Материал: Lolli_Filosofia_matematiki-1

Философия математики: наследие двадцатого столетия

выражаясь, чего-то недостает, если говорить о существовании математических объектов.

Если вынести за скобки проблему истины, то остается математическая практика. Одно из ее актуальных направлений – эксперименты, проводимые на ЭВМ. Сказать «эксперимент» – все равно, что произнести «эмпирическая наука». Публикуются многочисленные книги и отчеты со словами «эксперименты», «лаборатория», «исследование» в названиях9. Отдельный журнал «Journal of Experimental Mathematics» издается с целью исследовать, «как можно использовать ЭВМ для изучения проблем, которые можно решать вычислительно, а по-другому – нет… Мы взяли за образец физиков-экспериментаторов, то, как они верифицируют свои результаты, как обеспечивают надежность полученных данных…, как сообщают свои озарения [insights]»10.

При наиболее взвешенном подходе к вычислительным экспериментам они рассматриваются как нацеленные на формулировку предположений, на наблюдение и идентификацию явлений и закономерностей, которые затем требуют своего объяснения. Даже computer exploration of concepts11 возвратилось бы в рамки тради-

ционной деятельности, поскольку математические идеи не рождаются уже готовыми, а всегда требуют изучения перед тем как примут форму некоторого строгого определения.

Имеются, однако, и те, кто считает, что исследования на ЭВМ и выдвижение предположений могли бы оказаться достаточными и для морального удовлетворения, и как самодостаточный признанный вклад в развитие математики. Они предлагают рассматривать его как предпочтительный, если не эксклюзивный, по отношению к последующему доказательству, проводимому скорее ради при-

9Без претензий на полноту охвата в качестве типичных примеров, отдав должное U. Grenander, Mathematical Experiments with the Computer, New York, Academic Press, 1982, с программами на языке Ада, что относится к предыс-

тории, отметим E. Maycock Parker, Laboratory Experiences in Group Theory, Washington D.C., MAA, 1996; Exploring ODES with Modern Technology, Washington, MAA, 1999.

10J. Borwein, P. Borwein, R. Girgensohn, S. Parnes, Making sense of experimental mathematics, in «The Mathematical Intelligencer», 18, 1996, n. 4, pp. 12–18.

11Компьютерное исследование концепций (англ. – прим. переводчика).

240

Эмпиризм

знания учёным цехом12. По мнению Патнэма, к примеру, если бы гипотеза Римана была проверена в огромном числе случаев при помощи ЭВМ (что на самом деле имеет место), то можно было бы

сказать, что она верифицирована и, вероятно, может быть спокойно признана13.

Осведомленный свидетель, однако, оспаривает это14:

На сегодняшний день гипотеза [Гольдбаха] проверена (H.J.J. de Riele, J.-M. Deshouillers) для всех четных чисел m ≤ 1013. Имеется, кроме того, доказательство Чена (J.-R. Chen), упрощенное Россом (P.M. Ross), что любое достаточно большое четное число m может быть представлено как сумма p + q, где p – простое число, а q – квазипростое, в том смысле, что q – или простое, или произведение двух простых чисел. При всей этой достоверной убедительности, однако, ни один математик не скажет, что гипотеза, следовательно, верна для всех m.

Одна из тысячелетних прописных истин гласит, в действительности, что15

12 Подобное недвусмысленное предложение было сделано в A. Jaffe, F. Quinn, Theoretical mathematics: Toward a cultural synthesis of mathematics and theoretical physics, in «Bulletin AMS», 29, 1993, pp. 1–13, с дальнейшей дискуссией ibidem, 30, 1994, pp. 178–211. Смотри обсуждение в G. Lolli, Le dimostrazioni: sono ancora necessarie?, in XXXVII Olimpiadi di Matematica, Milano, AgipPetroli, 1997, pp. 87–103 и в G. Lolli, Morte e resurrezione della dimostrazione, in «Le Scienze», 1997, n. 345, pp. 50–57.

13Отвлекаясь от эмпирических индуктивных выводов и аналогий, проиллюстрированных примером, вновь взятым у Эйлера, в целом, Патнэм использует термин «квазиэмпирический» достаточно вольным образом для обозначения любого недедуктивного шага в построении математики и приводит в качестве примера историю разработки оснований, которые привели к аксиомам теории множеств. Примеров недедуктивных аргументов при выборе аксиом можно найти сколько угодно, так как выбор группы аксиом – решение, всегда обусловленное историей или ситуацией. Аксиомы, конечно, не могут быть выведены. Самое большее, рассматриваются их дедуктивные следствия. Что же касается теории множеств, следует напомнить, что Цермело использовал именно аргумент необходимости по поводу их дедуктивной адекватности с точки зрения потребностей математической науки (отнюдь не, по-холистски, всей науки).

14J. Rotman, Journey into Mathematics, Upper Saddle River, N.J., Prentice-

Hall, 1998, p. 4.

15 M.D. Resnik, Mathematics as a Science of Patterns, уже цит., с. 138.

241

Философия математики: наследие двадцатого столетия

Исключительной чертой математики является то, что пока представляется возможным доказать (или опровергнуть) некоторую гипотезу, математики будут рассматривать ее как открытую проблему, даже когда в соответствии с критериями естественных наук недедуктивная очевидность результата (или его отрицания) неопровержима.

