Материал: Lolli_Filosofia_matematiki-1
Формы и модели
был таким, как если бы конкретные случаи служили аппроксимациями идеальных.
Постулирование математических сущностей, по мнению Резника, подобно выдумыванию мифов или написанию историй. Не нужны какие-то специальные способности, пожалуй, нужна лишь та, при помощи которой изобретаются физические сущности типа флогистона (однако математические объекты не исчезают так, как исчез флогистон).
Постулирование в действительности не создает, а обращает нас к познанию чего-то, что существует независимо от нас. Подтверждением является то, что при постулировании объектов мы осторожны, оцениваем полезность, пытаемся не формулировать противоречивые условия. В частности, познание математических объектов берет начало в работе с конкретными конфигурациями. В самом деле, математические объекты представляют собой формы (patterns) или местоположения в формах.
Эта часть является наиболее интересным вкладом Резника в философию математики и причиной его изучения в данной главе. Он пытается показать, как познаются формы, которыми в его примерах выступают греческие фигуры, такие, как гномон12.
Резник не дает никаких специальных указаний по поводу того, как формируются эти структуры (отметив, что они постулируются), однако останавливается на том, как мы приобретаем знания о них. Он меняет привычный взгляд и ставит на первый план тот факт, что мы изучаем что-то в отношении математических форм, постулируя, что они обладают теми же самыми структурными свойствами конкретных конфигураций, диаграмм и символов, при помощи которых мы представляем их конкретно. На этой основе предполагается определенное отношение структурного соответствия (конгруэнции) между абстрактным и конкретным и то, что оно было бы нам доступно.
Абстрактная форма не наблюдаема, и от неё нельзя абстрагироваться, её можно изучать лишь шаг за шагом в конкретных случаях и на примерах.
12 Для других примеров смотри P. Zellini, Gnomon, уже цит.
265
Философия математики: наследие двадцатого столетия
Резник вводит некоторый промежуточный уровень моделей (templates13), форм или шаблонов, или лекал, или образцов в смысле бумажной выкройки для платья или чертежа в смысле архитектурного проекта. Использование этих моделей – весьма распространенное явление, вполне естественное и доступное каждому.
Template есть некоторый физический объект, но он демонстрирует определенное отношение структурного соответствия (конгруэнции) с объектами, моделью которых он является. Можно изучить много вещей о моделируемом объекте до того, к примеру, как он был бы сконструирован. В то же самое время templates создаются для того, чтобы научиться познавать также свойства самой формы (pattern), которая целиком абстрактна.
Резник, конечно, не первый, кто отметил важность схем, но, возможно, является тем, кто придал им роль более фундаментальную.
Существуют взаимосвязи между схематическими представлениями (диаграммы, графы, ряды знаков, такие, как нумералы, переменные, символы, используемые в формулах, для обозначения функций, логические и математические константы) и мысленными экспериментами. Нам более интересны схемы или диаграммы, чем фигуры или картины, поскольку нам не важны все их реальные детали, а интересуют, скорее, «скелет» и структура, «формальные факты», которые находятся в них, формы и patterns, которые они раскрывают. Это – помощь воображению в процессе размышления, и в таком виде они являются существенными для математики14.
Похожая проблематика встречается в действительности уже у Гильберта, когда он обсуждает конкретную математику и переход от нее к математике абстрактной, к примеру, ото всех частных случаев m + n = n + m к x + y = y + x. Первые реально являются физическими формами, формула же, записанная через переменные – бесконечное утверждение, существующее только как формула некоторого формального языка. Она требует доказательства, а не раскладывания счетных палочек или камешков. Этими расстанов-
13Шаблон, трафарет, образец, лекало, маска, матрица и т.д. (англ. – прим. переводчика).
14H. Wang, Process and Existence in Mathematics, уже цит., с. 328–329.
266
Формы и модели
ками, впрочем, моделируется доказательство. Резник также утверждает, что знание форм (patterns) приходит через доказательства, но не делает дальнейших шагов по сравнению с тем, что уже были сделаны Гильбертом. Когда рассматриваются два типа арифметики, обусловленные использованием или не использованием переменных, и их отношения, выявленные Гильбертом, то становится ясным, что скачок, реализованный введением переменных, оказывается гораздо более сильным и значительным по сравнению с убедительностью также стимулирующего неформального разговора о модели (template) и форме (pattern).
Ограниченность этих моделей (templates) как аппроксимации математических моделей и их идентификации с формами (patterns) заключается в том, что модель не представляет один лишь скелет, она не создается устранением лишнего или абстрагированием от деталей; математическая модель вводит и использует невидимое (так же, как на другом уровне, обнаруженном Гёделем, в описаниях объектов принимают участие не только восприятия, но также и понятия). Чертеж (template) Парфенона нарисован с использованием золотого сечения; график движения базируется на мгновенной скорости. Именно изобретение этих понятий является характеристикой и драгоценным достоянием математики.
От подхода Резника и ему подобных остается в итоге впечатление, что если философия должна лишь узаконить наивный математический язык, то нужно просто говорить на нём, отбросив философию.
267
Философия математики: наследие двадцатого столетия
268
Стихийная философия математиков
15. СТИХИЙНАЯ ФИЛОСОФИЯ МАТЕМАТИКОВ
Точка зрения работающего математика1 представляет собой обычно несостоятельную мешанину различных мнений, поскольку если он действительно работает, то не может посвятить много времени философским вопросам и довольствуется повторением того, что он где-нибудь нахватался. Его стихийная философия (как философия ученых в целом) представляется не такой уж спонтанной, поскольку некоторые темы и некоторые позиции, выработанные великими математиками, распространяются, в том числе и устно, доходят до него и влияют на него. Порой незнание – своего рода поза, поскольку математик самонадеянно претендует в действительности на то, что может ответить на все вопросы (а не избегать их, как хотелбыуверить Бурбаки) безпомощи других специалистов. Тем не менее, всегда есть чему поучиться в спорадических набегах математиков на философию, когда поднимаемые ими вопросы хорошо обдуманы. По крайней мере, математики в состоянии легко распознать слабые пункты рассуждений, касающихся их дисциплины.
Мы рассмотрим одно изложение, которое представляет собой оригинальную, местами противоречивую, смесь платонизма, натурализма, эмпиризма и конструктивизма2. Предлагаем читателю выделить разными цветами отрывки, узнаваемые как относящиеся к разным философским направлениям. Еще более полезное упражнение – дискуссия с автором цитаты, чтобы увидеть, насколько вы освоили проблемы, решения, логику различных соревнующихся философских течений.
Размышления Р. Хэмминга организованы вокруг следующей идеи. Попытаемся вообразить, какой тип математики мог бы быть развит обитателями некоторой далекой пригодной для жизни пла-
1В оригинале англ. working mathematician (прим. переводчика).
2R.W. Hamming, Mathematics on a distant planet, in «The Amer. Math. Monthly», 105, 1998, n. 7, pp. 640–650.
269