Философия математики: наследие двадцатого столетия
рассмотрения одной и той же дедуктивной связи. Если тот, кто конструирует теорию, оказывает предпочтение предпосылкам, то он будет считать заключения истинными. Если он не доволен выводами, которые его разочаровывают или не соответствуют тому, что хотелось получить, он будет модифицировать предпосылки, которые посчитает ложными. В любом случае эти рассуждения об истинности и ложности проводятся в конце или, во всяком случае, после дедукции, они вовсе не являются априорными инъекциями истинностных значений.
В конечном счете, у Лакатоша нет определения квазиэмпирической теории. Угадывается лишь желание рассмотреть теории в процессе становления, когда еще не выкристаллизовалось множество несомненных начал теории, а проводятся опыты по возможным дедукциям, чтобы посмотреть, уместен ли некоторый выбор аксиом, отвечает ли он целям, для которых строится теория. Все это – просто здравый смысл и совсем не то, что обычно происходит при построении и развитии некоторой математической теории или разных теорий, если решается, что некоторые аксиомы сохранены для некоторого типа желаемых заключений, а другие должны быть заменены, если возникает желание получить другие выводы. До консолидации теории было бы вполне уместно говорить не об аксиомах, а, по-попперовски, о предположениях.
Отбрасывание фальсифицированных предположений, когда ложность передается назад, ставит проблему так называемых потенциальных фальсификаторов, проблему, которая существует и для всей философии Поппера. Увидим далее, чем эти потенциальные фальсификаторы могли бы быть для математики; конечно, они не являются просто изначальным решением отметить некоторые базовые высказывания как ложные.
Заметим также, что странно использовать термин «евклидовый» для теорий, названных так Лакатошем, то есть для чего-то такого, что к математике не должно бы иметь никакого отношения начиная с момента, с которого «вся математика – квазиэмпирическая». Тогда и теория Евклида – не математика. В действительности «исследования по основаниям математики неожиданно приве-
230
Фаллибилизм
ли к выводу, что некоторая, в духе Евклида, реорганизация математики как единого целого может быть невозможной, что, по крайней мере, наиболее богатые математические теории являются, будучи научными теориями, квазиэмпирическими».
Это замечание является, вероятно, намеком на теоремы о неполноте, но направлено оно против возможности единой и окончательной теории, которая охватила бы всю математику. Речь идет о вопросе, отличном от вопроса евклидовой организации отдельных теорий. Неполные теории типа арифметики, однако, в силу их неполноты, не станут квазиэмпирическими по Лакатошу, поскольку ни одна их аксиома не фальсифицируется.
Хотелось бы понять суть оценки, данной усилиям стольких математиков по приданию евклидовой организации, то есть, по всей видимости, нематематической, своим теориям. Возникает подозрение, что Лакатош говорит не о математике, а о методологии математики. В действительности именно так и есть. Он считает аксиоматизацию теорий ошибочным методологическим императивом, который, вероятно, мог бы быть вытеснен. По существу, по мнению Лакатоша, успехов у аксиоматизации мало и они незначительны, только теория групп достойна сохранения.
С другой стороны, он описывает также типичную эволюцию евклидовых теорий в терминах, которые осциллируют между историческим и идеологическим:
Развитие евклидовой теории происходит в три стадии. Первый этап – донаучная фаза проб и ошибок, которая составляет ее предысторию. За ним следует период поиска оснований, который реорганизует дисциплину. Отбрасываются сомнительные ответвления, устанавливается дедуктивная структура надежного ядра. После чего остается лишь решение задач внутри системы, представленное, прежде всего, доказательством или опровержением интересных предположений. [Открытие] некоторого универсального метода решения для теории может целиком исключить эту стадию и завершить развитие теории.
Квазиэмпирическая математика, наоборот, представляет собой перманентный кругооборот смелых догадок, конкурирующих
231
Философия математики: наследие двадцатого столетия
теорий, критики, опровержений (вся терминология – попперовская). Она никогда не достигнет стадии формализации (второй стадии). Или не должна бы достичь ее, поскольку в действительности «вплоть до сегодняшнего дня ни одна неформальная математическая теория не смогла избежать формализации» (по причине плохой методологии). Причины этого большого коллективного самообмана не ясны. Остается только факт, что квазиэмпирическая математика в итоге несмотря на свое положение, казалось бы, истинной математики, существует лишь во временных и нестабильных формах.
Лакатош сознавал тот факт, что слабым местом его методологии, оставляя в стороне реальную историю, являются потенциальные фальсификаторы. В естественных науках это факты или протокольные высказывания, которые превалируют над некоторой теорией в том смысле, что при наличии расхождений между ними и предсказаниями теории факты (впрочем, всегда нагруженные теорией) имеют больший вес. Могли бы быть ими также другие теории, менее рискованные или с большим эмпирическим содержанием, но совсем не просто определить эти концепции без нового погружения в проблематику эмпиризма. Проблема их определения, к тому же, имеет подлинно драматический характер, поскольку «не следовало бы легко уступать фаллибилизму» и «как можно серьезно относиться к фаллибилизму без серьезного отношения к возможности фальсификации?»
Лакатош безуспешно пытался указать в качестве примеров потенциальных фальсификаторов арифметические высказывания, на основе которых принимаются или отвергаются сильные аксиомы бесконечности, опираясь на размышления Гёделя по этому поводу. Тот факт, что аксиомы бесконечности влияют на элементарную арифметику, может быть использован только для решения вопроса об их принятии или отклонении, и здесь не видно какогото конфликта теорий.
232
Фаллибилизм
Нет примеров математических теорий, противостояние которых было бы разрешено некоторым фальсификатором, как это происходит в случае физических теорий. Скорее случается так, что обе теории продолжают жить сами по себе. В случае аксиом бесконечности, на основе следствий из них, которые выглядят весьма привлекательными, они могут быть скорее приняты, чем отброшены. Естественно, отклоняется их отрицание, а смелой догадкой является позитивная аксиома существования нового большого множества, которая принимается, а не опровергается.
Лучшим описанием гипотетического потенциального контрпримера, которое Лакатошу удается дать, является следующее. Предположим, что после аксиоматизации некоторой теории не может быть предложен ни один контрпример (если только теория непротиворечива), который мог бы быть сам формализуем в языке этой теории. Тогда возможный контрпример может прийти только из неформального рассмотрения предмета, для систематизации которого и предлагается теория. Имеются подобные примеры, когда теория находится в фазе становления или на первом этапе развития евклидовых теорий. Так происходит, когда математизации подвергается некоторая неформальная концепция. Тогда некоторое неформальное высказывание может быть фальсификатором предварительной теории.
Эпизоды такого типа в действительности случаются часто и известны в истории математики. Лакатош не упоминает об этом, но случай теории вероятностей представляет собой богатый источник подходящих примеров.
Такая предварительная стадия поиска, несомненно, более интересна и захватывающа, нежели другие, спокойные или оторванные от содержательной системы фазы. Хотя и они не лишены полных приключений моментов, только хотелось бы наблюдать и анализировать их в соответствующих терминах вместо того, чтобы налагать на них методологию, заимствованную из других наук. Представляется, во всяком случае, не совсем удачным утверждать, что такая красивая и значимая теория, как теория групп (которую Лакатош ценит, но признает, что для нее не существуют потенци-
233
Философия математики: наследие двадцатого столетия
альные фальсификаторы), не является математикой на основе методологической установки, утверждающей, что математика должна быть квазиэмпирической.
234