Материал: Lolli_Filosofia_matematiki-1

Эмпиризм

Эмпиристское заключение по поводу наличия «недедуктивных выводов из эмпирических предпосылок» (которое для того, чтобы быть последовательными, должно бы быть распространено на всю математику, на все вычисления и все доказательства) выглядит пока еще поспешным и, может быть, упрощенческим, несмотря на свою внешнюю содержательность. Когда полагаются на результаты, полученные машиной, которая является реализацией некоторой формальной модели вычислений (например, машины Тьюринга), представляется более правильным сказать не о том, что предпосылка, от которой отталкиваются, является эмпирической, а о том, что это – эпизод прикладной математики, то есть применение некоторой абстрактной модели к физической реальности с подтверждением ее (модели) адекватности после соответствующих практических и статистических проверок.

Философия математики, к сожалению, мало интересуется или совсем не интересуется прикладной математикой. Она рассматривает чистую математику, и потом спрашивается, как происходит чудо ее применимости в мире. Может также статься (глядя на мир, конечно, через оптику эмпиризма или натурализма), что существует только прикладная математика или что основания математики должны быть исследованы в рамках прикладной математики. Она не состоит в натягивании готового платья на некую реальность, а заключается в его моделировании, кройке и шитье по ходу дела. Приложения порождают (чистые) теоремы, которые зависят от приложений, и, в свою очередь, направляют и контролируют сами приложения. Например, мы видели, что некоторые не допускают различий между расчетами, выполненными на машине, и исполь-

нили эмпиристы. Отсылаем к непосредственному чтению H. Wang, Process and existence in mathematics, in Essays on the Foundations of Mathematics, под ред. Y. Bar-Hillel, Jerusalem, The Magnes Press, 1966, p. 328–351, перепечатано с вариациями в T. Tymoczko, New Directions, уже цит., p. 131–157; H. Wang,

From Mathematics to Philosophy, уже цит. Среди витгенштейнианских тем, проработанных в дальнейшем Ваном, присутствуют также тема удлинения арифметических доказательств в логицистском переложении (опротестованная в M. Steiner, Mathematical Knowledge, уже цит.) и различные проблемы теоретико-множественного переложения арифметики.

255

Философия математики: наследие двадцатого столетия

зованием материальных фигур и инструментов для доказательства геометрических теорем. Итак, эта тема сегодня полностью под контролем соответствующих геометрико-алгебраических теорем40, и, вероятно, можно прийти к тому, чтобы сказать то же самое в отношении машин.

40 По поводу доказательств с использованием геометрических образов смотри G. Lolli, Esperimenti e dimostrazioni, уже цит.

256

Формы и модели

14. ФОРМЫ И МОДЕЛИ

Структурализм не является лишь описанием и интерпретацией внутренней организации математики. Слово «структура» сейчас используется для обозначения того, что ранее называлось формой, или же что сегодня обозначается непереводимым термином «pattern». Является весьма привлекательным сказать, что схемы, модели, patterns, структуры есть результат и объект творческой математической работы, поскольку это стало важным аспектом современной математики.

К моделям относятся не только дифференциальные уравнения математической физики. Те, которым лучше подходит термин «pattern», можно было бы отнести к «пластичной» математике1 или качественной математике. Графы и упорядоченные структуры, конечные геометрии, машины с конечным числом состояний и весь арсенал дискретной математики выступают как модели для разнообразных процессов и деятельностей (от вычислительных до относящихсякисследованиюопераций, экономическимисоциальнымнаукам).

Спрашивается, что представляла бы собой философия математики, если бы этот аспект был превалирующим или если науч- но-фантастическим образом «пластичная» математика оказалась бы разработанной раньше и независимо от «жесткой» математики чисел2? Почему же все произошло не так и вообще стало возможным?

Основное назначение натуральных чисел в дискретной математике – индуктивное рассуждение, индукция на числе элементов некоторой структуры или, чаще, на количестве шагов некоторого процесса или алгоритма. Натуральные числа служат лишь для счета шагов алгоритма, а для этого не требуется вся продвинутая и содержательная теория чисел. Тем не менее, является фактом то,

1В оригинале англ. matematica soft (прим. переводчика).

