556 НЕКОТОРЫЕ УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ГУМАНИТАРИЕВ
утверждение («4т — иррациональное число»), которое невоз можно подтвердить формальными средствами, но можно с помощью «абсолютной логики».83
3
«Вопрос о том, содержится ли в определенной двойственной дроби бесконечное количество нулей или нет, решается для опре деленных двойственных дробей формально. Связанные доказа тельства (и, следовательно, эти сами двойственные дроби) можно в рамках точного формализма представить в виде счетного ряда. Диагональный процесс дает двойственную дробь δ, таким образом, что предложение: "δ не содержит бесконечно много нулей" формально не решаемо, и таким образом формально непротиво речиво. Но оно точно ошибочно, так как можно решить вопрос для дроби 0,111111... бесконечно многими формальными доказа тельствами, и им соответствует в δ каждый раз один ноль. Это доказательство абсолютной логики нельзя представить формально;
каждая попытка ведет к невыполнимому кругу»84. |
|
Г11: Платоновская арифметика |
|
Вспомним, что Платон требовал заниматься числами |
не ради |
|
or |
купли-продажи, а для того, чтобы созерцать природу чисел |
. Такое |
созерцание позволяет сделать первые шаги на пути к философскому созерцанию бытия. Мы мало знаем о конкретных арифметических упражнениях, бытовавших в Академии для дости жения этой цели, но вероятно, стоит обратить внимание на нату ральные и особенно на простые числа, так как у них существуют
Этот пример взят из: Finsler. Formale Beweise und die Entscheidbarkeit. S. 681-682.
Finsler. Über die Grundlegung der Mathematik. S. 18. Если понадобится, то можно найти подробное изложение в статье: Finsler. Formale Beweise und die Entscheidbarkeit. S. 678-680.
Государство. 525c.
Платоновская арифметика 557
некоторые удивительные, а иногда даже странные или загадочные свойства. В конце параграфа 3.1 мы уже упоминали о некоторых из них; здесь же мы сначала поставим для обсуждения ряд вопросов о числах в целом, необходимых, чтобы не просто использовать их «по-торгашески», а подумать об их природе; а потом мы более подробно займемся простыми числами.
(1) Числа мы делим на положительные и отрицательные, и кажется, что они являются зеркальным отражением друг друга:
I |
I |
I |
I |
1 |
I |
I |
I |
I |
1 |
-5 |
- 4 |
- 3 |
- 2 |
-1 |
+1 |
+2 |
+3 |
+4 |
+5 |
На самом деле это не совсем так. Если мы применяем прямые операции (сложение, умножение, возведение в степень) к поло жительным числам, мы всегда будем оставаться в плюсе, а отри цательная зона будет для нас недостижима. Но из отрицательной зоны можно перешагнуть в положительную:
(-5) + (+8)-+3, (-5)-(-8) = +40, (-5)2=(+25).
Положительная и отрицательная зоны как-то отличаются в самой их сути. И если нам захочется помедитировать об этом, следует просто заменить «положительное» на «доброе», а «отрицательное» на «злое»... Похожим образом можно задуматься и над сле дующими вопросами:
(2)Нас учат, как можно перешагнуть от одной числовой области к другой: натуральные —» целые —• рациональные —• действительные —• комплексные числа. Вопрос: можно ли перешагнуть и дальше? И если да, то что мы выиграем и что потеряем от этого?
(3)Нас учат, что деление на ноль «запрещено». Кто запретил это? Как можно «запретить» что-то в математике? Что произойдет, если мы просто проигнорируем этот запрет?
558 НЕКОТОРЫЕ УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ГУМАНИТАРИЕВ
(4)Существуют числа, вряд ли доступные на эмоциональном уровне, но, по-видимому, фундаментальные. Одно из них — знаменитое число Эйлера е = 2,7182818284... Оно настолько странно, что кажется недостижимым, но при этом все равно остается фундаментальным и полезным...
(5)Знак равенства = повсеместно используется в математике. Но значение этого знака варьируется в зависимости от контекста, и часто не заметно. Можно посмотреть и исследовать следующие примеры:
ζ = ζ
(2+ζ)2 = ζ(4+ζ)+4 (2+ζ)2 = ζ(4+ζ)+5 (2+ζ)2 = ζ(5+ζ)+5
Теперь обратимся специально к простым числам86. В этой обла сти есть воистину удивительные и загадочные явления, которые позволят смотреть на числа в смысле Платона. В конце параграфа 3.1 мы уже упоминали совершенные числа, дружественные числа, проблему близнецов, проблему Ферма и разбиение натуральных чисел. Добавим еще несколько фактов и вопросов.
