Материал: Sb98837

фекта одного фактора от уровней других факторов – это эффект взаимодей-

ствия факторов.

Результаты эксперимента расположены в области факторного пространства. Факторное пространство – это пространство, координатные оси которого соответствуют значениям факторов. Область факторного пространства, где могут размещаться точки, отвечающие условиям проведения опытов, –

это область экспериментирования (область планирования). Область фактор-

ного пространства в окрестности точки, в которой функция отклика достигает экстремального значения, называется областью оптимума.

Поскольку основной целью эксперимента кроме нахождения собственно значения измеряемой величины является также оценка погрешности измерений, а чем меньше погрешность измерений, тем выше точность, то в задачу экспериментатора входит минимизация как систематической, так и случайной погрешности измерений. Минимизировать случайную погрешность можно, используя многократные измерения и затем усредняя их результаты. Что касается систематической составляющей погрешности, то основную трудность здесь представляет ее обнаружение, поскольку при проведении экспериментов она может никак себя не проявить, и их результаты могут получиться недостоверными. Поэтому следует перевести ее в разряд случайных на этапе планирования измерений. Такая операция называется рандомизацией плана. Это один из приемов планирования эксперимента, имеющий целью свести эффект некоторого неслучайного фактора к случайной ошибке. Самыйпростой случай рандомизации плана – это проведение параллельных опытов.

Параллельные опыты – это рандомизированные во времени опыты, в которых уровни всех факторов сохраняются неизменными. При этом можно свести на нет временной дрейф – случайное или неслучайное изменение функции отклика во времени.

План, содержащий все возможные комбинации всех факторов на определенном числе уровней равное число раз, получил название полного факторного плана. План, содержащий часть комбинаций полного факторного плана, называется дробным факторным планом (дробной репликой полного факторного плана).

Блок плана – это часть плана, включающая опыты, условия проведения которых однородны с точки зрения значений одного или нескольких мешающих факторов. Упорядоченная совокупность числовых значений факторов, соответствующая условиям проведения опыта, называется точкой плана. При

6

этом центральная точка плана (центр плана) – это точка плана, соответству-

ющая нулям нормализованной (безразмерной) шкалы по всем факторам. Условия проведения эксперимента представляют в форме таблицы, ко-

торая называется матрицей плана. Матрица плана – стандартная форма записи условий проведения экспериментов в виде прямоугольной таблицы, строки которой отвечают опытам, а столбцы – факторам. Матрица спектра плана – матрица, составленная из всех строк матрицы плана, отличающихся уровнями хотя бы одного фактора.

Главным эффектом фактора A называется средняя разница в значениях между всеми способами, содержащими уровень а, и всеми способами, не содержащими уровень а. Дополнительно к главным эффектам можно определить и измерить много типов взаимодействия между эффектами факторов (двухфакторное взаимодействие, трехфакторное взаимодействие и т. д.).

Двухфакторное взаимодействие AB равно половине разности между главным эффектом фактора A при верхнем уровне фактора B и при нижнем уровне фактора B:

AB = Aгл(b+)− Aгл(b−),

2

где A, B – факторы; b – уровень фактора В.

Трехфакторное взаимодействие АВС – половина разности между АВ

при верхнем уровне фактора C и AB при нижнем уровне фактора C.

С учетом того что все способы обработки (измерения) одинаково повторимы, если имеется n главных эффектов, то двухфакторных взаимодействий будет n(n – 1)/2, трехфакторных – n(n – 1)(n – 2)/2, и т. д. Следователь-

но, все эти взаимодействия будут образовывать 2n−1 степени свободы между всеми способами обработки (измерения).

Эксперимент, в котором способы обработки (измерения) состоят из комбинаций уровней двух или более различных факторов, и его очевидные обобщения называются факторными. Этот факторный набор способов обработки (измерения) представляется в виде блок-плана, разновидностями которого являются латинские и греко-латинские квадраты, рандомизированные блок-планы и т. д.).

Эксперимент, проведенный при комбинации всех возможных факторов и уровней, называется репликой.

