Материал: Lolli_Filosofia_matematiki-1
Философия математики: наследие двадцатого столетия
ских5. То же самое можно сказать в отношении теоремы Дезарга. Это обстоятельство не ведет с необходимостью к конвенционализму в отношении аксиом. Для сторонника дедуктивизма важна сложная система возможных логических отношений, а не их конкретный и простой однонаправленный поток.
Как результат, дедуктивизм находится сейчас в неустойчивом равновесии. Тот, кто его исповедует, рискует, с одной стороны, смешаться со структуралистами, если предпочитает работать в семантических терминах, а с другой – с формалистами, если сосредоточивается на формальной дедуктивной практике.
Всем этим дедуктивизм доставляет беспокойство многим, несмотря на свои внешне скромные претензии. Они, на самом деле, включают положение, что в математике не приняты выводы не дедуктивные, и это не нравится ни реалистам, ни натуралистам, и еще больше – эмпиристам, как мы скоро увидим. Тезис дедуктивизма подразумевает, что математическое знание не зависит от веры и от социальной практики и, в частности, защищено от эмпирически мотивированных ревизий.
Сдругой стороны, если математика должна оставаться наукой, то для тех, для кого она должна оставаться в этом статусе, математика должна предоставлять возможность для ее пересмотра. Но поскольку является фактом то, что математические теоремы представляют собой логически истинные условные предположе-
ния, свободные от любых контрпримеров, то возражения ориентированы в направлении, описанном ниже6.
Содной стороны, отрицается, что логика (или одна из логик) способна охарактеризовать и обеспечить правила для образования утверждений логической необходимости и логической выводимости. Если, к примеру, необходимость означает истинность во всех интерпретациях, то определение было бы круговым, некоторой фразой теоретико-множественной семантики, то есть математическим. С другой стороны, сама логика не освобождена (или: нельзя предположить, что она освобождена) от эмпирически мотивированных ревизий, так как существуют разные типы логики и разные
5Ph.J. Davis, The Education of a Mathematician, уже цит., с. 62–66.
6См. M.D. Resnik, Mathematics as a Science of Patterns, уже цит., гл. 8.
220
Дедуктивизм
предложения по использованию альтернативных логик, каковы, например, интуиционистская или квантовая.
Эти замечания не учитывают результат стабильности, который является следствием совместного действия теорем о корректности и полноте и был отмечен Г. Крейзелем (Georg Kreisel)7. Теорема о корректности не зависит от какой-либо характеристики понятия интерпретации (теоретико-множественной или нет), но только от рекурсивного определения выполнимости8. Отсюда следует, что если понятие интерпретации должно быть модифицировано так, что расширяется собственно область теоретикомножественных интерпретаций, и тем более, если она сужается, то понятие логической истины остается тем же самым. Трудно пока представить какое-то другое понятие интерпретации, которое не включало бы ныне существующие. Нельзя, естественно, исключить, что в будущем не возобновятся поиски интенсиональных определений логических понятий и что придется, пожалуй, отбросить рекурсивность, но ничто на горизонте, кажется, не предвещает этого.
7G. Kreisel, Informal rigour and completeness proofs, in Problems in the Philosophy of Mathematics, под ред. I. Lacatos, Amsterdam, North Holland, 1967, pp. 138–171.
8Речь идет о рекурсивном определении, в котором выполнимость некоторой формулы определяется выполнимостью составляющих формул в зависимости от главной логической операции.
221
Философия математики: наследие двадцатого столетия
222
Фаллибилизм
12. ФАЛЛИБИЛИЗМ
Этим названием обозначим философию И. Лакатоша, философию целиком личностную, но которая заслуживает отдельной главы из-за широкого влияния, хотя и непрямого, которое она оказала. Можно было бы поместить ее в разделе эмпиризма, посколь-
ку именно работа Лакатоша Доказательства и опровержения1 да-
ла один из начальных импульсов этому новому течению. Философия Лакатоша стала первой философией новой математики из тех, которые хотели дать альтернативу по отношению к фундаменталистским школам, окончательно оформившимся в тридцатые годы, и к бурбакизму, связанному с этапом математики, который в семидесятые годы уже исчерпывал себя. Лакатош, однако, не вдохновлялся нарождающейся математикой.
