Материал: M-051

Скачать файл

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

Приклад. Згідно даної теореми знайти зображення функцій: f (t) = eat .

Розв’язок. Застосувавши формулу (4) і зображення для функції et , тобто L[et ]=

p −1

знаходимо L[eat ]=

. .

−1

p − a

L[cos(bt)] =

L[sin(bt)] =

, L[ch(bt)] =

+b2

−b2

L[sh(bt)] =

p2 −b2

Приклад. Знайти зображення функції : f (t) = sin at.

Розв’язок. Згідно формули (4) і зображення для функції sint, тобто L[sin t]=

p2 +1

знаходимо L[sin at]=

. .

p 2

+ a2

§ 3. Теорема запізнення

Теорема. Якщо F(p) є зображенням функції f(t) і а – додатне число, то е-арF(p) є

зображенням функції f(t-a)S(t-a), тобто

L[f (t − a) S(t − a)]= e−ap F( p),

( 5 )

де S(t) – функція Хевісайда, яка має вигляд:

0, для t < 0,

S(t) =

, для t = 0,

1, для t > 0.

Доведення. Згідно перетворення Лапласа і властивості функції S(t), маємо

L[f (t − a) S(t − a)]= ∞∫S(t − a) f (t − a)e−pt dt = ∞∫ f (t − a)e−pt dt =[зробивши заміну

0						0
τ = t − a, t =τ + a, dt = dτ] = ∞∫ f (τ)e−p(τ +a) dτ = e−pa ∞∫ f (τ)e−pτ dτ = e−ap F ( p).
	0					0
Приклад. Знайти зображення функції f (t) = cos(t − a) S(t − a).
Розв’язок. Оскільки зображення функції f (t)					= cos(t) має вигляд L[cos(t)] =		p	,
Розв’язок. Оскільки зображення функції f (t)					= cos(t) має вигляд L[cos(t)] =		p2 +1	,
							p2 +1
то L[cos(t −a) S(t −a)] =	p e−ap	=		p		.
то L[cos(t −a) S(t −a)] =	p2 +1	=	eap ( p2 +1)			.
	p2 +1		eap ( p2 +1)
Приклад. Знайти зображення функцій
f (t) = cos(at −b) S(at −b),					f (t) = sin(at −b) S(at −b),
f (t) = ch(at −b) S(at −b), f (t) = sh(at −b) S(at −b).
Розв’язок. Перетворимо аргументи функцій:
f (t) = cos a(t −b / a) Sa(t −b / a),					f (t) = sin a(t −b / a) S(at −b),
f (t) = cha(t −b / a) Sa(t −b / a),					f (t) = sha(t −b / a) Sa(t −b / a).
Тоді згідно формули (5), знаходимо

				b
	p e		−		p					p
L[cos(at −b) S(at −b)] = L[cosa(t −b / a) Sa(t −b / a)] =	p e		−	a	p	=				p	.
L[cos(at −b) S(at −b)] = L[cosa(t −b / a) Sa(t −b / a)] =	p2	+ a2				=		b	p	( p2 + a2 )	.
								b

							ea

Аналогічно запишемо вирази зображень решти функцій:

a e−

L[sin(at −b) S(at −b)] =

+ a2

( p2

+ a2 )

e a

a e

−

L[ch(at −b) S(at −b)] =

+ a2

( p2

− a2 )

e a

a e

−

L[sh(at −b) S(at −b)] =

+ a2

( p2

−a2 )

e a

§ 4. Теорема зсуву (згасання).

Теорема. Якщо F(p) є зображенням функції f(t), то F(p+а) є зображенням функції е-аtf(t), тобто,

L[e−at f (t)]=F(p +a), або L[eat f (t)]=F(p −a).

(6)

Доведення. Згідно означення перетворення Лапласа, тобто, візьмемо оператор Лапласа із заданої функції

L[e−at f (t)]=∞∫f (t) e−t(a+p)dt =F(p +a).

