Материал: Zennkhauzer_V_-_Platon_i_matematika_-2016

Платоновская геометрия 567

участник семинара нарисует один возможный случай, а потом можно сравнить получившиеся результаты. В литературе находятся рисунки, где описан сразу ряд вариантов, и в результате полу­ чаются так называемые «овалы Кассини»:

Но это только то, что обычно проходят в школе. И если мы остановимся на этом рисунке, то останемся в пределах «школьной геометрии». А «платоновская геометрия» требует дополнительных шагов: мы должны оживлять рисунок, приводить его в чувство. Чтобы сделать это, заметим, что отрезки тип связаны: для одного особенного овала число а является неизменным, следовательно неизменны и а2, и m · η = а2, и последнее уравнение означает: если m растет, то η уменьшается, и наоборот. Попробуем в динамике увидеть, что происходит:

-Представим, что сначала отрезок m очень мал, следовательно мал и круг с радиусом /и, он является почти точкой. Тогда другой отрезок л, наоборот, очень велик, и круг с радиусом η тоже велик настолько, что уже не умещается на бумаге, он лежит «где-то в бесконечности». Значит, эти два круга не пересекаются, и следовательно, точки кривой не существует.

-Потом m растет, и с ним растет и левый круг. Этот рост выглядит, как будто центр R является «источником растущих кругов», один круг как будто раздувается. В то же время другой

568 НЕКОТОРЫЕ УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ГУМАНИТАРИЕВ

отрезок η уменьшается, а с ним уменьшается и правой круг, и это выглядит, как будто центр S «тянет» этот круг к себе, сокращая его размер, или, скажем, круг «сжимается» в точку S.

н—h

-А что будет, если этот процесс продолжится? На левой стороне, где круг исчез в бесконечности, он вдруг появится в точке R, потом станет маленьким кругом, а затем вырастет вновь... А на правой стороне, где круг исчез в точке S и сам стал точкой, он, в одно мгновение, появится в бесконечности как огромный круг, который в ходе процесса опять начнет сжиматься...

-Но это еще не все. Что происходит в это время с овалом? Его сначала нет, потому что круги не пересекаются. Но когда левый круг растет, а правый уменьшается, вдруг, «на одну милли­ секунду», в фокусе R появляется точка, которая сразу раз­ дваивается на две симметричные точки, и эти точки начинают рисовать овал. Наконец они приближаются, совпадают в фокусе S...

иисчезают. Куда? Как будто в невидимую сферу: от точки S в бесконечность, и из бесконечности «обратно» в точку R. Или из видимой сферы в невидимую, и обратно...

Таким образом, овал Кассиди — это не просто мертвый орна­ мент на бумаге, скорее он появляется как «дышащее существо», существующее одновременно в видимом и невидимом.

Во всем этом нет никакой «мистики», это чистая геометрия. Мы лишь смотрим на феномен другими глазами и расширяем при

Дедукция уравнения Эйнштейна Ε = тс2 569

этом наши силы воображения. Можно идти по этому пути и дальше, занимаясь уже более сложными упражнениями90. И с помощью таких личных, даже немного эмоциональных пере­ живаний, мы можем хотя бы краем глаза заглянуть в мир неви­ димых идеей и почувствовать их живую связь с нашим видимым миром...

Г13: Дедукция уравнения Эйнштейна Ε = тс

Закончим наш ряд возможных упражнений одним примером из физики, чтобы увидеть конкретно, как математика используется для выяснения свойств природы. С помощью этого примера философ сможет получить какое-то представление о том, как можно дедуцировать новую формулу из некоторых естественных и математических предпосылок.

Эйнштейн опубликовал эту дедукцию в 1946 г. По его собст­ венным словам, у нее есть преимущества по сравнению с первым доказательством 1905 г. Хотя она предполагает специальную теорию относительности, при этом она не использует формальное оснащение теории, как раньше, а только алгебру и тригонометрию и три известных закона физики. Поэтому здесь мы считаем эту дедукцию подходящей для того, чтобы продемонстрировать гума­ нитариям теоретические основания этой формулы. Только надо сразу отметить, что Эйнштейн предложил очень смелый тезис, гласивший, что энергия может превращаться в массу и наоборот, — тезис, который позже подтвердился множественными эксперимен­ тами, но все равно принципиально удивляет. Далее, надо знать определение импульса: если какое-то тело имеет массу m и скорость ν, то его импульс / равен произведению массы на его скорость: / = m · ν. Наконец, мы предлагаем следующие два закона (которые можно отдельно объяснить, если будет нужно):

См. список литературы на с. 184-185.

91 Einstein. The Theory of Relativity and other Essays. P. 70-73.