Материал: Lolli_Filosofia_matematiki-1

Эмпиризм

ших его к этим открытиям» [Кондорсе], и имеет особую прелесть»23.

Как видно, фигура Пойа играет ключевую роль вдохновителя нового эмпиризма. Эмпиристы и антифундаменталисты цитируют его и используют как своего наиболее сильного союзника среди математиков, но вынуждены признавать, что «несмотря на все свои инновации, Пойа остается переходной фигурой в философии математики. Он проторил дорогу квазиэмпиризму, но так и не сделал последнего шага в его направлении… [Квазиэмпиристы] делают этот шаг, ставя под сомнение положение о том, что доказа-

тельства полностью надежны, окончательны и обжалованию не подлежат»24.

Позиция Пойа резюмируется в действительности следующим заявлением25:

Математика считается доказательной наукой, но это лишь один из ее аспектов. Завершенная математика, представленная в окончательной форме, выступает как чисто доказательная, состоящая только из доказательств, однако математика в становлении похожа на любое другое человеческое знание в процессе становления. Нужно догадаться о математической теореме, прежде чем доказать ее; нужно догадаться об идее доказательства, прежде чем провести его в деталях. Нужно сопоставлять наблюдения и следовать аналогиям; нужно пробовать вновь и вновь. Результат творческой работы математика – доказательное рассуждение, доказательство; но доказательство, открытое при помощи рассмотрения возможностей, при помощи догадок.

Заслуживает размышления замечание, что «результат творческой работы – доказательство». Квазиэмпиристы же считают, что доказательство – всего лишь дополнение, созданное иллюзорно для гарантирования достоверности результата. Пойа повторяет ту классическую мудрость, что дедуктивное рассуждение «надежно, окончательно и обжалованию не подлежит», но для него это не только некое гарантированное укрытие. Математика не состоит

23G. Polya, Mathematics and Plausible Reasoning, уже цит., с. 90; на по-

следующих страницах 91–100 Пойа переводит мемуар Эйлера об изучении поведения суммы σ делителей целых чисел.

24T. Tymoczko, New Directions, уже цит., с. 97.

25G. Polya, Mathematics and Plausible Reasoning, уже цит., p. vi.

245

Философия математики: наследие двадцатого столетия

исключительно из предварительных, сомнительных и спорных рассуждений. Доказательство есть цель исследований и, следовательно, характеристика математики. Оно строится посредством последовательных приближений, следовательно, также через предположения и рассмотрения возможностей, при помощи мысленных экспериментов, которые, однако, тоже дедуктивные и всегда более и более широко дедуктивные. Это – фундаментальное различие, определенный водораздел между двумя противоположными представлениями о математике и причина, по которой Пойа не может быть причислен к лагерю эмпиристов.

Для опровержения «положения, что доказательства полностью надежны, окончательны и обжалованию не подлежат», эмпиристы прибегают к различным аргументам, которые использовались в дискуссиях этих последних лет26.

Выявляется социальный характер некоторых доказательств, которые являются коллективными трудами, вспоминаются частые ошибки, указываются другие доказательства, которые являются слишком длинными для возможной проверки одним специалистом, и среди доказательств, которые нельзя проверить вручную, выделяют, конечно, те, которыеполностьювыполненыкомпьютерами.

Компьютер оказывал и продолжает оказывать на математику значительное влияние, которое весьма сложно оценить, поскольку оноотчастипротиворечиво иплохо встраиваетсяврасхожиесхемы.

С одной стороны, применение компьютера заставило поновому взглянуть на определенные аспекты экспериментальных исследований и привело к их переоценке, с другой – очень отчетливо высветило символическую и, пожалуй, также логическую стороны самой математической деятельности. Практическое воплощение формализации продвинулось сейчас далеко вперед, и даже имеется возможность автоматического доказательства. Эти моменты, однако, уже присутствовали в математическом сознании. Эмпирические же аспекты были завуалированы долгим периодом абстрактной деятельности.

Как это ни парадоксально, но именно автоматическое доказательство подсказало аргументы в пользу эмпиризма вместо того,

26 G. Lolli, Morte e resurrezione della dimostrazione, уже цит.

246

Эмпиризм

чтобы явиться как реванш одной из форм рационализма. Среди двух возможностей превалирует первая, поскольку размышление о настоящей машине вызывает в памяти скорее масляные пятна и электрические провода, чем интеллект. Идея логической машины есть сведение духа к абсурду.

Первым компьютерным доказательством, которое привлекло внимание (но не было абсолютно первым), стало доказательство теоремы о четырех красках. За ним последовали другие (о несуществовании проективной плоскости порядка 10, об упаковке сфер27, о предположении Роббинса (Robbins) для булевых алгебр и прочие28), но философские дискуссии начались с теоремы о 4 красках, или Т4К, икоснулиськлассическойфилософскойпроблемыаприори29.

