Материал: Sb98837

Таблица дисперсионного анализа для латинского квадрата:

Греко-латинские квадраты применяются, если надо провести измерения одновременно разными способами. Здесь можно оценить главные эффекты четырех трехуровневых факторов (фактора строк, столбцов, латинских и греческих букв), проведя только 9 опытов.

2.4. Дробные реплики и смешанные планы

Свойства оптимальных планов могут быть использованы для «подправления» планов в случае, если некоторые данные невозможно идентифицировать, например, вследствие неисправности оборудования.

Наиболее простой путь исправления результатов измерения – это повторить эксперимент. Но гораздо эффективнее построить список подходящих точек из экспериментальной области, добавить к этому списку все точки, для которых уже проделаны опыты, и всегда включать эти точки в окончательный план (и никогда их не исключать). Теперь можно исключать из плана лишь те точки, в которых пока не ставили опытов. Следовательно, можно найти таким способом единственный опыт, добавив который к эксперименту, можно оптимизировать соответствующий критерий.

Рассмотрим возможность проведения экспериментов над многими факторами при умеренном числе объектов и без введения блоковых ограничений. Здесь, как правило, применяют так называемые дробные реплики.

Дробная реплика полного факторного плана (дробный факторный план) – это план, содержащий часть комбинаций полного факторного плана.

11

Первым шагом при таком планировании будет рассмотрение возможности объединения экспериментов, проводимых в единичной реплике, вторым – рассмотрение дробной реплики для уменьшения полного числа объектов и смешивание для уменьшения размеров блока.

Преимуществом обладает такое распределение экспериментального материала на блоки, при котором объекты, принадлежащие одному блоку, были бы более схожи, чем объекты в различных блоках. В этом случае точность экспериментальных результатов будет зависеть только от внутриблоковой дисперсии.

Использование факторного плана означает, что полное число способов измерения (обработки) может быть очень большим и значительно превосходить число объектов в наиболее удобном по размеру блоке.

Чтобы воспользоваться преимуществами небольших блоков без серьезных ограничений на использование факторных схем, необходимо применить следующий механизм смешивания:

–пожертвовать некоторыми взаимодействиями, имеющими небольшое значение;

–не экстраполировать погрешность из-за больших и неоднородных блоков на все контрасты способов обработки;

–сконцентрировать погрешность на этих смешанных взаимодействиях таким образом, чтобы для оставшихся контрастов получалась такая же точность, как и в случае меньших блоков.

Простой смешанный план может представлять собой следующее.

Предположим, необходимо составить план 23, но в каждом блоке может быть по 4 объекта. Если обозначить факторы через A, B, C, то можно организовать эксперимент таким образом, чтобы имелось равное число блоков двух типов:

1)1, AB, AC, BC;

2)A, B, C, ABC.

На однофакторные A, B, C и двухфакторные AB, AC, BC взаимодействия влияет только внутриблоковая дисперсия. Трехфакторное взаимодействие ABC совпадает с разностью между обоими блоками 1 и 2. В этом случае говорят, что взаимодействие ABC смешано с блоками. Если число блоков невелико, то информация, которую можно получить в этом взаимодействии, мала и ею можно пожертвовать ради возможности исследования остальных 6 степеней свободы с заданной точностью.

12

Если блоков каждого типа (1, 2) больше, чем по одному (допустим, N), то:

–N блоков типа 1 выбираются случайным образом из 2N блоков;

–(2N – 1) степеней свободы между блоками разлагаются затем на одну степень свободы для смешанного взаимодействия и (2N – 2) степеней свободы между блоками одного типа.

Средний квадрат компонента в блоках одного типа является оценкой межблоковой погрешности, используемой при проверке значимости или других утверждений, касающихся взаимодействия ABC. В этом случае, если N не очень мало, используется рандомизированный блок-план для ABC.

В практических приложениях факторного планирования число блоков редко оказывается достаточным для того, чтобы дисперсии имели ценность,

ипоэтому при использовании смешанного плана в качестве взаимодействий рекомендуется выбирать те, которыми можно полностью пожертвовать.

С точки зрения построения планов смешивание можно рассматривать как тип дробной реплики, в котором блоки играют роль добавочных факторов.