Таким чином заміна р у зображенні на р+а еквівалентна множенню оригіналу на е-аt. Приклад. Згідно даної теореми знайти зображення функцій:

f (t) = cos(bt) e−at ,

f (t) = sin(bt) e−at ,

f (t) = ch(bt) e−at ,

f (t) = sh(bt)

Розв’язок. Запишемо зображення функцій cos(bt), sin(bt), ch(bt), sh(bt).

L[cos(bt)] =

, L[sin(bt)] =

, L[ch(bt)] =

p2 +b2

+b2

−b2

L[sh(bt)]

p2 −b2

Тоді згідно формули (6) маємо:

L[cos(bt) e−at ] =

p + a

, L[sin(bt) e−at ] =

, L[ch(bt) e−at ] =

( p + a)2 +b2

L[sh(bt) e−at ] =

( p + a)2

−b2

e−at .

p + a	,
( p + a)2 −b2

Приведена теорема має широке застосування при розв’язуванні задач стосовно коливних систем, тобто, при дослідженні сигналів, зв’язаних із їх згасанням.

§ 5. Теореми диференціювання оригіналу і зображення
			1.		Диференціювання оригіналу
Теорема. Якщо F(p) є зображенням функції f(t) і функції f						′	f	′′	f	(n)	(t) є
Теорема. Якщо F(p) є зображенням функції f(t) і функції f						(t),	f	(t), ...,	f		(t) є
оригіналуми, то	L[f	′									( 7 )
		′
L[f		(t)]= p F( p) − f (0),
	′′		2		′						( 8 )
	(t)]= p			F( p) − pf (0) − f (0),							( 8 )

...........................................................................

L[f (n) (t)]= pn F( p) −{pn−1 f (0) + pn−2 f ′(0) +... + p f (n−2) (0) + f (n−1) (0)}.

Доведення. Згідно перетворення Лапласа для f		′
Доведення. Згідно перетворення Лапласа для f				(t) маємо:
L[f ′(t)]= ∞∫ f ′(t)e−pt dt = ∞∫e−pt d(f (t))=e−pt f (t)				0∞ + p∞∫ f (t)e−pt dt = p F( p) − f (0).
L[f ′(t)]= ∞∫ f ′(t)e−pt dt = ∞∫e−pt d(f (t))=e−pt f (t)				0∞ + p∞∫ f (t)e−pt dt = p F( p) − f (0).
0	0		0
інтегруючи за частинами :
u = e−pt ,	du = −pe−pt dt,
dv = d( f (t)),	v = f (t),

Для f ′′(t) знаходимо:

L[f ′′(t)]= L[( f ′(t))′]= p L[f ′(t)]− f ′(0) = p [p F( p) − f (0)]− f ′(0) = = p2 F( p) −[ p f (0) + f ′(0)].

Аналогічним шляхом встановлюємо співвідношення для f (n) (t). Приклад. Згідно приведеної теореми знайти зображення функції f (t) = t sin 2t. Розв’язок. Знаходимо

f ′(t) =sin2t +2t cos2t, f ′′(t) = 4cos2t −4t sin2t i f (0) =0, f ′(0) =0.

Тоді згідно формули (7) маємо:

L[f ′′(t)]= p2 F( p) −[p f (0) + f ′(0)]i L[f ′′(t)]= L[4 cos 2t − 4t sin 2t]=

= 4L[cos 2t]− 4L[t sin 2t

]= 4

− 4F( p); або

+ 4

′

оскільки p

F( p) −[p f (0) + f (0)]=

−4F( p),то

p2 +4

+ 4) F( p) =

4 p

′

4 p

+[p f

(0) +

f (0)], або F( p) =

+ 4

(p2 + 4)2

Диференціювання зображення

Теорема. Якщо F(p) є зображенням функції f(t), то

′

L[(−1)

f (t)]

(n)

( p) .