Лакатош был последователем методологии К. Поппера. Фальсификационизм Поппера резюмируется в тезисе, что некоторая теория является научной только в той мере, в какой является фальсифицируемой. Чтобы быть научной, теория должна давать предсказания, которые можно проверить таким образом, что, по крайней мере, один из априорно возможных исходов проверки, если был бы реализован, мог бы опровергнуть теорию, фальсифицируя предсказание. Для Поппера научный прогресс был продуктом состязания теорий или смелых, если не сказать рискованных, гипотез, выдвинутых для решения проблем, но таких, которые можно было бы в принципе опровергнуть в соответствии с принципом
1 I. Lakatos, Proofs and Refutations, Cambridge, Cambridge Univ. Press, 1976, сначала опубликована в четырех частях в The British Journal for the Philosophy of Science, 14, 1963–1964; итал. перевод Dimostrazioni e confutazioni, Milano, Feltrinelli, 1979; рус. перевод Лакатос И. Доказательства и опровер-
жения: как доказываются теоремы. Пер. с англ. – М.: Наука, 1967. ( – прим.
переводчика). О Лакатоше см. S. Feferman, The logic of mathematical discovery vs. the logical structure of mathematics, in PSA 1978, под ред. P.D. Asquith, I. Hacking, vol. II, East Lansing, Michigan, Philosophy of Science Association, 1981, pp. 309–327.
223
Философия математики: наследие двадцатого столетия
фальсифицируемости. Вдохновение Лакатоша, как и название его работы, обязано книге Поппера Предположения и опровержения2.
Лакатош объясняет свое намерение во введении к работе, начиная со следующего резонного и не вызывающего возражений замечания, весьма редкого в своей корректной оценке гильбертовой математики:
Часто случается в истории мысли, что при появлении нового мощного метода быстро выдвигается на авансцену изучение задач, которые этим методом могут быть решены, в то время как остальное игнорируется, даже забывается, а его изучением пренебрегают.
Именно это как будто произошло в нашем веке в области философии математики в результате стремительного развития метаматематики. Объектом метаматематики является такая абстракция математики, в которой математические теории заменяются формальными системами, доказательства – некоторыми последовательностями формул, определения – «стенографическими уловками», которые «теоретически необязательны», но «типографически удобны». Эта абстракция была придумана Гильбертом, чтобы получить мощную технику для изучения некоторых проблем методологии математики. С другой стороны, существуют проблемы, которые выпадают из рамок метаматематической абстракции. Среди них имеются задачи, относящиеся к неформальной (нем. inhaltlich3) математике и ее развитию, и все проблемы ситуационной логики решения математических задач.
Нельзя было бы сказать лучше. Казалось бы, после этого уравновешенного изложения достоинств и ограничений метаматематики Лакатош должен был предложить ее интеграцию с какимто новым мощным методом для изучения проблем, остающихся вне ее компетенции. Вместо этого, сразу же, он обращается с метаматематикой, которую называет главной «школой математической философии», как с формализмом, то есть с позицией, которая «стремится отождествить математику с ее формальной аксиомати-
2K. Popper, Conjectures and Refutations, London, Routledge&Kegan Paul, 1969; итал. перевод Congetture e confutazioni, Bologna, Il Mulino, 1972; рус.
перевод Предположения и опровержения в книге Поппер К. Логика и рост научного знания: избранные работы. Пер. с англ. М.: Прогресс, 1983. ( –
прим. переводчика.)
3Посодержанию, сточкизрениясодержания(нем. – прим. переводчика).
224