Документ: Obr_eksp_rez, страницы 11-15 | Студенческое хранилище

					n					10
σ 2 =					n		s2		;	(10)
				n −1
σcp2		. =		1			s2 .			(11)
					n −1
В якості найкращої оцінки							s2			візьмемо s2 . Тоді для σcp. отримуємо
наближений вираз:					s
σ			≈		s			.		(12)
σ			≈		(n −		1	.		(12)
	cp.				(n −	1)2

Вирази (10) − (12) − це незміщені оцінки величин σ 2 та σcp2 . .

2.3.3. Розподіл Гауса

Оскільки при відсутності систематичних похибок найбільших впливів набувають випадкові похибки, то згідно з центральною граничною теоремою Ляпунова [3 − 12], стверджують, що результати вимірювань та їх похибки повинні мати нормальний закон розподілу (закон Гауса).

Можна показати, що для випадку розподілу Гауса найкращим наближенням величини X буде середнє арифметичне x і навпаки, якщо найкращим наближенням до істинного значення є середнє арифметичне, то

розподіл − гаусівський (нормальний).
Функція f (x) розподілу Гауса задається двома параметрами X і σ :
				x−X	2
			−	x−X
	1
f (x)=
f (x)=		σ	e	2σ2		.	(13)
	2π	σ				f (x) нормального розподілу:
Відмітимо основні особливості функції						f (x) нормального розподілу:

–симетрична відносно X ;

–досягає максимуму в точці X ;

– швидко прямує до нуля при x − X >σ ;

–точки x = ±σ є точками перегину;

–нормована до одиниці: +∞∫ f (x)dx =1.

−∞

Знаючи f (x), можна по (4) порахувати середньоквадратичне відхилення:

+∞	12π	σ1	+∞	−	x2
(сер.кв.відх.)2 = ∫(x − X )2 f (x)dx =			∫x2 e			dx =σ 2 .
					2σ 2
−∞			−∞

Поряд із середньоквадратичним відхиленням часто використовують середнє відхилення (або середню похибку):

+∞

2

1

∞

−

x2

2

r = | ∆| =

x − X f (x)dx =

xe

2σ2 dx =

∫

σ . (14)

2π

σ

π

−∞

0

11

При обрахунках в якості r використовують: r = 1 ∑ di . n i

Враховуючи (14) можна отримати зручну формулу для обчислення σcp. :


σcp.	=	π	r			≈		5		r			;	(15)
σcp.	=	2	(n −	1		≈		4		(n −	1		;	(15)
		2	(n −	1)2				4		(n −	1)2
							5			n	1

	σ =		n σcp.		≈							2	r .	(16)
	σ =		n σcp.		≈		4						r .	(16)
							4		n −1

В літературі формула (15) називається формулою Пітерса. Використовуючи функцію щільності розподілу, введемо функцію

розподілу F(x). Нехай f (x) крива розподілу з X = 0 . Визначимо, яка частка виміряних значень припадає на інтервал від − x до + x , тобто:

f(t)

	-x 0	x	t
Мал. 3.	F(x), частка	виміряних
значень	в інтервалі	±x,	рівна

площі заштрихованої ділянки.

F (x)=	+∫x f (t)dt .		(17)
Функція	−x	F(x)	називається

функцією розподілу. Вона чисельно рівна площі заштрихованої ділянки на мал. 3.

Підставивши в (17)

f (x)

для

розподілу Гауса, маємо:

1

+x

−

t2

2

1

x

−

t2

F(x)=

e 2σ2dt =

2σ2dt.

∫

∫e

π σ

−x

π σ

0

2

Ввівши нову змiнну τ =

t

і позначивши

σ

x

z =

, отримуємо:

σ

F(z)=		2	z −	τ2
				2 dτ .	(18)
		π	∫e
			0
Значення функцій	f (x)		та F(z) приведені в табл. 1 додатку, а на мал. 4
представлено графік	F(z).		Слід	пам'ятати,	що в межах ±σ знаходяться

приблизно дві третини результатів. Це дозволяє контролювати правильність обчислення σ . Поза інтервалом ± 2σ залишається двадцята частина результатів, а поза ±3σ − лише чотирьохсота частина.

Коротко відмітимо основні властивості випадкових похибок.

1,0
F(z)
0,8
0,6
0,4
0,2
0,0	0,5	1,0	1,5	2,0	2,5z=x/σ
0,0	0,5	1,0	1,5	2,0	2,5z=x/σ
Мал. 4. Функція розподілу F(z) для
	розподілу Гауса.

12

Якщо похибки вимірювань випадкові, вони підлягають нормальному закону розподілу. Вивчаючи розподіл випадкових похибок, було виявлено такі статистичні закономірності, відомі як властивості випадкових похибок:

1.При даних умовах вимірювань випадкові похибки за своєю абсолютною величиною не можуть переходити певну межу. Ця властивість характеризує умови вимірювань, точність приладу, методику, тощо.

2.Малі за абсолютною величиною похибки зустрічаються частіше, ніж великі. Це, по суті, − відображення закону розподілу.

3.Додатні похибки з'являються так само часто, як і рівні їм за абсолютною величиною від'ємні. Ця властивість є наслідком дії закону великих чисел.

