Материал: Lolli_Filosofia_matematiki-1

Философия математики: наследие двадцатого столетия

ния понятие группы раскрывает общие свойства движения (группы вращения и параллельного переноса), симметрии (группы кристаллов), алгебраических преобразований (группы Галуа, группы Ли для дифференциальных уравнений). Многие другие математические концепции (функция, частичный порядок) являются такими же простыми по структуре и исполняемыми в приложениях. Простота и применимость стали возможными благодаря формальному подходу.

Реальная структура математических идей представляет собой невероятно тщательно проработанное развитие этого простого наброска5. Отметив, что «всякое математическое понятие связано со своими эмпирическими истоками многообразными способами», Маклейн заключает, что «никакое упрощенческое описание математики не является адекватным»; однако в соответствии с предположением о первопричинах более или менее мифических «наш взгляд на природу математики может быть сформулирован следующим образом: математика занимается построением многообразия формальных моделей различных аспектов мира и человеческой практики».

Все те, кто разделяет подобное видение, не упускают возможности пощеголять высокопарными изречениями по поводу многообразия, по поводу того факта, что один и тот же опыт может быть описан разными формальными моделями. Важно и то, что описание взаимосвязей имеет значение как для внешних приложений, так и для внутреннего структурирования. Разные определения действительных чисел, к примеру, соответствуют различным способам восприятия непрерывности, как видно из дискуссии по этому поводу между Кантором и Дедекиндом6.

Философские проблемы, которые рассматриваются в этой перспективе и являются относительно новыми, касаются широты, ясности и глубины различных математических понятий. Широта имеет дело с приложениями, ясность – с формальным анализом, глубина – с раскрытием связей все более фундаментальных и

5Развито в S. Mac Lane, Mathematics: Form and Function, уже цит.

6См. переписку между Кантором и Дедекиндом, опубликованную в 1937 году под ред. Э. Нётер и Ж. Кавайе, доступную на французском языке в

J. Cavaillès, Philosophie mathématique, Paris, Hermann, 1962.

260

Формы и модели

неожиданных: «математика состоит в открытии последующих стадий формальных структур, которые обусловлены миром и человеческой деятельностью, с акцентом на структуры широкой применимости и структуры, которые отражают наиболее глубокие аспекты мира».

С точки зрения математика характеристика дисциплины как некоторого хранилища моделей выглядит еще одним приемлемым способом достаточно просто прикрыть философскую проблематику, однако упрямо сопротивляются все те же вопросы. Формы извлекаются из конкретных случаев, до их повторного применения к многочисленным конкретным случаям. Казалось бы, возвращается в игру развенчанная способность абстракции, но для некоторой формальной модели возможность появления в результате абстрагирования из реальности при помощи особой способности выделения аналогий и сходных элементов допустима еще меньше, нежели это было бы возможно в отношении понятия числа. Механизм формирования модели, скорее всего, не является прямым, и в большой степени он направляется языком.

Попробуйте поразмышлять о том, что общего есть между двумя людьми, которые не знают друг друга, и дорогой, которая соединяет два города. Трудно увидеть аналогии (исключая число 2, которое может и не быть показательным, если рассматриваемых людей или городов много). Все же есть проблемы, такие, как задача о коммивояжере или уже упоминавшиеся задачи о вечеринках, в которых можно применять в каждом случае одну и ту же модель графа. Формирование и применение модели зависит от узнавания наличия бинарного отношения, которое может быть представлено (без семантического содержания) формальным символом R(x,y). Это распознавание требует, однако, использования формальной логики и анализа языка в терминах отношений, к которому мы привыкли, но которого долгое время не было в логике.

Представление о математике как о производстве моделей кажется, во всяком случае, некоторой философией, ориентированной на аспекты эпистемологические или, как максимум, на прикладные и в меньшей степени – на онтологические. Не приходится

261

Философия математики: наследие двадцатого столетия

ожидать реалистического видения моделей, берущих свое начало в символическом представлении различных видов человеческой деятельности. В пифагореизме математические творения могли быть элементами мира, но модели всегда имеют много различных интерпретаций. Тем не менее, мы находим модели как основу очередных, довольно спорных, предложений реализма7.

Философия М. Резника представляет собой странную смесь реализма, натурализма, холизма и структурализма, которая заслуживает обсуждения лишь для того, чтобы посмотреть, какие бывают способы философствования.

Резник хочет оправдать все то, что говорит математик в своей работе, «буквально принять» (англ. at face value) его заявления, как в случае принципа объективности Гудмэна, но исключительно в отношении онтологических и эпистемологических аспектов. Математик говорит, что есть бесконечное количество простых чисел, следовательно, существует бесконечно много чисел; математик заявляет, что некоторый термин есть число, следовательно, это число существует; математик говорит об истине, и значит, математика образована истинными знаниями; математик имеет разные определения действительных чисел, следовательно, математические понятия представляются в разных формах, поскольку они неполны по сути из-за их аксиоматического определения.

