Материал: Lolli_Filosofia_matematiki-1

Философия математики: наследие двадцатого столетия

торами для того, чтобы поддержать тезис о том, что эмпирический элемент присутствует всегда. Можно выделить следующие два подхода.

Э. Сварт (Edward Swart) утверждает, что эмпирический элемент доказательств скрывается в том факте, что их принятие и одобрение носит социальный характер и подвержено разнообразным социальным процессам проверки. В этом смысле, если говорить о компьютерных доказательствах, его забота – показать, что и они тоже могут быть подчинены, и так оно и есть, тем же самым процессам (с изменениями стратегии, алгоритма, программы, машины независимым образом), и тогда нет никакой существенной разницы по сравнению с доказательствами «ручной работы». Если ошибки, возникновения которых так боятся, представляют собой опечатки или недосмотры по рассеянности, или сбои в работе, то такое случается и с проверяющими людьми. Если же речь идет о логических ошибках, то предполагается, что имеется, в любом случае, какой-то критерий логической корректности. Ошибки, если они есть, возникают в программе и могут быть найдены, в том числе весьма рафинированными методами.

По мнению Сварта, в определении a-priori у Тымочко смешаны два понятия: с одной стороны, понятие истины, имеющей силу всеобщей и необходимой, с другой – истины, независимой от ощущений органов чувств, с предпочтением этому второму значению32. Зеркальные проблемы возникают в связи с определением a- posteriori и, следовательно, касаются понятия эксперимента. Истины a-posteriori могут требовать экспериментов, поскольку, по крайней мере, в соответствии с некоторым возможным значением они не обязательно являются истинными во всех возможных мирах. Эксперименты для этого типа истины касаются физических качеств. Если же проводятся эксперименты для верификации истин a-priori, то они касаются чисел и логических символов, а не физических элементов.

32 Другие утонченные дискуссии по поводу разнообразных значений a-priori присутствуют в S.J. Wagner, Logicism, уже цит., в сопоставлении с Китчером (Kitcher).

250

Эмпиризм

Сварт предлагает определять «a-priori» как истину, сила которой в принципе может быть установлена без обращения к реальному физическому эксперименту. Мы можем быть обязаны проводить эксперименты для познания истин a-priori. Под «в принципе» понимается то, что при необходимости обрабатывать совокупность данных, слишком большую, чтобы она смогла бы уместиться в нашей голове, некоторая «большая голова» (компьютер) может сделать все это внутри самой себя. Приемлемость подобного использования термина «в принципе», очевидно, связана с тезисом о сильном искусственном интеллекте (со всеми вытекающими трудностями).

Другие, как М. Детлефсен (Michael Detlefsen), встают на сторону Дэвиса: невозможно проводить ни доказательства, ни расчеты, ни (можно продолжить) какую-либо другую интеллектуальную деятельность без обращения к чувственному опыту в физическом мире, следовательно, «нет никакого различия в том, что инструментом вывода или проверки был бы человек или машина»33.

Дискуссия по поводу теоремы о четырех красках важна, поскольку является уникальной философской дискуссией, спровоцированной компьютером в отношении математики в узком смысле. Прочие дискуссии по понятным причинам касались искусственного интеллекта.

Дискуссия не исчерпывается лишь этими участниками, которые, очевидно, остаются каждый при своем мнении. Она порождает определенную широко разделяемую или, по крайней мере, повторяемую на протяжении многих лет эмпиристскую мораль, которую можно резюмировать таким образом34.

Математическая практика полна расчетов (и доказательств), понимаемых как физические процессы манипуляции символами. В каждом изложении имеются пропущенные переходы и отсылки к численным или теоретическим результатам, которые читатель должен осуществить самостоятельно, если хочет проверить, насколько убедителен автор. Следовательно, процесс понимания доказательства требует выполнения некоторых физических про-

33Ph.J. Davis, Fidelity in mathematical discourse, уже цит.

34M.D. Resnik, Mathematics as a Science of Patterns, уже цит., p. 148 ss.

251

Философия математики: наследие двадцатого столетия

цессов. В число этих физических процессов вполне законно включить расчеты, выполняемые в собственной голове, а не при помощи какой-то внешней поддержки. Они предполагают корректную работу различных функций мозга.

Типичное использование расчетов в математическом изложении представляется следующим образом:

а) некоторый надежный калькулятор (человеческий или механический) выполнил физический процесс, который соответствует получению значения f(n)=m в соответствии с определенными правилами, следовательно

б) f(n)=m выводимо в соответствии с этими правилами, и за счет доказанной корректности правил

в) f(n)=m.

Переход от а) к б) предусматривает допущение некоторого математического заключения относительно некоторого формального объекта на основе некоторого предположения или очевидности, которые относятся к поведению физического инструментария.

