Документ: Obr_eksp_rez, страницы 16-20 | Студенческое хранилище

15

При виробництві моторів задається певний допуск ∆x для розмірів деталей. Ясно, що авіаційні мотори повинні бути більш надійні, ніж, скажімо, автомобільні. Отже, надійність для цих деталей повинна бути вищою при заданому значенні ∆x , що можна досягти тільки шляхом підвищення точності обробки деталей для авіамоторів. Високе значення вірогідності (0.997 чи 0.999) задається для всіх відповідальних наукових і технічних вимірювань, пов'язаних з можливими аварійними ситуаціями (наприклад. вимірювання параметрів роботи ядерних реакторів). В звичайних наукових дослідженнях і в студентській навчальній лабораторії достатньою вважається вірогідність

0.95.

Визначення надійного інтервалу.

Надійний інтервал випадкової похибки у випадку заданої вірогідності та невеликого числа вимірювань оцінюють за формулою:

x −∆p < x < x +∆p ,		(22)
де: ∆p =t p,k σ	1
де: ∆p =t p,k σ	k

t p,k − коефіцієнт, який залежить від вірогідності P та кількості

вимірювань і називається коефіцієнтом Стьюдента (див. табл. 2 додатку). В таблиці коефіцієнт Стьюдента шукають на перетині рядка, який відповідає відомому k , і стовпця, що визначає задану P ;

k = n −1 − число ступенів вільності;

σ − незміщена оцінка середньоквадратичного відхилення:

σ =	1	∑(xi − x)2 .
	n −1

Ця величина характеризує розподіл випадкових похибок за абсолютною величиною.

Як бачимо, похибка результату вимірювання визначається середньоквадратичним відхиленням середнього арифметичного σcp. = σn .

Отже, півширину надійного інтервалу випадкової похибки можна записати у вигляді:

∆	p	=t	p,k	σcp. .	(23)
	p		p,k

Приклад. Нехай для десяти вимірювань середнє значення та середньоквадратичне відхилення становлять x = 36.06 , σ = 0.25 відповідно. Оцінити істинне значення вимірюваної величини a з вірогідгністю P = 0.99 .

По заданій вірогідності та числу вимірювань n =10 , по таблиці 2 додатку знаходимо коефіцієнт Стьюдента t p,k = 3.25 ( k =9 ) і отримуємо оцінку

істинного значення a у вигляді:

16

a − x = a −36.06 < 3.25 0.259 = 0.27 ≈ 0.3 .

Таким чином, з вірогідністю P = 0.99 можна вважати, що значення a лежить в інтервалі (35.8;36.4).

2.4.3. Виключення “грубих” вимірів (промахів)

Промах - це значення, що сильно відрізняється від других вимірів. Тому вважають, якщо значення виміряної величини відрізняється від середньоарифметичного більше, ніж на 3σ , то його треба відкинути як промах.

2.4.4. Врахування інструментальної похибки та похибки заокруглення

Похибка вимірювання визначається похибкою приладу в тому випадку, коли виконується тільки одне спостереження (наприклад: вимірювання температури, зважування тіла, зчитування показів вольтметра). Разовим спостереженням обмежуються і тоді, коли три-чотири попередні вимірювання показують, що випадкова похибка не проявляється (при повторних вимірюваннях отримують один і той же результат). Це відбувається тоді, коли випадкова похибка є меншою за поріг чутливості приладу.

Гранична абсолютна похибка приладу Θnp. (максимально можлива похибка, обумовлена приладом) вказується в його паспорті або на шкалі

приладу. Якщо вказано клас точності приладу				K , то граничну		похибку
приладу визначають за формулою:
Θnp. =	K xmax	,		(24)

100
де xmax − максимальне значення,			яке даний прилад		може	виміряти
(якщо прилад має дві			шкали	відносно	нуля, то беруть

2xmax ).

Якщо клас точності приладу не відомий, то гранична похибка дорівнює 0.5 ціни поділки шкали.

При відомій вірогідності вимірювань P визначаємо похибку приладу:

∆np.	=tp	Θnp.	,	(25)
		3

де tp − коефіцієнт, поміщений в табл. 3 додатку.

При зчитуванні показів зі шкал приладів, часто виникає необхідність заокруглення показів до цілої поділки шкали. В такому разі похибку

заокруглення визначають за формулою:
∆3.	= P	h	,	(26)
		2

де h − ціна найменшої поділки.

17

При відсутності систематичної похибки визначають результуючу похибку прямих вимірювань:

∆ = ∆2p +∆np.2 +∆32. .

(27)

При записі кінцевого результату треба пам'ятати, що приведені формули для похибок достатньо точні при великих n . Якщо n ≤10, в надійному інтервалі результату вимірювання треба брати тільки одну значущу цифру.

Наприклад, при вимірюванні довжини мікрометром для n =10 отримали l = 6.033 мм, ∆ = 0.021 мм. ( P = 0.95 ). Результат запишеться:

l = 6.03 ±0.02 мм при P = 0.95 ; E = 0.3 %.

Такий запис означає, що істинне значення знаходиться між 6.01мм і 6.05мм з рівнем вірогідності 0.95, тобто результати приблизно 95% всіх вимірювань будуть знаходитись у вказаному інтервалі і тільки 5% вимірювань не ввійдуть в цей інтервал.

2.5. Похибки непрямих вимірювань

Здебільшого для визначення певної фізичної величини необхідно виміряти ряд інших величин; підставивши поміряні величини у відповідну формулу, знаходять шукану величину. Такі вимірювання називають непрямими.