Первый (и в действительности единственный) ход Резника в защиту этого подхода, который он называет имманентистским, есть критика философских возражений, вызванных наивным использованием этих понятий. В результате остается лишь бытовой математический жаргон со всеми присущими ему квазипротиворечиями (как, например, между платоновским существованием и сущностью, определенной аксиоматически), но прошедший сквозь сито философского анализа, которому не удалось заменить его ничем лучшим. Курьезный факт состоит в том, что в то же самое время математики, занимающиеся философией, наоборот, пытаются применять и вставлять философскую терминологию в свои рассуждения.

7 M.D. Resnik, Mathematics as a Science of Patterns, уже цит.

262

Формы и модели

Показательный случай – концепция истины. Сознающий сложности этого понятия, если можно использовать такой эвфемизм, Резник прибегает к единственной возможности, предоставленной Тарским, то есть к тому, что для отдельно взятых научных языков можно определить в некотором подходящем метаязыке понятие истины, которое имеет избыточный характер. «Раскавыченный»8 звучит на английском языке технически, в том смысле, что определение неявно содержит все эквивалентности между «‘p’ истинно» и p, и не более того, то есть утверждение, что ‘p’ истинно, эквивалентно при раскрытии кавычек9 утверждению p, и только.

Патнэм приводил ранее возражения, что подобный подход является в действительности врагом реализма. Резник отвечает, лишь подтверждая еще раз «раскавыченное»10 употребление истины: «если кто-то говорит: «Никакое более чем счетное множество действительных чисел не имеет мощности ниже континуума», и я должен попытаться решить, истинно ли то, что было сказано, то я должен принять решение по поводу того, что никакое более чем

счетное множество действительных чисел не имеет мощности ниже континуума»11.

Если данный подход распространяется и на назначение терминов, то видно, что обращение к подобному использованию истины не отличается от подхода Карнапа, который заявлял, что утверждение«5 естьчисло» сточкизрениялингвистическогоанализа

– всего лишь утверждение синтаксической легитимности термина «5», и по этой причине безвредно. Тот, кто хочет его использовать, может это делать, но он не должен утверждать ничего более.

Резнику же кажется, что здесь кроется нечто большее, судя по тому, как он заявляет, к примеру, что для применения модели

8Disquotational – дисквотационный, «раскавыченный» (англ. – прим. переводчика).

9Раскрытие кавычек – операция совсем не банальная, поскольку ‘p’ есть имяp вметаязыке, котороеможетнеиметьникакойявнойсвязиссамимp.

10В оригинале англ. disquotational (прим. переводчика).

11Ibidem, с. 31. Пример уводит в сторону от того, что было сказано в примечании 9.

263

Философия математики: наследие двадцатого столетия

необходимо полагать, что она существует. По мнению Резника, когда Ньютон рассчитал орбиту некоторой отдельно взятой планеты вокруг звезды под действием одной только силы притяжения (ситуация крайне нереальная) и использовал эту модель для объяснения орбит планет солнечной системы, говоря, что они аппроксимируют поведение обособленной системы, он должен был принять реальность этой обособленной системы. Это, однако, не является доказательством, а лишь преломлением общего положения к случаю с Ньютоном.

Более точный аргумент Резника состоит в том, что физик, который использует математические понятия, например, понятие скорости, должен полагать, что производная функции вместе с действительными числами и всем прочим, что имеет отношение к данному понятию, существует. Довод состоит в том, что если бы она не существовала, то понятие скорости не могло бы быть использовано, так как было бы плохо определено, подобно понятию расходящихся рядов. Вывод «резниковского» физика совершенно не обоснован, поскольку существование в онтологическом смысле

– это одно, а противоречивость (расходящихся рядов), которая может быть формальной, – другое.

В своем геркулесовом усилии примирить всех и вся Резник выдвигает определенную форму реализма, в которой математические объекты переведены в статус существующих простым актом гипостазирования. «Для постулирования (англ. to posit) нового типа объектов нужно лишь ввести новый предикат P… и заявить, что P существует».

По поводу первых понятий, наиболее простых математических объектов можно лишь догадываться, как случился в Греции уникальный феномен онтологизации математических утверждений, которые существовали и ранее в других культурах в версиях не онтологических. По мнению Резника, можно предположить, что греки начали ценить ту дополнительную пользу, которая возникла из действий с идеальными сущностями (такими, как геометрические формы) по сравнению с конкретными предметами, и неявно гипостазировали идеальные объекты. Характер гипостазирования

264