Материал: Lolli_Filosofia_matematiki-1

Эмпиризм

13. ЭМПИРИЗМ

Лакатош считает, что математика, как и другие науки, подвержена ошибкам в силу своей научной природы. Х. Патнэм также утверждает, что «математическое знание похоже на знание эмпирическое» и, следовательно, как и оно – ненадежно и подвержено ошибкам. Патнэм следует однако в русле традиционного эмпириз-

ма, как явствует из его характеристики квазиэмпирических методов1:

Под «квазиэмпирическими» методами я понимаю методы, которые аналогичны методам физических наук, с той лишь разницей, что «индуктивно обобщенные» единичные высказывания, использованные для проверки «теорий» и тому подобного, сами являются результатом вычислений, вместо того чтобы быть «отчетами о наблюдениях» в обычном смысле.

Обе позиции намечают обновленную версию эмпиризма как философии математики. Он всегда, в действительности, был одним из направлений философии математики (Аристотель, кстати, был эмпиристом), но как предположение о происхождении и формировании математических концепций. На эту проблему новые эмпиристы не обращают внимания.

Базовый тезис традиционного эмпиризма состоял в том, что математические понятия не существуют в отрыве от физических объектов, из которых они были получены посредством абстрагирования, и что именно акт абстрагирования участвует в создании чисел и фигур. В девятнадцатом веке Дж.С. Милль2 был основным разработчиком эмпиризма и, как следствие, мишенью для критики со стороны Фреге3. Помимо других основных возражений, Фреге оспаривал то, что числа являются свойствами множеств, выявляя

1H. Putnam, What is Mathematical Truth, уже цит.

2J.S. Mill, A System of Logic, 1842; итал. перевод Sistema di logica, под ред. M. Trinchero, Torino, Utet, 1988.

3G. Frege, I fondamenti dell'aritmetica, уже цит.

235

Философия математики: наследие двадцатого столетия

трудности такого понимания, прежде всего, для 1 и 0. Что же касается происхождения числа путем абстрагирования от различий объектов некоторого множества, то Фреге задавал вопрос, происходит ли сначала абстрагирование, а затем объединение в совокупность (в таком случае все различия исчезали бы, и объединение не могло бы дать в результате ничего, кроме одного единственного элемента), или сначала – объединение, а потом – абстрагирование, указывая при этом на трудность абстрагирования, к примеру, от всех взаимных различий между 1000 объектами без путаницы и потери счета. Кроме этого, если абстрагироваться, например, от объекта Луна, то могут быть получены различные понятия (спутник Земли, спутник вообще, небесное тело, не обладающее собственным свечением), но никогда не возникает число 1. Фреге с логической точки зрения оспаривал фундаментальный принцип эмпиризма, состоящий в том, что любое определение, кроме установления значения выражения, должно выражать некоторый факт, связанный с наблюдением. Спрашивается, с определенной долей иронии, какой физический факт соответствует определению числа

777.864?

Тенденция, связанная с эмпиризмом, в конце девятнадцатого столетия была более распространенной, чем об этом можно судить по работам, отмечающим одного единственного Милля. Это обстоятельство и оправдывает неистовство Фреге. Среди прочих – Паш4, который несмотря на его блестящие рассуждения по поводу формальных доказательств не был сторонником дедуктивизма. Он предложил некоторое построение арифметики, основанное на концепции предмета, простой идее, которая включает имена и события с отношением предшествования и прямого следования, что ведет к формированию концепции цепи событий и, следовательно, к натуральным числам. Паш также думал, что математика несовершенна по сути, за исключением случая наличия разрешимости некоторой теории.

4 M. Pasch, Grundlagen der Analysis, Leipzig, Teubner, 1909.

236

Эмпиризм

Эмпиризм Милля был вновь предложен в наши дни социологами науки5 для оспаривания априори и обнаруживается у всех тех, кто думает, что вычисления и доказательства должны пониматься как физические манипуляции. В общем, однако, эмпирист основывается на подобных конкретных действиях, но пытается обосновать скачок в сферу формального и символического как произведенный некоторой способностью, которая должна быть (если не дискредитированным абстрагированием, то достаточно близкой к нему) способностью видеть формы, или паттерны. Для социологов предел возможного – трансформация манипуляций в правила на основе общественного конвенционального одобрения.

Представителем радикального эмпиризма является Ф. Дэвис6, который утверждает, что нужно принимать к рассмотрению только способности людей как биологических животных и серьезно воспринимать тот факт, что всякая коммуникация и всякая мысль реализуется посредством обмена или использования материальных элементов.

Эмпирические соображения, следовательно, обязательны с самого начала символических манипуляций. Символы представляют собой материальные знаки, физические следы, пятна или вибрации, и два таких символа могут быть только квазитождественными. Манипулирование ими есть, следовательно, физический факт, подверженный всем неточностям, неопределенностям и даже, к счастью, статистическим закономерностям вселенной.