Дискуссию открыл Т. Тымочко (Thomas Tymoczko):

Какое основание у нас есть, чтобы сказать, что Т4К не является собственно теоремой или что математики на самом деле не представили ее доказательства? Вот какое – ни один математик не видел ни доказательства Т4К, ни доказательства, что она имеет какое-то доказательство, и очень мало вероятно, что когда-нибудь его увидит…

Математики знают, что она имеет доказательство согласно самым строгим канонам формального доказательства – это им гарантирует компьютер… По [нашей] оценке, использование компьютеров, как в случае Т4К, вводит эмпирические эксперименты в математику… Мы должны принять, что обсуждаемое доказательство не является традиционным, не является априорным выводом некоторого утверждения из предпосылок. Оно представляется как доказательство, в котором есть некоторый разрыв, заполненный резуль-

27Th.C. Hales, Cannonballs and honeycombs, in «Notices AMS», 47, 2000, n. 4, p. 440–449.

28B. Cipra, What’s Happening in the Mathematical Sciences, vol. 1 (1993), vol. 2 (1994), vol. 3 (1995–1996), vol. 4 (1998–1999), Providence, R.I., AMS.

29В G. Lolli, La Macchina e le dimostrazioni, Bologna, Il Mulino, 1987,

представлена дискуссия с участием: T. Tymoczko, The four-color problem and its philosophical significance, in The Journal of Philosophy, 76, 1979, pp. 57–83; P. Teller, Computer proof, ibidem, 77, 1980, pp. 797–803; M. Detlefsen, M. Luker,

The four-color theorem and mathematical proof, ibidem, pp. 803–820; E.R. Swart, The philosophical implications of the four-color problem, in «Amer. Math. Monthly», 87, 1980, pp. 697–707. Цитаты, которые следуют далее, взяты из этих работ.

247

Философия математики: наследие двадцатого столетия

татами некоторого изобретательно организованного эксперимента. Этот факт придает Т4К статус первого математического утверждения, которое стало известным a-posteriori (речь не идет о его ложности или сомнительности, а о том, что было узнано особым образом), и ставит вновь проблему различий между математикой и естественными науками…

Если принять Т4К как теорему, то мы обязаны модифицировать смысл «теоремы», или, что более точно, смысл понятия «доказательство», на которое опирается любая теорема.

Концепция традиционного доказательства для Тымочко – это некоторая дедукция априори. Доказательство есть такое построение, которое должно иметь возможность быть изученным, вновь пройденным, проверенным некоторым рациональным агентом. Оно должно, следовательно, быть ясным и понятным, и эта характеристика необходима и предполагается также в случаях чрезмерно длинных доказательств. Некоторые математики попытались, по крайней мере, проверить их и одобрили (пусть даже с некоторой неудовлетворенностью).

Такое условие сводится к визуализируемости (наглядности), которая отчасти достигается разложением формализации на модули. Математик собирает доказательство в некое единое целое и посредством этого акта приходит к узнаванию результата (и, следовательно, доказательство получает, среди прочего, определенное imprimatur30 сообщества).

Наглядность позволяет убеждать, но, кроме этого, прежде всего «из расчета их наглядности математическим теоремам придается со стороны некоторых философов определенный тип достоверности, недостижимый в других науках. Математические теоремы есть априорное знание… [умозаключение], которое не испытывает необходимости ни в чем, кроме себя самого, чтобы быть убедительным».

Полностью формализованное доказательство (как доказательства, выполненные компьютерами, или некоторые доказательства из Principia Mathematica Рассела и Уайтхеда31) растягивается

30Разрешение на выпуск в свет (лат. – прим. переводчика).

31К примеру, доказательство, что 1+1=2, что доводило Пуанкаре до бешенства.

248

Эмпиризм

непомерным образом. Оно может рассматриваться существующим, даже если не визуализируется, однако тогда должна иметься некоторая наглядная проверка его существования, что отсутствует в случае Т4К. В заключение

Обращение к тому, что сообщает компьютер, рассматриваем ли мы это сообщение как неотъемлемую составную часть доказательства или как часть математического знания, которая не является явно доказуемой, есть, по сути дела, отчет об успешном эксперименте. Он помогает установить… существование доказательства Т4К на основаниях, которые, по крайней мере частично, являются эмпирическими… показать со всей очевидностью, что однажды компьютер выполнил недостающие шаги.

Среди ответов на позицию Тымочко ожидаемый консервативный ответ представлен П. Теллером (Paul Teller). По его мнению, наглядность не является обязательной для того, чтобы доказательство было доказательством, она важна лишь для проверки его правильности. «Если компьютер запрограммирован на выполнение тех же самых приемов доказательства, которые используем и мы, то доказательство, которое он выполняет, есть доказательство в нашем смысле. Озабоченность может оставаться по поводу правильности», однако, как условие для проверки, наглядность субъективна и имеет разные степени в зависимости от использованных технологий (начиная просто от памяти проверяющего через использование карандаша и бумаги к привлечению вспомогательных машин). Использование компьютера в Т4К представляется обогащением наших методов проверки. Ситуация с компьютерным доказательством похожа на ситуацию, когда обычному нормальному человеку не удается проследить ход доказательства, проведенного великим математиком.

Другой, провокационный вариант ответа допускает, что любое доказательство имеет и всегда имело какие-то встроенные эмпирические элементы. Нужно только различать ситуации, в которых эмпирические соображения являются фактически неотъемлемой составной частью аргументации, и ситуации, в которых они привлекаются, чтобы утверждать: то, что представляется некоторым доказательством, на самом деле является таковым. Лишь этот второй аспект разрабатывается в этой дискуссии некоторыми ав-

249