7

2.1. Рандомизированный блок-план

Полностью рандомизированный блок-план предусматривает сравнение любого числа способов измерений (обработки) при репликах из каждого способа измерений (обработки), полностью зависящих от выбора потребителя.

Предположим, что необходимо провести эксперимент для сравнения t способов измерения (обработки). Пусть r – количество объектов для каждого способа измерения (обработки), N – число имеющихся объектов для каждого способа. Тогда N = rt .

Разделим объекты на r блоков, состоящих из t объектов каждый. Способы измерения (обработки) обозначим A, B, C, … . Они разделяются по объектам таким образом, что каждый из них применяется только один раз в каждом блоке. Блок-план в этом случае будет выглядеть следующим образом:

Если в каждом блоке случайно выбрать один объект для первого способа измерения (обработки), другой – для второго и т. д. и установить новый порядок в каждом блоке, то можно получить новый блок-план:

Это дает рандомизированный блок-план, поскольку перестановка объектов в плане осуществляется случайным образом. Этот план используют наиболее часто из-за легкости, с которой он может быть модифицирован. Он может быть построен для любых значений r и t и является основой для других планов, в которых используется принцип расположения в блоки с повторениями.

2.2. Планы на латинских квадратах

Латинский квадрат – план дисперсионного анализа, задаваемый расположением некоторого числа символов в ячейках, сгруппированных в строки

8

и столбцы так, что каждый символ встречается один раз в каждой строке и каждом столбце.

Планы латинских квадратов используются в тех случаях, когда исследуемые факторы имеют более двух уровней и заранее известно, что между факторами нет взаимодействий (или этими взаимодействиями можно пренебречь).

Латинский квадрат является расположением, позволяющим учитывать два множества блоковых ограничений (обычно называемых строками или столбцами), которые должны быть использованы одновременно. Его можно применить для любого числа t способов измерения (обработки), для которого

N = at2 , где а – целое число, причем в основной ситуации a = 1 (количество квадратов).

Случайная перестановка строк, столбцов или буквенных символов преобразует любой латинский квадрат в другой латинский квадрат.

Примеры латинских квадратов:

Статистическая модель для латинского квадрата имеет вид yijk =µ +αi + τj +βk +εijk , где i =1, p; j =1, p;k =1, p.

Здесь yijk – наблюдение в i-й строке, k-м столбце и j-й обработке; μ – математическое ожидание общего среднего; αi – эффект i-й строки; τj – эффект j-й

обработки; βk – эффект k-го столбца; εijk ≈ N (0;σ2)– случайная ошибка. Модель аддитивна, т. е. взаимодействия между строками, столбцами и

обработками отсутствуют. Так как блоки представляют собой ограничение на рандомизацию, то рассматривается гипотеза относительно эффектов обработок:

H0 :τ1 = τ2 =...=τa = 0,

H1 :τk ≠ 0, где 1≤ k ≤ a .

Для проверки статистической гипотезы используется дисперсионный анализ: SSобщ = SSстр + SSст + SSобр + SSош .

9

Таблица дисперсионного анализа для латинского квадрата:

2.3. Греко-латинские квадраты

Можно построить два латинских квадрата:

Наложив эти два квадрата друг на друга, получим греко-латинский квадрат:

Статистическая модель для греко-латинского квадрата имеет вид yijkl =µ+θi +τj +ωk +φl +εijk , где i =1, p; j =1, p;k =1, p;l =1, p.

Здесь yijkl – наблюдение в i-й строке, l-м столбце, j-й латинской букве и k-й греческой; μ – математическое ожидание общего среднего; θi – эффект i-й строки; τj – эффект j-й латинской буквы; ωk – эффект k-й греческой буквы;

ϕl – эффект l-го столбца; εijkl ≈ N(0;σ2) – случайная ошибка. Дисперсионный анализ проводится аналогично дисперсионному анализу

для латинского квадрата:

H0 :τ1 = τ2 =...=τa = 0,

H1 :τk ≠ 0, где 1≤k ≤a .

10