4.Середнє арифметичне випадкових похибок однієї і тієї ж величини прямує до нуля при зростанні кількості вимірювань:

lim ∑∆i = 0 .

n→∞ n

5.Випадкові похибки при переході від одного вимірювання до іншого змінюють свою величину та знак без будь-якої закономірності. Ця властивість випливає з властивостей будь-якої випадкової величини, про конкретний результат якої не можна сказати наперед.

Ще раз випишемо основні формули для обчислення σ і σcp. :

∑di2

1

5

∑

di

1

σ

≈

2

;

σ

≈

;

n(n

−1)

4

n

(n −

1

cp.

1)2

1

∑

σ ≈ ∑di2

5

di

2

;

σ ≈

;

d

= x − x .

1

n −1

4

[n(n −1)]

2

i

2.3.4. Розподіл похибок заокруглення

При виконанні будь-яких обчислень завжди зустрічаємось з необхідністю заокруглювати результати до певного десяткового знаку, користуючись відомим правилом Гауса. Це правило виключає однобічне

13

накопичення помилок та дозволяє мати цілком ідентичні результати, коли ті ж самі обчислення виконують різні особи.

Досвідом встановлено такі властивості похибок заокруглення:

1)гранична похибка заокруглення становить 1/2 одиниці останнього отриманого десяткового розряду;

2)додатні та від'ємні похибки заокруглення рівноможливі;

3)математичне сподівання (середнє значення) похибок заокруглення рівне

нулю;

4)великі та малі похибки заокруглення рівноможливі.

Остання властивість суттєво відрізняє похибки заокруглення від випадкових, тому, що вони не мають нормального розподілу. Похибки заокруглення підлягають рівномірному закону розподілу. Середнє значення та дисперсія рівномірно розподіленої випадкової величини дорівнюють:

x = ∫x

f (x)dx =

1 ∫x dx = a + b ;

b

a

b − a

a

2

σ 2 = ∫b (x − X )2 f

(x)dx =

1

∫b (x − X )2 dx = (b −a)2 .

b −a

a

12

x = a + b ;

σ 2

=

(b −a)2 ,

(19)

2

12

де

a і b − межі розподілу, при a ≤ x ≤ b щільність розподілу постійна:

f (x)=

1

.

b −a

Якщо випадкова величина x розподілена рівномірно на інтервалі a0 ±α ,

де a0 − математичне сподівання, то, враховуючи (19), дисперсія буде:

σ 2 = [(a0 +α)−(a0 −α)]2

= α2 ,

(20)

12

3

а середньоквадратичне відхилення

σ =

α .

(21)

3

Якщо прийняти

α за

граничну

похибку

заокруглення, то σ буде

середньоквадратичною похибкою заокруглення.

При проведенні обчислень, наприклад, з точністю до m розрядів після

десяткової коми гранична похибка		α числа становить 0.5 10−m , а
середньоквадратичне значення − σ =	10−m
	2	.
		3

14

2.4. Обчислення похибок прямих вимірювань

Мета будь-якого фізичного експерименту полягає в тому, щоб, маючи інформацію про природу і величину похибок вимірювань, зробити відповідні висновки про істинне значення вимірюваної величини. Треба врахувати те, що похибки вимірювань бувають різного типу: це здебільшого похибки приладу, похибки заокруглення, систематичні і випадкові похибки. Розглянемо, як враховувати кожну похибку зокрема.

2.4.1. Систематичні похибки

Систематичні похибки, пов'язані з методикою досліду, враховуються так, як вказано в описі роботи. Систематичні похибки, пов'язані з використанням приладів, треба усувати в процесі проведення експерименту. Так, потрібно правильно встановити прилад, перевірити положення нульового відліку шкали. Якщо нуль “збитий”, то слід встановити його або вводити відповідні поправки у виміри.

2.4.2. Випадкові похибки

Випадкові похибки виявляються шляхом багатократних вимірювань, тоді як систематичні похибки не можна виявити шляхом повторних вимірювань тим самим приладом.

Нехай при повторних рівноточних вимірюваннях (що проводяться в одинакових умовах, одним дослідником, одним і тим самим приладом) отримаємо n значень відповідної фізичної величини, які трохи відрізняються одне від одного: x1, x2 ,..., xn .

Відомо, що найбільш ймовірним значенням вимірюваної величини буде

середнє арифметичне значення: x = 1 ∑xi . n i

Точність вимірювань характеризується також відносною похибкою E ,

рівною відношенню абсолютної похибки ∆x до значення x : E = |∆xx| .

Чим менша відносна похибка, тим вища точність вимірювання. Оскільки похибки випадкові, то для характеристики величини похибки

треба вказати два числа: величину самої похибки, тобто надійний інтервал

± ∆x , і рівень вірогідності (ймовірнісна характеристика) P , що показує, яка частка всіх вимірів буде знаходитись у вказаному надійному інтервалі. Якщо одна з цих величин (рівень вірогідності, надійний інтервал) задана, то методами теорії випадкових похибок можна знайти другу. Роглянемо це.

Вибір рівня вірогідності.

Критерії для вибору того чи іншого значення вірогідності визначаються виключно з практичних міркувань. Покажемо це на прикладі.

Материал: Obr_eksp_rez

Смотрите также: