Материал: Zennkhauzer_V_-_Platon_i_matematika_-2016

Платоновская арифметика 561

Второе вычисление:

Шаг Ф: Мы образуем разность между η и всеми пентагональными числами не больше п; в нашем примере это разность

Шаг ©: Для каждого результата Ц, Ш, 7, 5, 0 мы определим сумму S его делителей: S (И) = 1 + 11 = 12, S Q0) = 1 + 2 + 5 +

Мы видим, что оба вычисления дают один и тот же результат, хотя есть принципиальная разница в алгоритмах, особенно из-за того, что второе вычисление использует пентагональные числа, а первое — нет.

Еще три примера:

п= 15 // Делители: 1, 3, 5, 15. Их сумма: 24. // Разности: 15 - 1 = 14, 15 - 2

Эйлер заметил эту таинственную связь и предположил, что она действительна для всех натуральных чисел п. Его предположение было доказано позже, но осталось ощущение, что в царстве нату­ ральных чисел существуют глубокие связи, о которых мы до сих пор мало знаем. Эти числа представляют, с одной стороны, твердо

562 НЕКОТОРЫЕ УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ГУМАНИТАРИЕВ

определенное переплетение отношений, в котором каждое число имеет свое определенное место, с другой стороны, числа и их отношения обладают некой «индивидуальностью», и хотя они — существа из мира необходимости, но все же «существа». Поэтому Лохер-Эрнст не стеснялся говорить: «Если бы у молодежи просну­ лось чувство, что числа являются "сущностями" — сущностями "из другого мира", — представьте себе, какое бы это имело большое значение! Тот, кто однажды обрел такой взгляд на эту

область, больше не будет злоупотреблять числовым рядом для

~ 87

недостойных занятии» .

Добавим два результата из сферы элементарной теории чисел, занимающейся сложением и умножением целых чисел. Один из них получил, как мы уже отмечали, Гедель88. Он состоит в следующем: мы можем применять все возможные способы доказательств, но несколько верных предположений в данной теории всегда останутся недоказуемыми. Дело в том, что всегда можно создать такое предположение, которое можно доказать тогда и только тогда, когда оно ложно. Но оно не может быть ложным, если его можно доказать. Следовательно оно верно, но недоказуемо.

Второй результат мы упоминали в Приложении В14: знаме­ нитое доказательство Туральфа Скулема, согласно которому невозможно охарактеризовать ряд натуральных чисел посредством конечного или счетно-бесконечного количества утверждений с исключительно числовыми переменными.

Такие результаты показывают, что уже наши знакомые и кажущиеся «ординарными» числа представляют сферу, которую мы не можем полностью охватить с помощью доступных для нас доказательств. Похоже на то, что невозможно объяснить жизнь чисто рациональными средствами. А область чисел — это не хаос, а некая «умная структура» в смысле Платона.

Locher-Ernst. Die Reihe der natürlichen Zahlen als Geistkunstwerk. S. 16.

См. выше, с. 384-385.