Введем квазифактор X, представляющий собой разность между двумя типами блоков. Этот квазифактор можно считать дополнительным фактором,

введенным в план эксперимента. В этом случае план типа 23 преобразуется в план типа 24 с подгруппой переименований 1, ABCX. Тогда способы будут организованы следующим образом: 1, AB, AC, AX, BC, BX, CX, ABCX.

Если план с отсутствием X отнести к блоку I, а при наличии X – к блоку II, то можно получить смешанную схему для плана типа 23: ABC ≡ X.

Следовательно, трехфакторное взаимодействие будет аналогично контрасту между типами блоков AB ≡ CX, AC ≡ BX и т. д. Другими словами, взаимодействие между любой парой факторов A, B, C измеряется с помощью того же самого контраста, который проверяет, меняется ли третий главный эффект от блока к блоку. Однако осознанное отнесение к блоку типа I может привести к проявлению ложного взаимодействия AB, поэтому предпочтительным здесь будет элемент случайности.

Если ввести два квазифактора X и Y и взять 1 реплики плана с переиме- 4

нованиями типа 25 (так как в этом случае уже будет 5 факторов), в котором эти переименования определяются из соотношений ABX ≡ ACY ≡ BCXY ≡ 1, то план 25 можно разбить на 4 типа блоков:

13

Это будет план 23 по 2 элемента в блоках с числом блоков, кратным четырем. Он одновременно смешивает AB, AC и BC.

Применение дробной реплики позволяет уменьшить число объектов, требуемых для эксперимента. Рассмотренная схема смешивания применяется для уменьшения размеров блока.

Общая схема смешивания планов типа 2n следующая: чтобы смешивать

в блоки по 2 p элементов, следует выбрать дополнительно (n – p) квазифакторов Х, Y, …, главными эффектами и взаимодействиями среди которых

должны быть согласования с (2n − p −1) степенями свободы между блоками.

В этом случае любая 1/ 2n −p -реплика плана типа 22n − p дает возможную схему смешивания при условии, что никакие элементы подгруппы переименований не состоят только из квазифакторов.

Квазифакторы необходимы лишь для того, чтобы показать связь с дробными репликами. Следовательно, из плана типа 2n можно путем смешивания получить блоки по 2 p элементов с помощью выбора смешивающей под-

группы порядка 2n− p , элементами которой кроме 1 должны быть смешанные эффекты.

2.4.1. Частичное смешивание

Если в эксперименте должно быть использовано несколько полных реплик всех комбинаций способов измерения (обработки), нет необходимости жертвовать некоторыми взаимодействиями при смешивании, за исключением информации, получаемой из межблоковых сравнений. В качестве альтернативы можно получать внутриблоковую информацию обо всех эффектах, смешивая различные взаимодействия в разных репликах. Такое частичное смешивание дает возможность изучать каждое смешанное взаимодействие в репликах, в которых они не смешаны. В данном случае каждая реплика образуется так, будто она получена от смешивания взаимодействий в единичной реплике, причем в каждом блоке порядок измерения (обработки) объектов рандомизируется.

14

Статистический анализ эксперимента с частичным смешиванием сложнее и более трудоемок, чем при полном смешивании.

2.4.2. Смешивание планов Rn

Предыдущие положения рассматривались для случая двухуровневых факторов. Если количество уровней больше двух, важно знать, насколько можно уменьшить размер блоков с помощью смешивания без потери информации о существенных контрастах.

Когда число факторов велико (предположим R), можно без смешивания

важных эффектов использовать блоки много меньше, чем блок из Rn объектов, необходимый для полной реплики. Размер и количество блоков определя-

ется исходя из теоремы Фишера о минимальном смешивании: Rn -факторная

схема может быть расположена в Rn −p блоках по R p объектов в каждом без смешивания главных эффектов или двухфакторных взаимодействий при усло-

вии, что n ≤ R p −1.

R −1

Например, для эксперимента с четырьмя факторами (a, b, c, d) на трех уровнях (34-факторная схема) его план будет выглядеть следующим образом:

2.4.3. Планы с расщепленными участками

Иногда даже для некоторых факторов требуются экспериментальные единицы меньшего размера, чем для прочих.

Эксперименты, в которых некоторые факторы или комбинации факторов используются на основных объектах, а другие факторы сравниваются на их частях, называют планами с расщепленными участками.

15