( 9 )

L[−tf (t)]= F ( p), ...,

Отже, диференціювання зображення відповідає множенню оригіналу на вираз –t. Доведення. Запишемо зображення функції f(t) і продиференцюємо його, тобто

∞		∞	'
F( p) = ∫	f (t)e−pt dt i F ′( p) =	∫	f (t)e−pt dt
0		0	p

= ∞∫[−tf (t)]e−pt dt = L[−t f (t)];

= −∞∫tf (t)e−pt dt =

Аналогічним шляхом знаходимо

	∞		"	∞
F ′′( p) =	∫	f (t)e−pt dt	= ∫t 2 f (t)e−pt dt = L[t 2 f (t)].
	0	p		0

Приклад. Знайти зображення функції f (t) = t chat , скориставшись наведеною теоремою.

Розв’язок. Оскільки зображенням функції f(t)=chat є

згідно наведеної теореми, знаходимо:

− a

−

2 p

+ a

L[−tchat] =

= −

− a2

(p2

− a2 )2

(p2

− a2 )2

Отже,

L[tchat] = ( p2 + a2) .

p2 − a2 2

F ( p ) =	p	, то
F ( p ) =	p 2 − a 2	, то
.

§ 6. Теореми інтегрування оригіналу і зображення

Зручним методом розв’язування певних задач є застосування перетворення Лапласа при інтегруванні оригіналів та зображень. Розглянемо ці перетворення.

		1.	Інтегрування оригіналу
Теорема. Якщо F(p) є зображенням функції f(t), то має місце наступна формула
		t			F( p)
	L ∫ f (τ)dτ =						.				( 10 )
	L ∫ f (τ)dτ =				p		.				( 10 )
		0			p
Отже, інтегрування оригіналу дорівнює діленню зображення на р.
Доведення. Оскільки L[f (t)]= F( p), і зробивши заміну ϕ(t) = ∫t											f (τ)dτ , а також
										0
враховуючи, що φ’(t)=f(t) i		φ(0)=0, одержимо
′			t
L[ϕ (t)] = L[ f (t)] = pL[ϕ(t)] −ϕ(0) =			pL ∫ f (τ)dτ
				0
t		t						F( p)
або F( p) = pL ∫ f (τ)dτ , звідси L ∫ f (τ)dτ						=			.
або F( p) = pL ∫ f (τ)dτ , звідси L ∫ f (τ)dτ						=		p	.
0		0						p
Приклад. Знайти зображення функції f (t) = ∫t										τaτ dτ.
									0

Розв’язок. Знайдемо зображення функції tat , скориставшись безпосередньо перетворенням Лапласа:

F( p) = L[t at ] = ∞∫tat e−pt dt =∞∫t(a−1e p )−t dt =

= t

(a−1e p )t

∞ −

∞∫(a−1e p )t dt =−

(a−1e p )t

∞

p −ln a

( p −ln a)

p −ln a

u = t,

du = dt,

dv = (a

−1

)

−t

dt, v = −

(a−1e p )−t

ln(ae−p )

p −ln a

F( p)

Тоді

L ∫τa

dτ

p ( p

−ln a)

2. Інтегрування зображення

Теорема. Якщо F(p) є зображенням функції f(t), то інтегрування зображення

∞∫F( p)dp дорівнює діленню на t оригіналу, тобто, має місце формула

p
	f (t)	∞
L		= ∫F( p)dp.	( 11 )
L	t	= ∫F( p)dp.	( 11 )
	t	p

Опустимо доведення даної теореми і обмежимось розглядом прикладів на її

застосування.

Приклад 1. За формулою інтегрування зображення знайти зображення функції

sin 2

f (t) =

sin 2

1 −cos t

cos t

Розв’язок. Перетворимо задану функцію:

f (t) =

−

Тоді

sin

∞

cos t

∞

−

∫

dp −∫

ln p −

ln( p

+1)

Приклад 2. Знайти зображення функції

f (t) =

sin 4t sin 2t

Розв’язок. Перетворимо задану функцію:

(t) =

sin 4t sin 2t

1 cos 2t −cos 6t

cos 4t

cos 6t

−

Тоді

Смотрите также:


«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
Значение, сущность и содержание социально — педагогической деятельности в организации для детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей
Проактивные методы PR-деятельности российских авиационных компаний «Россия», «Азимут»
__RGR2
__RGR2
_10_Эмиль Золя для эл версии
_11_А. Франс для эл версии
_2 тема-Дефекты (тезисы)