Возьмем ряд простых чисел <100: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97. Бросается в глаза, что они появляются в нерегулярных интервалах: 1, 2, 2, 4, 2, 4, 2, 4, 6, 2, 6, 4, 2, 4, 6, 6, 2, 6, 4, 2, 6, 4, 6, 8. Кажется, что эти интервалы всегда малы, но существуют и сколь угодно большие: рассмотрим, например, произведение всех натуральных чисел от 1 до 10001 и назовем результат буквой Ζ. Потом напишем ряд чисел Ζ + 2, Ζ + 3, Ζ + 4, ..., Ζ + 10001. Все эти десять тысяч последо вательных чисел не простые, так как Ζ + 2 делится на 2, Ζ + 3 делится на 3, и так далее. Значит, существуют сколь угодно
Я использую, главным образом, подборку примеров из книги: LocherErnst. Die Reihe der natürlichen Zahlen als Geistkunstwerk.
Платоновская арифметика 559
большие интервалы между двумя простыми числами, и при этом все равно есть всегда новые, еще большие простые числа...
Возникает вопрос: существует ли закономерность, по которой появляются простые числа? Эта проблема мучила многих великих математиков, что неудивительно, если мы обратим внимание на такие феномены, как следующий: бывает, что почти одинаковые натуральные числа образуются из совсем разных простых множителей, например:
370 273 = 43· 79· 109
370 277 = 17· 23-947
370 279 = 7 -13 · 13 ·313
И все же кое-что в этой связи сказать мы можем. Обозначим, например, количество простых чисел от 1 до η знаком А(п). Тогда, воспользовавшись таблицей, можно найти, допустим, А(\00) = 25, А(200) = 46, Л(300) = 62. Никакой точной закономерности здесь, кажется, нет. Но двадцатилетний Гаусс предполагал, что есть хотя бы аппроксимация, которая тем лучше, чем больше число п.
Аппроксимация такая:
A(")-n:(H+M+-+i)
Это значит: если η растет, то значение выражения
|
|
|
1 |
Л/ |
ч /1 |
|
1 |
1 |
1 |
\\ |
|
|
|
|
— -Ain)' |
— + 7Г + -Г + -Г + ... |
+ — |
||||||
|
|
|
η |
ν |
; |
^2 |
3 |
4 |
5 |
η) |
|
устремляется к числу 1. Рассмотрим следующую таблицу: |
|||||||||||
|
|
|
А(п) |
|
I |
1 |
1 |
1 |
1 |
Ί ι ι ι |
|
|
η |
|
|
Г 3 |
4 |
5 |
л |
Т * > ( Д + Т + 4 + Т + · -*) |
|||
|
1000 |
|
168 |
|
|
|
|
6,4854... |
1,089... |
||
|
10 |
000 |
1229 |
|
|
|
|
8,7876... |
1,080... |
||
|
100 |
000 |
9 592 |
|
|
|
|
11,0901... |
1,063... |
||
1 000 000 |
78 |
498 |
|
|
|
|
13,3927... |
1,051... |
|||
10 |
000 000 |
664 579 |
|
|
|
|
15,6953... |
1,043... |
|||
100 |
000 000 |
5 761 455 |
|
|
|
|
17,9978... |
1,036... |
|||
1 000 000 000 |
50 847 478 |
|
|
|
|
20,3004... |
1,032... |
||||
560 НЕКОТОРЫЕ УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ГУМАНИТАРИЕВ
Утверждение Гаусса указывает на некую закономерность, хотя она описывает только группы простых чисел. Но существует и закон, описывающий структуру отдельных простых чисел. Это так называемая пентагональная теорема Эйлера, о которой трудно ска зать, что в ней больше удивляет: сама теорема или ее находка Эйлером. Важную роль в ней играют «пентагональные числа». Они определяются следующим алгоритмом:
|
|
о* |
= |
о |
I я |
= I |
I + ι2 |
= |
2 |
I + 2 2 |
= 5 |
I + 2 + 22 |
= 7 |
|
I + 2 + 3 5 |
= 12 |
I + 2 + з + з2 |
= 15 |
|
ι + 2 + з + 4* |
= 22 |
1 + 2 + 3 + 4 + 4 2 |
= 26 |
|
1-1-2+3+4-1- 5а |
= 35 |
1 + 2 + 3 + 4 + 5+ 52 |
= |
4o |
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + б 2 |
=5i |
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + б 2 |
=57 |
|
• |
· |
ш |
· |
· |
· |
· |
Π |
τ |
* |
τ |
τ |
· |
* |
Τ |
|
i—·—· |
|
ι |
· |
·—i |
|||
Первые пентагональные числа, соответственно, следующие:
1, 2, 5, 7, 12, 15, 22, 26, 35, 40, 51, 57, 70, 77...
А сейчас покажем саму пентагональную теорему Эйлера на конкретных примерах. Мы выберем какое-то натуральное число η и используем его в двух разных вариантах. Допустим, что η = 12.
Первое вычисление:
Шаг Ф: Мы определим все делители числа 12, это: 1, 2, 3, 4, 6, 12.
Шаг ©: Мы образуем сумму этих делителей, она равна 1 + 2 + 3 + + 4 + 6 + 1 2 = 28.