Розглянемо, як визначають оцінку похибок непрямих вимірювань. Нехай фізична величина y є функцією декількох незалежно виміряних величин

x1, x2 ,..., xn : y = f (x1, x2 ,..., xn ).

Існують різні представлення похибок непрямих вимірювань. Знайдемо

повний диференціал функції: dy = ∑	∂ f	dxi . Аналогічний	вираз
повний диференціал функції: dy = ∑		dxi . Аналогічний	вираз
i ∂ x
	i
справедливий для малих приростів аргументів функції: ∆y = ∑∂ f			∆xi .
		i ∂xi

Якщо похибки вимірювань невеликі, то природньо вважати, що приріст аргумента рівний сумарній похибці відповідної величини вимірювань; тоді максимальну похибку непрямого вимірювання можна записати у вигляді:

∆y = ∑	∂ f ∆xi	.	(28)
i	∂xi

Формула (28) дає, здебільшого, сильно завищені значення похибки кінцевого результату, причому завищення зростає з числом виміряних величин. А тому вираз (28) використовують для невеликого числа змінних.

З другого боку, використавши закон додавання похибок [4, 5], для абсолютної похибки непрямих вимірювань можемо записати:

18

				1
			2
		∂f	2		2
		∂f		.		(29)

∆y = ∑		∂xi	∆xi
	i	∂xi

У формулі (29) найбільший внесок дають доданки з великими похибкими. Зауважимо, що похідні в (28), (29) беруться в точках x1, x2 ,..., xn .

Для прикладу розглянемо декілька часткових випадків:

а) y = x1 ± x2 .

Абсолютна похибка:

∆y =

(∆x1 )2

+ (∆x2 )2

;

∆x1 ,

∆x2 - результуючі

похибки.

(∆x1 )2 +(∆x2 )2

Відносна похибка: E =

∆y

=

(x ± x

)2 .

| y |

1

2

б) y = x1 x2 x3 .

Абсолютна похибка:

1

∆y = [(x2 x3 ∆x1 )2 +(x1 x3 ∆x2 )2 +(x1 x2 ∆x3 )2 ]

.

2

1

2

∆y

∆x1

∆x2

∆x3

Відносна похибка: E =

.

x

| y | =

x

+

x

2

+

3

1

x1

в) y =

.

x2

1

2

Абсолютна похибка: ∆y =

∆x1

+

x1∆x2

.

x2

2

x2

2

1

2

∆x2

Відносна похибка: E =

∆x1

+

.

x

1

2

Як бачимо, при обчисленні

похибки

добутків чи

частки простіше

спочатку порахувати відносну похибку E , а потім − абсолютну: ∆y = E | y |.

Дуже часто доводиться оперувати виразами, що містять добутки та частки вимірюваних величин. Оскільки такі вирази зручно логарифмувати, то при обчисленні похибок простіше спочатку визначати відносну похибку, а по

ній − абсолютну			(аналогічно до випадків б	та в). Справді, нехай
y =	x1 x 2 ... x k	.

	x k+1 ... x n		+... + ln xk − (ln xk +1 +... + ln xn ).
	Тоді: ln y = ln x1

Продиференціювавши останній вираз, отримуємо формулу для приростів:

dy	=	dx1	+... +	dxk
y		x
				x	k
	1

При малих n відносну співвідношенням (28):

			19

dxk +1				dxn
−		+... +			.
	xk +1
				xn
похибку			можна визначити за

∆y	=	∆x1	+... +	∆xn		.

y		x		x	n
		1

Отже, E = E1 +... + En .

Знаючи E , легко визначити абсолютну похибку.

2.6. Точність обчислень

Результати лабораторних вимірювань разом з довідковими даними, що використовуються при обробці експерименту, є приблизними величинами. Наближені числа записуються так, щоб всі цифри числа, крім останньої, були правильними (точними), а остання − сумнівною. Всі цифри справа від сумнівної будуть неправильними.

Щоб знати правильні, сумнівну і неправильні цифри числа, необхідно знати його похибку.

В таблицях математичних і фізичних величин приводять числа тільки з правильними цифрами і однією сумнівною; за максимальну похибку заокруглення беруть половину одиниці останньої цифри.

Наприклад, маса атома водню (див. таблицю фізичних сталих) становить

m =1.673 10−27 кг. Отже, похибка заокруглення рівна ±0.0005 10−27 кг. Значущими цифрами називають всі правильні і сумнівні цифри, а

незначущими − нулі напочатку числа, за допомогою яких задаються розряди десяткових дробів в числах, менших одиниці. Числа 0.25 , 0.025 , 0.0035 мають по дві значущі цифри.

При обробці результатів вимірювань треба пам'ятати, що точність обчислень повинна бути узгоджена з точністю самих вимірювань. Точність кінцевого результату визначається точністю безпосередньо виміряних величин. Немає сенсу проводити обчислення далі цієї межі точності, що забезпечується точністю початкових даних. Наприклад, якщо у формулі одна з величин визначена з точністю до двох значущих цифр, то немає змісту обчислювати результат з більшою точністю. Такі обчислення приводять до великого об'єму непотрібної роботи і тільки створюють ілюзію великої точності.

Іншими словами, числове значення результату не повинно мати більшого числа значущих цифр, ніж число, задане з найменшою точністю. Для уточнення значення останньої значущої цифри можна порахувати наступну за нею цифру і заокруглити результат.

Материал: Obr_eksp_rez

Смотрите также: