Материал: Lolli_Filosofia_matematiki-1

Стихийная философия математиков

принятой общей структуры и проверкой ее пригодности в аналогичных ситуациях), и что «хрупкие» части математики являются бесполезными для нас, как была бесполезна для физиков идея эфира, и хорошо, что она предана забвению!

Эрмит сказал: «Мы – слуги, а не господа математики». Я часто заявлял обратное: «Мы – хозяева математики, а не слуги, и можем делать то, что хотим». По правде говоря, я, возможно, подразумеваю нечто среднее между этими двумя утверждениями. Иногда мы ведомы математикой, иногда контролируем ее. Внеземные жители окажутся в такой же ситуации, поскольку они живут в физическом мире того же самого типа, что и мы. И если мы предположим, что они в состоянии установить радиоконтакт с нами, то, полагаю, что их «прочная», полезная математика будет иметь значительное сходство с нашей. «Хрупкие» же разделы могут сильно отличаться. Кто знает, заботят ли их все наши банальные теоремы и вообще знакомы ли они с ними.

Можно задаться вопросом, верна ли в их математике знаменитая теорема Ферма. Следует отметить, что теорема была доказана на основе наших постулатов, определений и способов рассуждения, однако необходимо учитывать то, что внеземные жители могут иметь свое мнение о том, что является доказательством, а что – нет, и даже то, какие высказывания являются значимыми для них, а какие – для нас.

Теорема Ферма не может иметь другого смысла для инопланетян, это элементарный комбинаторный смысл.

Прежде чем возражать тому, что я отсекаю слишком большую часть высшей математики, повторю еще одно замечание, которое часто высказывал. Если бы кто-то вошел в мой кабинет, чтобы показать мне, что интегральная теорема Коши является ложной, я бы сильно заинтересовался, но в итоге предложил бы поискать другие допущения, при которых она стала бы истинной, поскольку я «знаю», что она является «истинной»; она слишком необходима в некоторых моделях (так же, как еще только теорема Грина), чтобы не быть истинной, так как обеспечивает потенциальную функцию векторных полей и является базой работы на комплексных переменных…

…

В платоновском мире, в котором, как многие думают, прописана математика, исследователь «открывает» теоремы, которые, по-видимому, были там сразу же после Большого взрыва. Противоположная точка зрения – я «творю» результат, когда его нахожу. Если я попытаюсь проанализировать то, что чувствую, отбросив всякие предубеждения, то, мне кажется, можно сказать, что если результат важен, то есть ощущение, что я его нашел, но

275

Философия математики: наследие двадцатого столетия

если же он оказывается скорее банальным, то я его создал! Ничего нельзя сказать о далекой планете.

На Земле математики, в основном, отдают себе отчет, что платонизм невозможно защитить логически, и, тем не менее, примыкают к нему до тех пор, пока их не просят ответить, что такое математика, и тогда они соскальзывают в направлении более защитимой позиции и утверждают, что математика – пустая игра символов без всякого внутреннего смысла … С другой стороны, и им на далекой планете также будет необходимо финансирование для продолжения работ и, по возможности, для развития. Боюсь, что они столкнутся с похожими на наши логическими проблемами в попытках определить, что же такое математика. Однако там, как и здесь, математика обязательно должна быть чем-то большим, чем простая манипуляция символами без смысла, если она должна дать возможность для связи посредством радиоволн, предусмотренных уравнениями Максвелла; сказать что-то более позитивное – трудное дело.

Возвращение бурбакистской темы по поводу метаний от платонизма к формализму заслуживает завершающего комментария. Такие колебания встречаются, это правда, но они являются не четкой программой, а скорее сложным психологическим состоянием, и движение, кажется, идет именно в направлении, противоположном тому, которое было указано Бурбаки. Математик, который размышляет о своей науке, обычно имеет оригинальные идеи (если имеет), тесным образом связанные с его работой и часто непонятные для посторонних. Его ежедневный хлеб – это символы, и ему привычно иметь дело с ними и с возможностями, которые они дают. Вероятно, то, что связано с манипуляцией символами, является не окончательным прибежищем, а первым способом выражения общих оценок математики. Если затем математик подвергается «допросу с пристрастием», то может легко растеряться от вопроса о смысле. Это тема философская, и без явной подсказки извне трудно ожидать, что смысл сам по себе представляет проблему, поскольку он всегда есть в том, что говорится. Если математик приходит в замешательство от проблемы смысла, то он пугается, путается и, вероятно, прячется за внушающий доверие реализм, не представляя себе до конца последствий этого шага.

276

Заключение

á‡Íβ˜ÂÌËÂ

Читатель к этому моменту, вероятно, пресыщен и некоторым образом смущен столь многочисленными темами и философиями. Каждая из них исходит из какого-то определенного аспекта математики, и, поскольку таких аспектов чрезвычайно много, философии размножаются, пересекаются, накладываются одна на другую. Мы даже не успели рассмотреть их все; к примеру, ничего не сказали об эволюционистской постановке вопроса.