2В оригинале англ. matematica hard del numero (прим. переводчика).

257

Философия математики: наследие двадцатого столетия

что принцип математической индукции был сформулирован в явном виде и систематически использован довольно поздно (сначала у Паскаля и затем начиная с середины девятнадцатого века); пришлось подождать более позднего продвинутого развития арифметики, чтобы признать фундаментальную роль этого принципа.

Счет является первичной деятельностью, но, как стало понятно, абстрактная модель числа выходит за пределы человеческих возможностей. Абстрактное представление, как мы видели, дает лишь призрак формализации бесконечной цепочки с сопутствующим принципом математической индукции. Последний является результатом поздним, или зрелым, и это должно бы привести конструктивистов к размышлениям о так называемой основополагающей природе, которую имеет интуиция счета.

В начале становления греческой математики превалировали геометрические схемы, которые, возможно, оказались первым и наиболее простым подходом, который напрашивался для применения к определенным фрагментам реальности. Числа также были геометрическими формами (patterns)3. Вполне понятно, как эти геометрические модели, да и многие другие, выражали символическим образом некоторые аспекты действительности. По поводу натуральных чисел говорится обычно, что это – абстрактная схема счета или порядка, однако геометрическая природа античных чисел дает определенное предостережение в этом отношении. История абстрактной модели натуральных чисел подсказывает, что некоторые даже самые простые модели рождаются не за счет непосредственной абстракции, а в результате логического анализа содержательно развитых теорий.

Подход к математике как к науке о формах («patterns») используют, тем не менее, для объяснения того, как математические структуры могли бы оказаться результатом доматематической деятельности, отталкиваясь от конкретных практик. Сторонником такого подхода является С. Маклейн (Saunders Mac Lane)4.

3P. Zellini, Gnomon, Milano, Adelphi, 1999.

4S. Mac Lane, Mathematical models: A sketch for the philosophy of mathematics, in «Amer. Math. Monthly», 88, 1981, n. 7, pр. 462–472.

258

Формы и модели

Математика начинается с вопросов и проблем, которые имеют дело с комбинаторными и символическими аспектами человеческой практики в целом. Некоторые из таких аспектов имеют свой собственный внутренний и систематический характер, а не произвольный и связанный с контекстом. Именно они и становятся материалом элементарной математики. Исходя из этого отправного пункта, математика развилась до дедуктивного анализа многочисленных и разнообразных, но взаимосвязанных формальных структур. Эти структуры произошли из опыта, в ходе последовательного многоэтапного процесса, включающего абстракции от различных наблюдений мира, его проблем и взаимосвязей между этими проблемами. Восприятия инициируются многообразными видами человеческой деятельности, каждый из которых ведет более или менее прямо к соответствующему разделу математики.

Среди различных видов деятельности отмечены: счет, измерения, группирование, придание формы, строительство, различные виды оценки, движение, вычисления, рассуждения, игры. В них можно увидеть далекие корни арифметики, рациональных и действительных чисел, множеств, геометрии, теории групп, теории вероятностей, механики, анализа и методов вычислений, алгебры, логики, комбинаторики.

Разнообразные виды доматематической человеческой деятельности не являются абсолютно обособленными. Они взаимодействуют сложным, комплексным образом, и то же самое отмечается в отношении соответствующих разделов математики. Каждая ветвь математики, связанная с этим корнем, в действительности представляет собой дерево теорий с многочисленными связями между ними и с теми, которые имеют другие корни.

В подходе Маклейна математика произошла из определенных видов человеческой деятельности, которые подсказали объекты и операции (такие, как сложение, умножение, сравнение размеров) и подвели, следовательно, к понятиям (простые числа, преобразования), которые впоследствии были включены в формальные аксиоматические системы (арифметика Пеано, геометрия Евклида, система вещественных чисел, теория полей). Последовательная разработка показала, что эти системы кодифицируют скрытые и далеко не очевидные свойства различных первоначальных видов деятельности. Например, такое простое с аксиоматической точки зре-

259