Материал: M-051

Скачать файл

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

Re s[X ( p)e pt ]= lim

10 p + 2

e pt

e3t ;

p=3

p→3

p( p +1)

Re s[X ( p)e pt ]= lim

10 p + 2

e pt = −

;

( p +1)( p −3)

p=0

p→0

Re s[X ( p)e pt ]= lim

10 p + 2

e pt

= −2e−t

p=−1

p→−1

p( p −3)

Тоді частковий розв’язок

x(t) = − 2 − 2e−t

+ 8 e3t .

Аналогічно знаходимо частковий розв’язок y(t):

Re s [Y

p=3

Re s [Y

p=0

Re s [Y

p=−1

Отже, y(t) = 13 + 2e−t + 83 e3t


( p)e pt ]= lim	5 p2 − 4 p −1		e pt			=	8		e3t ;

p→3		p( p +1)				3
( p)e pt ]= lim		5 p2 − 4 p −1			e pt	=		1		;

p→0	( p −3)( p +1)					3
( p)e pt ]= lim		5 p2 − 4 p −1		e pt		= 2e−t .

p→−1		p( p −3)

Таким чином частковий розв’язок заданої системи диференціальних рівнянь має вигляд:

x(t)

y(t)

=− 23 − 2e−t + 83 e3t ;

=13 + 2e−t + 83 e3t .

§ 3. Знаходження розв’язку інтегральних рівнянь операційним методом

Загальні поняття та визначення.	Інтегральними рівняннями називають
рівняння, в яких шукана функція знаходиться під знаком інтегралу.
У загальному випадку лінійні інтегральні рівняння (ІР) мають вигляд
g(x) y(x) −λ∫K (x,t) y(t)dt = f (x),	x Q ,	( 19 )
Ω
де K(x ,t) – ядро ІР, f(x) – права частина рівняння з областю існування		Q, λ - параметр

рівняння ( часто надають йому значення 1 або –1), y(x) – шукана функція з областю існування Ω - змінна або постійна.

Функції K(x ,t), f(x), g(x), параметр λ та області Q і Ω вважаються заданими, а

функція y(x) – шуканою. Причому функції	K(x,t), f(x)	і g(x) можуть бути як
комплексними, так і дійсними, а змінні x і t – тільки дійсними.
Рівняння (19) є неоднорідним. У випадку g(x)≡1 і f(x)≡0, то рівняння (19)
запишеться у вигляді
y(x) −λ∫K (x,t) y(t)dt = 0,	x Q ,	( 20 )
Ω

називають однорідним.

Якщо задані функції K(x , t), g(x) і шукана функція у(х) у рівнянні (19) є функціями однієї змінної, то маємо рівняння одномірні, тобто рівняння з однією змінною.

F( p)

Ці рівняння можуть бути лінійними або нелінійними, аналогічно як і диференціальні рівняння.

Лінійні рівняння – це рівняння, в яких шукана функція входить лінійно. До них відносяться рівняння Фредгольма і Вольтерри І та ІІ роду, асаме:

-рівняння Фредгольма І роду

∫b K (x,t) y(t)dt = f (x), c ≤ x ≤ d;

( 21 )

- рівняння Вольтерри І роду

∫x K (x,t) y(t)dt = f (x), x Q;	( 22 )
a

-рівняння Вольтерри та Фредгольма ІІ роду:

y(x) −λ∫х K (x,t) y(t)dt = f (x);

	0	( 23 ).
	y(x) −λ∫b	( 23 ).
	y(x) −λ∫b	K (x,t) y(t)dt = f (x);
	a

Якщо аргумент ядра має вигляд різниці, тобто x - t , то з таким виглядом

ядра інтегральне рівняння називається рівнянням згортки, або рівнянням із різницевим ядром. Ці рівняння мають вигляд:

y(x) −λ∫K (x −t) y(t)dt = f (x);			( 24 )
	Ω
Причому інтегральні рівняння згортки наступного вигляду:
f (x) = λ∫х	K (x −t) y(t)dt	є рівнянням Вольтерри І роду,	( 25 )
a
y(x) −λ∫х	K (x −t) y(t)dt = f (x) - рівняння Вольтерри ІІ роду. ( 26 )
a
Розглянемо методику знаходження розв’язку інтегральних рівнянь згортки
Вольтерри І та ІІ роду за допомогою інтегрального перетворення Лапласа.
Нехай задано рівняння (25). Застосувавши до нього перетворення Лапласа,
одержимо:
	х
L[f (x)]= λ L ∫K (x −t) y(t)dt .
	0

Дальше, вважаючи, що F(p)→f(х), g(p)→K(х), Y(p)→y(х) та згідно теореми згортки операторне рівняння, для заданого рівняння (23), запишеться у вигляді

F( p) = λ g( p) Y ( p) або Y ( p) = λ g( p) .

