Материал: Osnovy_teorii_tsepey_post_i_perem_toka_2012

лентным сопротивлением последовательного, параллельного и последователь- но-параллельного соединений. Применяется еще и ряд более сложных преобразований, среди которых отметим эквивалентные преобразования соединений звездой и треугольником, а также преобразования параллельного соединения ветвей с источниками ЭДС.

2.6.1. Эквивалентные преобразования соединений звездой и треугольником

Указанные соединения представлены на рис. 2.14.

Рис. 2.14. Эквивалентные схемы: соединение сопротивлений звездой (а) и треугольником (б)

Эквивалентность соединений звездой и треугольником понимается в следующем смысле: при переходе от одной схемы к другой режим цепи, в составе которой находятся звезда и треугольник, не должен измениться. Это возможно, если напряжения U12, U23, U31 и токи I1, I2, I3 при переходе не изменяются. На этом принципе построен вывод формул для преобразования соединений звездой и треугольником (прил. 2).

Преобразование соединения звездой в соединение треугольником выполняется по формулам:

30

Преобразование соединения треугольником в соединение звездой выполняется по формулам:

Чередование индексов в правых частях формул позволяет легко установить закономерность в их формировании.

2.6.2. Преобразования параллельного соединения ветвей с источниками ЭДС

Упрощение задачи по исследованию электрической цепи достигается заменой участка с параллельно соединенными ветвями одной ветвью с эквивалентными параметрами. Пусть, например, требуется участок с тремя параллельными ветвями (рис. 2.15, а) заменить одной ветвью с двумя элементами – rэ и Еэ (рис. 2.15, б). Задача сводится к нахождению числовых значений эквивалентной ЭДС Eэ и эквивалентного сопротивления rэ.

Эквивалентный переход от нескольких параллельных ветвей к одной можно осуществить по формулам (прил. 3):

где gk – проводимость k-й ветви; Ek – ЭДС k-й ветви.

31

Таким образом, эквивалентная проводимость gэ является суммой проводимостей ветвей и применительно к схеме рис. 2.15, а это есть величина

Рис. 2.15. Преобразование параллельных ветвей:

а – исходная расчетная схема; б – двухэлементная эквивалентная схема

При нахождении Eэ произведение gkEk имеет знак «плюс», если направление ЭДС ветви совпадает с выбранным направлением эквивалентной ЭДС Еэ:

Формулы системы (2.26) применяются при любом числе параллельных ветвей.

2.7.Примеры расчета электрических цепей постоянного тока

2.7.1.Применение законов Кирхгофа

Ус л о в и е з а д а ч и. Составить уравнения по законам Кирхгофа для определения токов ветвей в схеме, приведенной на рис. 2.16.

Дано: Е1, Е2, Е3, J, r1, r2, r3, r4, r5, r6.

Р е ш е н и е. В схеме (см. рис. 2.16) семь ветвей, четыре узла и четыре независимых контура. Ток I7 известен (I7 = J), поэтому неизвестных токов в

32

схеме шесть. Для расчета токов данным методом необходимо составить систему из шести уравнений, в которой три уравнения должны быть записаны по первому закону Кирхгофа и три – по второму. Выбираем независимые контуры так, чтобы ветвь с источником тока не вошла ни в один из контуров.

I2 E2

Рис. 2.16. Схема, демонстрирующая применение законов Кирхгофа

Выбираем произвольно направления токов в ветвях и направления обхода контуров (например, по часовой стрелке). Записываем систему из шести уравнений, совместное решение которых дает искомые токи:

узел 1: I3 I4 I5 0 ;

узел 2: I4 I5 I6 I2 I7 0 ;

узел 3: I1 I2 I6 0 ;

контур I: I3r3 I4r4 I6r1 E1;

контур II: I2r2 I6r1 E2 ; контур III: I5 (r5 r6 ) I4r4 E3 .

Ток источника тока, как следует из приведенных соотношений, входит только в уравнения по первому закону Кирхгофа.

2.7.2.Метод контурных токов

Ус л о в и е з а д а ч и. Определить токи ветвей в схеме, приведенной на рис. 2.17.

Дано: Е1 = 10 В, Е2 = 5 В, Е3 = 4 В, J = 2 А, r1 = 5 Ом, r2 = 5 Ом, r3 = 1 Ом, r4 = 4 Ом, r5 = 2 Ом, r6 = 3 Ом.

33

Р е ш е н и е. В соответствии с указаниями п. 2.2.1 выбираем независимые контуры так, чтобы ветвь с источником тока не оказалась общей для контуров. Выбираем произвольно направления четырех контурных токов, причем один из них известен: I44 = J.

I2 E2

Рис. 2.17. Схема для применения метода контурных токов

В общем виде составляем систему уравнений относительно трех неизвестных контурных токов:

r13 r31 r1, знак «минус» обусловлен тем, что в общем для первого и третьего контуров сопротивлении r1 контурные токи направлены встречно;

После подстановки найденных значений приведенная выше система уравнений принимает вид:

34