Эмпиризм, однако, подпитывает позиции, отмеченные выше, и сам подпитывается ими, и позиционируется, таким образом, вне всяких традиций16. Основной вывод, который можно сделать при обсуждении точки зрения эмпиризма, заключается в том, что математика должна быть искусно изувечена посредством устранения доказательств, которые не входят в схему эмпирических исследований, что еще сильнее, чем ущерб от платонизма. С точки зрения эмпиризма строгое доказательство, которое признается через процедуру его формальной презентации, рассматривается как наследие эпохи, когда умы были затуманены фундаментализмом, то есть идеей абсолютной истины. Настоящая же математическая деятельность – другая. В лучшем случае доказательства играют техническую роль как часть фальсификационистского процесса попперовской стратегии предположений и опровержений, как это было у Лакатоша, или же остаются как полезное вспомогательное средство, когда это возможно, для достижения истины неспешным, но, по сути, без риска, способом. По мнению Патнэма, достоинство доказательств как инструмента познания состоит в том, что они не повышают риск противоречий. Поэтому именно эксперименты вводят новые рискованные и потому интересные истины. С такой программой эмпиризм является неприемлемой философией, если он не в состоянии уловить связи, которые, конечно, имеются и позволяют интегрировать функции экспериментов и доказательств17.

Для обоснования положений эмпиризма не нужна философская аргументация, нужны подтверждения со стороны практики и

16Имеется в виду, конечно, эмпиризм в философии математики. – Прим. научного редактора.

17Начальные указания для программы подобных исследований имеют-

ся в G. Lolli, Esperimenti e dimostrazioni, in Educazione matematica e sviluppo sociale, под ред. N.A. Malara, Soveria Mannelli, Rubbettino, 2001, p. 85–128.

242

Эмпиризм

истории, которые берутся в нескольких показательных примерах, если и не очень редких, то всегда миноритарных. Вся современная математика, евклидова математика Лакатоша, кажется тогда одной большой иллюзией и бесполезно потраченной работой, каким-то love’s labour lost18 по проведению доказательств, с некоторыми, весьма ограниченными, случаями эмпирических сценариев, которые следует пересмотреть заново и переоценить.

Примеры заимствуются у Эйлера, к которому возвращаются все те, кто отстаивает превосходство эмпирических или эвристических нестрогих методов в самом сердце математики. Лакатош поставил в центр дискуссии теорему о многогранниках. Патнэм и Штайнер19 используют один и тот же эйлеровский пример о значе-

нии ряда обратных квадратов. Оба взяли его в действительности у Д. Пойа20.

Доказательство в данном случае в основном базируется на смелой аналогии между рядами и многочленами за счет их разложения на линейные множители и на эмпирическом подтверждении, что эта аналогия дает результат, численно проверяемый с высокой степенью точности, и обеспечивает также другие правдоподобные результаты или подтверждает уже имеющиеся, полученные другим допустимым способом (в отличие, необходимо напомнить, от других аналогий между рядами и полиномами, которые оказались, напротив, опасными, как, например, распространение ассоциативности с известными парадоксами в отношении рядов).

Патнэм и Штайнер забывают, однако (в отличие от Пойа), окончание этой истории. Без сомнения Эйлер, на основании численных результатов и некоторых других следствий своего метода, был глубоко убежден в силе примененной аналогии. «Для нашего метода, который может некоторым показаться недостаточно надежным, здесь обнаруживается великое подтверждение [сумма

18Напрасный бескорыстный труд (англ. – прим. переводчика).

19M. Steiner, Mathematical Knowledge, уже цит., с. 103–107.

20G. Polya, Mathematics and Plausible Reasoning, vol. 1: Induction and Analogy in Mathematics, Princeton, Princeton Univ. Press, 1954, p. 17–22; рус.

перевод Пойа Д. Математика и правдоподобные рассуждения. Пер. с англ.

М.: Наука, 1975. – прим. переводчика.

243

Философия математики: наследие двадцатого столетия

знакопеременного ряда величин, обратных нечетным числам, – знаменитого ряда Лейбница]. Поэтому мы совершенно не должны сомневаться и в других результатах, выведенных тем же методом». Однако, что тоже правда, Эйлер продолжал сомневаться, проверял свои результаты вновь и вновь, пока не нашел доказательство сложное, но допустимое по канонам того времени 21.

Даже термин «квазиэксперименты» взят у Эйлера, вероятно, через Пойа (несомненно, Лакатошем). Именно работам Пойа обязан вновь возникший повышенный интерес к методам Эйлера. Его том Индукция и аналогия в математике начинается цитатой из работы Эйлера 1756 года под названием Specimen de usu observationum in mathesi pura, которая подтверждает не только наличие нестрогих сценариев в развитии математики, но также их многочисленность и, прежде всего, их присутствие в сознании математиков, которые всегда с готовностью принимали и счастливо разрешали проблему интеграции таких сценариев с доказательством22. В этой работе Эйлер заявляет, что доказательство предположений, к которым пришли при помощи эмпирической индукции, нужно не только для устранения всех сомнений, но для того, чтобы поднять на новый уровень наше «познание чисел». И при оценке его полезности нужно рассматривать не только внешние приложения, но также и внутренние применения к самому процессу организации мышления.

Эйлер не одинок в своем подходе к развитию математики. Другие математики, великие и не очень, также использовали эмпирическую индукцию в своей работе. Гаусс заявлял, что получал свои результаты при помощи систематического экспериментирования. «Все же в одном отношении Эйлер кажется мне [Пойа] единственным: он старается изложить относящиеся к вопросу индуктивные доводы заботливо, в деталях, в четком порядке. Его изложение является «чистосердечным изложением идей, привед-

21Ibidem, p. 21.

22Для более углубленной дискуссии смотри G. Lolli, Esperimenti e dimostrazioni, уже цит.

244