Материал: Lolli_Filosofia_matematiki-1

Фаллибилизм

ческой абстракцией (а философию математики – с метаматематикой)».

Вначале он корректно утверждал, что в метаматематике теории заменяются формальными системами, а не отождествляются с ними, и что это так с учетом их (систем) подчинения формальным методам. Метаматематика даже в первоначальном гильбертовом смысле свободна от формалистских обязательств относительно природы математики и не претендует на то, чтобы исчерпать философию математики. А. Робинсон, к примеру, в пятидесятые годы предлагал расширение самой первичной метаматематики при помощи инфинитарных методов4.

Совершив такой пируэт, Лакатош начинает бороться с формалистской философией, сетуя на узкий спектр вопросов, которые она принимает как допустимые, и отмечая ее негативное влияние как на философию, так и на историю математики. Среди прочих недостатков, «в формалистской философии не остается места для такой методологии, как логика открытия». Он предлагает обогатить методологию математики проблематикой, близкой к той, которая рассматривается в эвристике Пойа или в логике открытия Поппера, которую называет «ситуационной логикой».

Скромная цель [этой работы] состоит в разработке идеи, что неформальная (квазиэмпирическая) математика развивается не через монотонное возрастание количества несомненно доказанных теорем, а через непрерывное улучшение догадок при помощи критики и умозрения, при помощи логики доказательств и опровержений.

Лакатош углубляется, таким образом, в свой знаменитый анализ теоремы Эйлера о многогранниках, то есть формулы V –

– E + F = 2, которая связывает V – число вершин, Е – число ребер (англ. edge), и F – число граней. Анализ приобретает форму «рациональной реконструкции» начиная с первого доказательства О. Коши посредством выдуманной пылкой дискуссии в классе между учителем и учениками, в то время как реальная история вынесена в примечания.

4 Лакатош, естественно, в поддержку своего изложения находит подходящие цитаты из образчиков формализма, к примеру, из Карнапа.

225

Философия математики: наследие двадцатого столетия

Дискуссия вводит много интересных концепций, полезных для анализа математической аргументации: локальный и глобальный контрпримеры, неявные гипотезы, расширение понятий (англ. concept stretching), мысленные эксперименты, сведение результата, который необходимо доказать, к ряду других результатов, которые относятся к разным областям знания. Case study5 Лакатоша заслуженно пробудил интерес и внимание к построению неформальных доказательств. К сожалению, нет возможности проследить все это в деталях. Необходимо только предостеречь, что читать его книгу нужно критически и с хорошей предварительной подготовкой, поскольку в тексте присутствуют сильные утверждения в поддержку позиции автора, которые являются голословными и безосновательными. Например, его вывод, что доказательства вида доказательства Коши никогда не удалось бы провести формально, так как в процессе доказательства, среди прочего, используются такие физические понятия, как растяжимые резиновые поверхности. Подобный аргумент неубедителен и сбивает с толку. Он затемняет основной вектор развития математики. Использование подобных физических концепций в математической аргументации является не чем иным, как первым проблеском возможной новой, еще не сформулированной математической теории относительно обсуждаемого феномена. В данном случае совершенно понятно, что речь идет о топологии. Никогда не говори «никогда». Древние греки умели физически решать уравнение x2 = 2, проводя диагональ единичного квадрата. Какой-нибудь Λακατοσ сказал бы тогда, что это уравнение никогда не будет решено в числах.

И из методологии Лакатоша также следует ответ на вопрос, что такое математика. Чтобы понять его, нужно исследовать значения используемых терминов. Читатель, вероятно, никогда не встречал термин «квазиэмпирический». Можно спросить кроме того, куда ведет, по мнению Лакатоша, и на что нацелено развитие неформальной математики. Не на формальную математику, как легко предположить. Вероятно, с его точки зрения, математика навсегда останется неформальной, и истинная математика никогда

5 Исследование конкретного случая или конкретной проблемы (англ. – прим. переводчика).

226

Фаллибилизм

не является формальной, если формализм должен быть опровергнут.

В другой своей работе6 Лакатош прямо поднимает подобные вопросы и проводит границу между евклидовыми теориями и теориями квазиэмпирическими:

Возможно, наилучшим способом охарактеризовать квазиэмпирические теории в противовес евклидовым является следующий. В некоторой дедуктивной системе назовем «базовыми высказываниями» те суждения, которым изначально были приданы истинностные значения, и «истинными базовыми высказываниями» – подмножество тех, которые получили значение истины. Система будет евклидовой, если она является [дедуктивным] замыканием своих базовых высказываний, которые признаны истинными. В противном случае она является квазиэмпирической.

…

Некоторая евклидова теория может с полным основанием считаться истинной. Квазиэмпирическая теория, самое большее, – хорошо подтвержденной, но всегда предположительной. Кроме того, в евклидовой теории истинные базовые высказывания, которые находятся на вершине дедуктивной системы (и обычно называются «аксиомами») доказывают, в некотором смысле, остальную часть системы. В квазиэмпирической теории (истинные) базовые высказывания объясняются остальной частью системы.