Тоді розв’язок рівняння знаходимо взявши обернене перетворення Лапласа., тобто

	1	−1	F( p)
y(x) =		L		.
	λ
			g( p)

Приклад. Знайти розв’язок інтегрального рівняння

x = ∫х	e x −t y (t ) dt .
0

Розв’язок. Побудуємо для даного рівняння операторне рівняння:

L[x]= L ∫ex−t y(t)dt .

Оскільки L[x]=

x−t

p −1

;

L ∫e

y(t)dt

Y ( p), тоY ( p) =

−

−1

Взявши обернене перетворення, знаходимо розв’язок рівняння:

−1		1		1
y(x) = L			−			=1 − x.
				p	2
	p

Розглянемо методику знаходження розв’язку інтегрального рівняння згортки Вольтерри ІІ роду за допомогою інтегрального перетворення.

Нехай задано рівняння (24). Застосувавши до нього перетворення Лапласа, одержимо:

х		= L[f (x)].
L[y(x)]−λ L ∫K(x −t) y(t)dt		= L[f (x)].
0

Y ( p) −λ g( p) Y ( p) = F( p) або Y ( p) =		F( p)	.
	1	−λ g( p)

Тоді розв’язок рівняння знаходимо взявши обернене перетворення Лапласа., тобто

−1		F( p)
y(x) = L			.

	1	−λ g( p)

Приклад. Знайти розв’язок інтегрального рівняння y(x) −∫х (x −t) y(t)dt = sin x.

Розв’язок. Побудуємо для даного рівняння операторне рівняння:

												L[y(x)]− L ∫х (x −t) y(t)dt = L[sin x)].
																0
	Оскільки
L[sin x]=						1					х					1											p	2
						1			;	L ∫(x −t) y(t)dt =						1		Y ( p),			то Y ( p) =						p				=
					p	2			;	L ∫(x −t) y(t)dt =					p	2		Y ( p),			то Y ( p) =				( p	2	+1)( p		2	−1)	=
					p	+1					0				p	−1									( p		+1)( p			−1)
	1		1							1
=	1		1				+			1
			2							2
	2		2	+1)				( p		2	−1)	.
	2	( p		+1)				( p			−1)
	Взявши обернене перетворення, знаходимо розв’язок рівняння:
												−1 1		1					1				1

										y(x) = L				2			+		2					(sin t + sht).
										y(x) = L			( p	2	+	1)	+	( p	2			=	2	(sin t + sht).
												2	( p		+	1)		( p		−1)			2

Розділ ІV. Домашні завдання

Завдання 1. Згідно інтегрального перетворення Лапласа, знайти зображення F(p) функції f(t):

1.f (t) = e−2t ;

2.f (t) = 2t ;

3.f (t) = 5 +t ;

4.f (t) = t 2 / 2 ;

5.f (t) = 2 −t ;

6.f (t) = 2 sin t −3cos t ;

7.f (t) = 2t −e−t ;

8.f (t) = 12 (sht −sin t) ;

9.f (t) = t − cos 2t;

10.f (t) = t − 2 sin t ; 11. f (t) =1 + t 2 ;

12.f (t) = 5t / 2 ;

Завдання 2. Знайти зображення F(p) заданих функцій f(t) згідно вказаних теорем а). Знайти зображення F(p) заданих функцій f(t) згідно теореми подібності:

1 . f (t ) = sh 2t;		5 .	f (t ) = ch 2 4t;	9 .	f (t ) = sh 2t cht ;
2	. f (t ) = e −2 t ;	6 .	f (t ) = sh 2t sh 3t;	10 .	f (t ) = cos 2 2t;
3 . f (t ) = cos 4t;		7 .	f (t ) = sin 2 2t;	11 .	f (t ) = cos 2t cos 4t;
4	. f (t ) = sh 5t;	8 .	f (t ) = sh 2 2t;	12 .	f (t ) = ch 2t cht ;

б). Знайти зображення F(p) заданих функцій f(t) згідно теореми зсуву (згасання):

1. f (t) = e−4t sin 3t;		5. f (t) = sh2t cos2 2t;	9. f (t) = e2t cos 2t sin t;
2.	f (t) = e3t cos 3t;	6. f (t) = e−2t cos 2t;	10. f (t) = e3t sin 3t sin 2t;
3. f (t) = sht ssnt;		7. f (t) = et ssn2t;	11. f (t) = et cos 5t;
4.	f (t) = sin 2t ssn3t;	8. f (t) = cos t cos 2t;	12. f (t) = e3t cos t.