Среди положений некоторой математики, которая неизбежно становится платонистической, необходимо указать:

Аксиома 0. Могут быть созданы различные символы. Могут быть созданы копии некоторого данного символа. Символами можно манипулировать, их можно воспроизводить и соединять с абсолютной точностью. Сим-

5D. Bloor, Knowledge and Social Imagery, Chicago, Chicago Univ. Press, 1976 (19912); итал. перевод La dimensione sociale della conoscenza, Milano, Raffaello Cortina, 1994, гл. 5, 6. Смотри также G. Lolli, Beffe, scienziati e stregoni, уже цит.

6Ph.J. Davis, Fidelity in mathematical discourse: Is one and one really two?,

in «Amer. Math. Monthly», 79, 1972, n. 3, pp. 252–263, перепечатано в T. Tymoczko, New Directions, уже цит., с. 163–175.

237

Философия математики: наследие двадцатого столетия

волы могут быть распознаны как одинаковые или различные, по необходимости.

Платонист мог бы возразить, что Аксиома 0 не нужна, поскольку математика существует без необходимости материальной поддержки. Не платонист, в особенности, математик, знакомый с теорией передачи информации, возразит, что подобное утверждение – нонсенс. Мы выполняем все наши действия лишь с некоторой вероятностью успеха.

Подобная аксиома была действительно предложена в прошлом и явилась объектом ироничных выпадов Фреге. «Прелестный пример того, как даже математики могут спутать основы доказательства с ментальными или физическими условиями, которые должны быть удовлетворены в его представлении, можно найти у Э. Шредера. Под названием «Особая аксиома» он предлагает следующее: "Принцип, который я имею в виду, можно назвать Аксиомой символической стабильности. Она гарантирует, что в процессе наших доказательств и выводов символы останутся неизменными в нашей памяти или, что предпочтительно, на бумаге"»7.

Аксиома 0, по мнению Дэвиса, никогда не верифицирована, это некоторый неосуществимый идеал, в особенности, когда переходят к рассмотрению вычислений и доказательств. «Выведение теоремы или проверка доказательства имеют лишь вероятностную силу», и всякое знание имеет лишь вероятностный характер, с вероятностью, которая снижается при росте сложности объектов, с которыми ведется работа. Отсюда делается вывод, что «математика проявляет некоторые черты экспериментальной науки. Мы спасены от хаоса лишь благодаря стабильности универсума, который допускает повторяемость экспериментов и эффекты автокоррекции практики».

Новый математический эмпиризм, заявивший о себе в восьмидесятые годы, не заботится об обосновании абстрагирования. Он вообще ничего не хочет обосновывать, поскольку движим, прежде всего, антифундаменталистской интенцией. Характерным для него является упор на методологическую тождественность математики и других естественных наук. Он, однако, не доходит до экстремизма Дэвиса, хотя и зачисляет его в свои ряды.

7 G. Frege, I fondamenti dell’aritmetica, уже цит., с. 218.

238

Эмпиризм

Современный эмпиризм8 утверждает, что метод проб и ошибок, догадок и опровержений, исследования на ЭВМ, эмпирическая индукция, вероятностные выводы – одним словом, квазиэмпирические методы Патнэма достаточны для получения математических результатов, совершенно удовлетворяющих сообщество, которое должно их санкционировать.

Привлекательность этой позиции заключается в том, что она использует в качестве своих аргументов эпизоды математической практики, а не философские или логические домыслы. Такая очевидность понятна и близка математикам, следовательно, желанна, но в чем она убеждает – не ясно.

Базовый тезис состоит в том, что методы и, следовательно, тип истины, который присущ математическому познанию, того же самого рода, что и, соответственно, в случае эмпирических наук. В естественных науках, однако, «истинный» означает истинный на физический манер. Содержание же математических положений не состоит из сообщений о физических фактах, даже во внешне конкретном случае комбинаторики, где речь идет не о конкретных объектах, а о типах изоморфизма физических расположений (если только не принимать экстремальную позицию Дэвиса, но сам Патнэм допускает, что базовые единичные высказывания не являются «отчетами о наблюдениях» в обычном смысле наблюдений).

Понятие истины в математике не связано с фактами, а зависит от более абстрактных понятий. Впрочем, даже эмпирическая истина зависит не только от чувственного опыта, но и от того, как интерпретируется математическая (нередко весьма солидная) часть соответствующей теории. Патнэм представляет, однако, свой тезис как положение реализма. Реализм для него – единственная философия, которая не выставляет науку как чудо. Математический реализм опирается на интеграцию математики и физических наук, но мы уже видели в связи с натурализмом, что этому тезису, мягко

8 Наиболее важные работы R. Hersh, Some Proposals for Reviving the Philosophy of Mathematics, уже цит., P.J. Davis, R. Hersh, The Mathematical Experience, уже цит. Определенный критический разбор представлен в G. Lolli,

Dimostrazioni ed esperienza matematica, in Le ragioni fisiche e le dimostrazioni matematiche, уже цит., гл. XII.

239