platon_i_matematika_-2016

546 НЕКОТОРЫЕ УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ГУМАНИТАРИЕВ

BDC=BCD; BCF = BFC.

At

BDC + DCB + BCF + CFB = 2 Rectis.

Quare DCB + BCF erit = Recto. Hinc Angulus CDA =ACFet triangula ACD, AFC similia. Quare

AC:AD = AF:AC

et АС*и = Rectg. sub AD et ^F i. e. sub ВС - AB et ВС + ЛЯ. Hinc

(Eukl. Elem. И)78

AC*u = BC?u-ABqu

et

QED.

Г8: Доказательство теоремы Морли79

Мы уже говорили (см. Б2) о том удивительном факте, что точки пересечения смежных трисектрис углов произвольного треуголь­ ника являются вершинами равностороннего треугольника. Давайте теперь докажем это. Мы начнем с треугольника Морли, т. е. с равностороннего треугольника, сконструируем на нем три треугольника и покажем, что они формируют треугольник с трисектрисой углов. Потом можно, идя в «обратную сторону», убедиться, что каждый треугольник имеет внутри равносторонний треугольник.

Гаусс применяет здесь предложение 5 из второй книги Евклида: «Если прямая линия рассечена на равные и неравные отрезки, то прямоугольник, заключенный между неравными отрезками всей прямой, вместе с квадра­ том на отрезке между сечениями равен квадрату на половине».

Есть целый ряд доказательств. Мы применяем в основном доказательство от: Newman D. J. The Morley miracle // The Mathematical Intelligencer 18, 1996. P. 31-32. Больше информации о теореме Морли см. в: Oakley С. О., Baker J. С. The Morley trisector theorem // American Mathematical Monthly 85, 1978. P. 737-745.

произвольные, только их сумма должна быть равна 60°. (В нашем рисунке мы выбрали а = 20°, β= 15°, γ = 25°.)

В треугольнике Θ мы назовем одну сторону л: и в треугольнике Φ мы назовем одну сторону у.

Пример чисто аксиоматической дедукции 549

с другими внешними треугольниками, то мы докажем, что полу­ чили следующую фигуру:

Мы видим, что наша конструкция, начиная с треугольника Морли с произвольной стороной s, привела к треугольнику с разделенными на три части углами. И так как гомотетия сохраняет все углы, начиная от треугольника Морли, мы всегда получим нашу большую фигуру с трисектрисой углов, и наоборот.

Г9: Пример чисто аксиоматической дедукции

В параграфе 2.11 мы говорили, что платоновские диалоги по своей структуре часто аналогичны математическим дедукциям, и разъяс­ няли это с помощью схемы, где левая сторона демонстрировала один из примеров математической дедукции. Изложим здесь эту дедукцию подробнее.

Суть аксиоматического метода состоит в том, что сначала опре­ деляется фундамент: перечисляются все аксиомы и все правила, необходимые для сооружения теории. Решить, какие именно аксиомы и правила являются подходящими и достаточными, — обычно довольно сложное дело, но предположим, что нам дан этот фундамент. Тогда построение предложений на нем является в

550 НЕКОТОРЫЕ УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ГУМАНИТАРИЕВ

принципе заданием, которое можно решать машинным способом. Мы поставляем машине аксиомы и правила, а она дает нам результаты.

Рассмотрим сейчас кусочек такого «машинального» хода аксио­ матической дедукции. Наши предпосылки: три аксиомы Al, А2, A3, одна дефиниция DS и одно соглашение V:

Как это возможно? Сначала мы скажем машине, чтобы она выбрала DS и подставила вместо b выражение (Ь - с). Машина автомати­ чески заменяет вторые скобки квадратными:

© выражение с той же структурой, как в левой части дефиниции DS, т. е. структуру (а - Ь) + А, и «сократить» ее согласно DS. Машина находит в уравнении © термин (Ь - с) + с, сокращает его на é, и пишет уравнение © в сокращенной форме

® [а-(Ъ-с)]+ Ь = а + с.

Теперь машина должна заменить термин а на правой стороне уравнения ® на термин (а - Ь) + b согласно DS. Машина делает это и пишет