Завдання 3. Знайти зображення F(p) заданих функцій f(t), використовуючи вказані теореми диференціювання оригіналу або зображення.

а). Знайти зображення F(p) заданих функцій f(t) згідно теореми диференціювання оригіналу:

1. f (t) = e3/ 2t ;	5. f (t) =t e2t ;	9. f (t) = 2t ;
2. f (t) = e−3t ;	6. f (t) =t sin2t ;	10. f (t) =3t2 ;
3. f (t) =cos4t ;	7. f (t) =t cos2t ;	11. f (t) =t et ;
4. f (t) =t sh2t ;	8. f (t) =t sh3t;	12. f (t) =t sin2t .
б). Знайти зображення F(p) заданих функцій f(t) згідно теореми
диференціювання зображення:
1. f (t) = t cos3t ;	5. f (t) = t sin2t ;	9. f (t) =t sh2t ;
2. f (t) =t sht ;	6. f (t) = t sin3t ;	10. f (t) = t cost;
3. f (t) =t ch2t ;	7. f (t) = t cost cht;	11. f (t) =t sh5t ;
4. f (t) =t e−2t ;	8 f (t) = t 2 cost ;	12. f (t) = t cht .

Завдання 4. Використовуючи вказані теореми інтегрування зображення або оригіналу, знайти зображення F(p) заданих функцій f(t).

а). Застосувавши теорему інтегрування оригіналу, знайти зображення F(p) заданих функцій f(t) :

τ	τ	τ
1. f (t) = ∫cos2τ dτ ;	5. f (t) = ∫ch2τ dτ ;	9. f (t) = ∫e2τ chτ dτ ;
0	0	0

τ	τ
2. f (t) = ∫sh2τ dτ ;	6. f (t) = ∫τ sh3τ dτ ;
0	0
τ	τ
3. f (t) = ∫ch3τ dτ ;	7. f (t) = ∫eτ cos2τ dτ ;
0	0
τ	τ
4. f (t) = ∫τ cos2τ dτ ;	8. f (t) = ∫e2τ sinτ dτ ;
0	0

10. f (t) = ∫τ τ e−τ dτ ;

11. f (t) = ∫τ eτ dτ ;

12. f (t) = ∫eτ 3τ dτ .

б). Застосувавши теорему інтегрування зображення, знайти зображення F(p) заданих функцій f(t) :

f (t) =

e−2t

;

f (t) =

sht

;

2. f (t) =

sin3t

;

6. f (t) =

sh2t

;

ch2t ch3t

7. f (t) =

cos

3. f (t) =

;

f (t) =

cos2t −cos4t

; 8.

f (t) =

sin2 2t

;

Завдання 5. Знайти згортки функцій:

1. f (t) = t cos t.		2. f (t) = t sin t.
4.	f (t) = (1 −t) et .	5. f (t) = 2e3t .
7.	f (t) = 2te2t .	8. f (t) = t cos 2t.

9. f (t) = sint2 t ;

10. f (t) =	e−t −e−4t	;
	t

11.f (t) = et t−1 ;

12.f (t) =1−te−2t .

3.f (t) = sht sin t. 6. f (t) = cht cos t. 9. f (t) = (1 − 2t)e2t .

Завдання 6. Знайти зображення періодичних функцій.

Для виконання завдання потрібно за заданим графічним зображенням функції встановити її період та аналітичний вигляд.

x(t)

Смотрите также:


«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
Значение, сущность и содержание социально — педагогической деятельности в организации для детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей
Проактивные методы PR-деятельности российских авиационных компаний «Россия», «Азимут»
__RGR2
__RGR2
_10_Эмиль Золя для эл версии
_11_А. Франс для эл версии
_2 тема-Дефекты (тезисы)