Является ли некоторая дедуктивная система евклидовой или квазиэмпирической, определяется направлением течения истинностных значений внутри системы. Система будет евклидовой, если характерное течение представляет собой передачу истины от множества аксиом «вниз» к остальной части системы. Логика в этом случае – инструмент (органон) доказательства. Система будет квазиэмпирической, если характерное течение – обратная передача ложности от ложных базовых высказываний «вверх» в направлении «гипотез». Логика в этом случае – органон критики.

…

Некоторая теория, являющаяся квазиэмпирической в вышеуказанном смысле, может быть как эмпирической, так и неэмпирической в обычном смысле этого термина. Эмпирической она может быть только в том случае, если базовые теоремы – пространственно-временные сингулярные базовые высказывания.

6 I. Lakatos, A renaissance of empiricism in the recent philosophy of mathematics, in I. Lakatos, Philosophical Papers, 2 voll., Cambridge, Cambridge Univ. Press, 1978, перепечатано в T. Tymoczko, New Directions, уже цит., с. 29–48.

227

Философия математики: наследие двадцатого столетия

Последняя фраза – уточнение термина «квазиэмпирический», которое показывает, что «квази» не намекает на аппроксимацию, не означает, что математика приближается к тому, чтобы стать эмпирической, а пересылает к другим критериям классификации. Являются ошибочными представления о доктрине Лакатоша7, в соответствии с которыми он «не утверждает, что математика есть собственно эмпирическаянаука, самоебольшее– квазиэмпирическая».

Ослабление, подсказанное фразой «самое большее», сбивает с толку. Лакатош хочет сказать, что математика не является априорной и абсолютной, и в процессе этого меняет значение термина «эмпирический», чтобы не ввязываться в старые и бесплодные дискуссии, как это делал его учитель в отношении верифицируемости. «Фаллибилизм» – термин, использованный Лакатошем для подчеркивания научного характера (англ. science-likeness) математики, то есть того, что математическое и в целом научное познание – одного и того же типасточкизренияпопперовскойметодологии.

В приведенном выше отрывке, к сожалению, присутствуют различные смешения. Прежде всего, математическая теория представлена как дедуктивная система – способом, который нельзя назвать революционным. В этом математик сможет узнать свои объекты. Уже меньше он может узнать их в передаче истинностных значений некоторым высказываниям – операции, которая никогда не выполняется. Самое большее, что происходит – некоторые высказывания негласно предполагаются истинными. Но они рассматриваются таковыми, поскольку были выбраны в качестве аксиом, а не наоборот. Предположение их истинности означает лишь, что в дальнейшем будут исследоваться их следствия, и в соответствии со свойствами материальной импликации нет необходимости полагать их ложными (в интерпретациях, в которых они ложные, импликация продолжает иметь истинное значение). То, что никогда не наблюдалось в действительности, – так это присвоение ложного значения каким-то высказываниям.

7 Как, например, у Tymoczko в New Directions, уже цит., с. 29.

228

Фаллибилизм

Дедуктивное замыкание некоторого множества аксиом названо евклидовой теорией, а квазиэмпирическая теория – не евклидовой. Однако существует много вариантов не быть дедуктивным замыканием некоторого множества аксиом. К примеру, система может не быть замыканием, то есть быть сильно неполным множеством высказываний несмотря на возможность добавить туда теоремы. В этом случае, однако, отсутствующее замыкание есть лишь исторический момент, в действительности присущий всем существующим теориям. Замыкание понимается всегда в потенциальном смысле и никогда – в актуальном. Может ли существовать на самом деле система, в которой некоторые высказывания помечены как ложные и все-таки использованы как предпосылки в каком-то доказательстве? Могла бы (их отрицания были бы помечены как истинные), но никогда не наблюдалась, и в ней не видится смысла.

Далее Лакатош изъясняется лучше. Ложные высказывания не являются предпосылками, вероятно, они – заключения. Не понятно тогда однако, как происходит, что они изначально помечаются как ложные. Не понятно также, что такое гипотезы, от которых в обратном направлении передается ложность. Это не могут быть аксиомы, которые истинны. Тогда что это?

Возможно, Лакатош хочет сказать своей патетической, но запутанной прозой, что иногда при выводе получаются результаты, которые не нравятся, которые оказались не теми, что ожидались, или не соответствуют роли, которую теория должна была играть. Объявим их кратко ложными, и тогда ясно – этот акт передается назад к аксиомам, которые будут объявлены ложными и тогда заменены. А вот отмеченное Лакатошем различие между ходом вниз передачи истины и ходом вверх передачи ложности не имеет смысла. Положив, что система является дедуктивной и связь между высказываниями является дедуктивной, надо признать, что связь между предпосылками и заключениями будет единственной. Предпосылки влекут за собой заключения. Логика учит, что отрицание следствия влечет отрицание какой-то из предпосылок. Логика остается логикой. Если хочется выразить этот классический логический закон (закон контрапозиции) в семантических терминах, заявляя, что ложность заключения влечет ложность одной из предпосылок, то это допустимо, но это два эквивалентных способа

229