Эмпирическая предпосылка состоит в том, что вычислитель является надежным, причем в двух смыслах: корректного функционирования, и здесь включаются различные физические или физиологические законы и соображения, а также математические, к примеру, статистические35; и корректного программирования в соответствии с правилами используемого формализма. Возражение, что речь не идет о каком-то физическом вычислителе, а о некоторой абстрактной модели вычислений, о машине Тьюринга, к примеру, не проходит, поскольку необходимо всегда помнить, что конкретная физическая машина представляет собой реализацию этой абстрактной модели. Следовательно, «внутри методологии современной математики встречаются недедуктивные выводы из эмпирических предпосылок»36.

Чтобы избежать эмпиристского заключения, часто говорят, как это делает Сварт выше, что ситуации, подобные описанной, возникают лишь из-за несущественных ограничений, которые в

35Аналогичное соображение развернуто в G. Lolli, La Macchina e le dimostrazioni, уже цит.

36M.D. Resnik, Mathematics as a Science of Patterns, уже цит., p. 148.

252

Эмпиризм

принципе устранимы, что без ограничений памяти и скорости счета все можно выполнить… где? Где обитают расчеты и доказательства, то есть математика?

Если они живут в уме, то необходимо представлять некий разум, независимый от мозгов отдельных людей. Если не в уме, то, во всяком случае, в некоторой абстрактной области, где действуют связи a-priori. Перескакивание небольшое, но фатальное. Видеть в символах скорее вид (type), чем индивидуальный знак (token), выглядит безвредным допущением, которое все делают, но это путь, который переводит математику в мир a-priori.

Для последовательного материалиста на манер Дэвиса нет математики, оторванной от физической основы. Она проявляется, когда активируются соответствующие синапсы, как лампочка, которая зажигается, когда поворачивается выключатель. Материалист может иронизировать по поводу вопроса о внепространственной и вневременной реальности математики, сравнивая его с вопросом о том, где же находится свет при выключенной лампе.

В этой связи стоит отметить, что дедуктивизм не стремится обеспечить формат a-priori математики через понятие логической необходимости; экстенсиональное понятие следствия, используемое дедуктивизмом, совместимо с материалистской постановкой вопроса о свете, который есть только тогда, когда лампочка включена. Конечно, оно совместимо с материалистской философией познания, а не с эмпиристской философией математики.

Перед материалистом, впрочем, встает другая проблема, заключающаяся в том, что математика, даже если и представляет собой некий физический феномен, имеет все же всегда, как мы видели, характер a-priori в некотором другом смысле, поскольку ее результаты формулируются и используются таким образом, что не предполагается их пересмотр на основе опыта (за исключением случаев обнаружения ошибок).

Под таким углом зрения возможно оценить в антиэмпиристском смысле соображение Витгенштейна (если только возможно прийти к не вызывающей возражений интерпретации его мысли).

253

Философия математики: наследие двадцатого столетия

Использованные в дискуссии о Т4К понятия наглядности, очевидности, самодостаточности имеют любопытное происхождение. Рассмотрение доказательств как конечных объектов, которые могут проверяться и которыми можно манипулировать, восходит к Гильберту и является фундаментом его математики. Но эти слова вошли в философский лексикон с легкой руки Витгенштейна. Этому философу обычно приписывают идею наглядности как основной характеристики доказательств, так же, как и идею форм жизни, которые выражаются в лингвистических играх, от которых (идей) питаются разнообразные течения, настаивающие на социальной природе правил (включая логические и математические). Его иногда причисляют к вдохновителям нового эмпиризма (это делают, например, последователи сильной программы в социологии), но с явной натяжкой. Витгенштейн не делает никаких уступок никаким формам эмпиризма (в том числе и тем, которые имеют социальные оттенки) в своих рассуждениях, посвященных именно отличию между экспериментами и доказательствами37. В них присутствуют, наоборот, явные отрицания аргументов38, которые стремятся представить доказательство как некоторый эксперимент.

По мнению Витгенштейна, расчеты или доказательства, в отличие от экспериментов, представляют собой модель, собственно, не подлежащую пересмотру на основе опыта, но которая, наоборот, дает некую меру для суждения об опыте. Именно с целью добиться этой характеристики он ввел понятие наглядности. Это концепция логическая, а не физическая. Однако Витгенштейн склонялся к тому, чтобы сказать, что если идентификация расчета или доказательства не является физически выполнимой (англ. feasible), то расчет не является расчетом как таковым39.

37См. в особенности Osservazioni sui fondamenti della matematica (1937– 1944), Torino, Einaudi, 1971; см. также S. Stillwell, Empirical Inquiry and Proof, in M. Detlefsen, Proof and Knowledge in Mathematics, уже цит., p. 110–134, и G. Lolli, Wittgenstein contro Gödel, in WMY 2000, Torino, Bollati Boringhieri, 2000, p. 32–39.

38Для углубления см. G. Lolli, Esperimenti e dimostrazioni, уже цит.

39Хао Ван (Hao Wang) продолжил и развил тему наглядности и выполнимости в оригинальном, но не систематическом размышлении, которое оце-

254