Материал: Sb98837

3.6. Расчет параметров полос неопределенности исходных экспериментальных данных

Условно принято считать, что значение xi определяется без погрешности, а возникающую случайную погрешность необходимо относить к ординате yi . Примем допущение, что случайная погрешность равна разности между yi в экспериментальной точке и значением yi′, найденным по усредненной модели:

y′= f (x), ∆i = yi − yi′.

Аналитическое описание границ неопределенности, т. е. определение уравнения кривой, ограничивающей полосу неопределенности, дает полную метрологическую аттестацию получаемых результатов измерений.

Для получения характеристики полосы рассеивания экспериментальных точек после определения окончательного вида усредненной характеристики y′= f (x) надо найти частные значения погрешностей ∆i для каждой экспе-

риментальной точки и построить их в координатах (x − ∆i ) (рис. 3.10).

Рис. 3.10. Полоса неопределенности в координатах (x −∆i )

В зависимости от формы полосы неопределенности необходимо принять решение, какого вида формулой (одно-, двухили трехчленной) целесообразно описывать границы этой полосы.

Для получения такого описания все поле точек разбивается на участки (рис. 3.10, в), в каждом из которых вычисляются среднеквадратичное отклонение (СКО) и коэффициент t (квантильный) или k (энтропийный):

∆э = kσ; ∆к =tσ,

где ∆э – энтропийное значение доверительных границ; ∆к – квантильное

значение доверительных границ на каждом участке. Затем указывается ширина доверительного или энтропийного интервала неопределенности на каждом участке.

26

При малом числе проведенных измерений полная метрологическая аттестация полосы неопределенности невозможна. В среднем для установления границ полосы неопределенности с использованием одночленной формулы рекомендуется проводить более 70 измерений, по двухчленной – более 140, по трехчленной – 210 и т. д. В этом случае погрешность определения доверительного интервала будет 10 %.

Если использовать энтропийный интервал ∆э, то количество измерений уменьшится в 1.5–2 раза, а следовательно, и погрешность уменьшится в 2 раза.

Если Pд = 0.9, то нет необходимости определять значения квантильного и энтропийного коэффициентов: ∆0.9 =1.65σ вне зависимости от закона распределения.

При отсутствии возможности оценить доверительные границы с вероятностью 0.9 необходимо упростить метрологическое описание, перейдя последовательно от трехчленной формулы к двухчленной, а затем и к одночленной. Далее произвольно принимается тот или иной вид распределения и вычисляется одна усредненная оценка погрешности результатовэксперимента.

3.7. Оценка рассеяния экспериментальных данных значением коэффициента корреляции

Как известно из курса теоретической метрологии, погрешность измерения – это показатель разброса экспериментальных данных, а коэффициент корреляции характеризует тесноту группирования результатов относительно принятой модели.

Коэффициент корреляции (Rxy ) применительно к однофакторной зави-

симости будет характеризовать тесноту группирования точек возле некоторой прямой (рис. 3.11). В данном случае можно получить очень мало сведений о тесноте их относительно кривой распределения экспериментальных данных.

Следовательно, оценка разброса экспериментальных данных значением коэффициента корреляции может быть использована лишь для линейной однофакторной модели вида y′ = a0 + a1x (рис. 3.11, а). Однако можно ввести понятие коэффициента множественной корреляции. Его расчетная оценка правомерна для любых многофакторных зависимостей, в том числе и для сложных нелинейных однофакторных зависимостей (рис. 3.11, б).

27

Если провести аналогию с приведенной погрешностью (γ = ∆y / yпр), то

рис. 3.12, б), следовательно, ∆э2 ≈ 2.066σ∆ .

Энтропийное значение приведенной погрешности будет равно:

γэ = 2∆∆ээ21 ≈ σσy ∆3,

т. е. σ∆ = γэ 3.

σy

Тогда

Соотношение (3.6) справедливо при R >0.9. При R <0.9 более точным будет соотношение γэ ≈ 12 1− Ry2y′ .

Для экспериментального приближенного определения коэффициента множественной корреляции необходимо полуширину полосы неопределенности разделить на диапазон измерения y и по (3.5) рассчитать Ryy′.

3.8. Расчет параметров полосы неопределенности усредненной однофакторной модели

При многократных измерениях в результате усреднения случайные погрешности устраняются не полностью, а лишь уменьшаются в определенное число раз. Следовательно, усредненная модель также имеет свою полосу не-

29

определенности, хотя и более узкую, чем полоса разброса исходных экспериментальных данных. Рассмотрим ее на примере модели y′ = y + ax .

Неопределенность такой модели будет определяться только неопределенностью определения y . СКО при использовании метода наименьших

данных относительно линии регрессии; n – число усредняемых экспериментальных точек; l – число определяемых коэффициентов.

При x ≠ 0 погрешность определения коэффициента регрессии можно найти из выражения

где t – коэффициент, определяемый числом степеней свободы (n – l). Погрешность y имеет аддитивный характер, следовательно, она будет

давать постоянную по ширине полосу возможных значений линии регрессии. Если a изменить на величину ∆a, наклон линии регрессии a изменится и

создаст мультипликативную составляющую погрешности модели:

Если расположить начало координат в точке (x, y), то погрешности будут независимыми, а суммарная погрешность будет равна:

σΣ = σ2y + σ2ax .

Ширина полосы неопределенности линии регрессии определяется суммарной погрешностью:

∆Σэ =tσΣэ или ∆Σэ = kσΣэ .

Таким образом, полоса неопределенности функциональной зависимости, найденная путем усреднения экспериментальных точек, будет иметь вид, представленный на рис. 3.13.

На рис. 3.13 величина tσ∆ характеризует ширину разброса экспериментальных точек, tσy – ширину полосы неопределенности, которая больше

ширины разброса экспериментальных точек в n раз. В этой области полоса

30