Это еще не философское течение, а смелая (или легкомысленная) экстраполяция первых нейрофизиологических результатов, которые подтверждают генетическое наследование элементарных понятий арифметики1. Предлагается гипотеза2, что математические объекты могли бы являться тем, что осталось в результате отбора (в дарвиновском смысле) в процессе приспособления. Естественный отбор мог быть фактором филогенетического развития с целью обеспечить построение мозгом определенных внутренних представлений, обладающих преимуществами в плане их приспособленности к закономерностям мира, как, к примеру, глаз приспособился для зрения. Проблема этих (эскизных) набросков, не поддающихся проверке, состоит в том, что пока они выглядят лишь спекуляциями с оттенком скорее чрезмерной эволюционистской телеологии, чем науки.

В недавнем n-м предложении оживить философию математики Б. Голд (Bonnie Gold) составила список 38 вопросов или проблем, разработка которых могла бы интересовать математиков3. Многие из них являются традиционными и касаются существования математических объектов, природы математического знания, его достоверности и границ, роли доказательства и различных ви-

1См. S. Dehaene, The Number Sense, уже цит.

2См., кпримеру, L.A. Steen, in «Notices AMS», 47, 2000, n. 2, pp. 223–224.

3B. Gold, What is the philosophy of mathematics and what should it be?, in «The Mathematical Intelligencer», 16, 1994, n. 3, pp. 20–24.

277

Философия математики: наследие двадцатого столетия

дов интуиции или других источников знания, перехода от первых конкретных практических опытов к более продвинутому знанию, возможной пересматриваемости или, наоборот, перманентности математических результатов и их фальсифицируемости, связи с естественными науками, роста математических идей, ошибок, свободы и необходимости, изобретения и открытия. Мы затронули практически все, кроме явно выраженных социологических, как то одновременные открытия или роль сотрудничества, происхождение проблем, мотивации для исследований, национальные различия. Некоторые вопросы направлены, прежде всего, на участие математиков, когда Голд просит ответить на вопрос, что общего есть между алгеброй, анализом, топологией и комбинаторикой и почему все эти дисциплины классифицированы под одним и тем же названием (математика), и каково значение глубоких связей между разделами, которые кажутся внешне различными. К вопросам для математиков относятся и исследование роли эстетических критериев и окружающей культуры, использование символов и определений или лемм как сокращений доказательств, значение обобщения, отношения между математикой письменной и устной, или неформальной, а также стиль изложения. Речь идет о приглашении к целому спектру разнообразных исследований, причем не обязательно связанных друг с другом или сходящихся к одной общей цели. Большую часть из них могут выполнить лишь математики, другие исследования лучше проводить в сотрудничестве.

В ходе изложения были процитированы многие математики. Те, которые относятся к когорте ученых конца девятнадцатого и начала (до середины) двадцатого века, являлись одними из самых великих математиков своего времени. Лучшие философии математики связаны с их именами и идеями. Из ныне здравствующих математиков, имеющих идеи, которые заслуживают обсуждения, были процитированы крупные ученые, но все же не подобного калибра. Сейчас большие специалисты в области математики, если высказываются, склоняются к повторению уже произнесенных фраз или традиционных положений. Они не имеют времени, но, по сути, не имеют того интереса, который имели Дедекинд, Гильберт, Вейль, Пуанкаре, Брауэр, Гёдель, фон Нейман, Бурбаки. Очевидно,

278

Заключение

мы находимся в некоторой фазе математики, которая не стимулирует внимания или озабоченности специалистов по поводу происходящего, которая, несмотря на компьютер, не является революционным периодом, и в ней не чувствуется необходимости обратиться к философии.

Как мы должны оценить тогда всю ту работу мысли, которая продолжает метаться и закручиваться вокруг тайны сути математики, и сокровища деятельности разума и проницательности, которые остаются обильными в ходе таких размышлений?

Правильным подходом для философии математики является не «сейчас я вам объясню», а «что мы поняли».

В эти последние сто пятьдесят лет мы поняли многие вещи благодаря философии математики и исследованиям ее оснований. Прежде всего, поняли один мета-урок, что понять не означает найти некий аспект и некий решающий, основополагающий вывод. Мы поняли, что, напротив, не существует ничего подобного.

Среди положительных уроков мы поняли, благодаря Дедекинду и логицизму, что можно определить натуральные числа: повторение следования дает отдельные числа, но абстрактная идея итерации, которая позволяет нам сказать, что все они имеются в распоряжении, помимо ее утверждения может быть определена, если принимается понятие бесконечности. Всего лишь сто лет тому назад математики сомневались в том, можно ли с помощью одного единственного мыслительного акта получить бесконечные заключения, которые устанавливают результат для всех натуральных чисел, и спрашивали себя, нужно ли придумывать либо отбросить понятие бесконечных доказательств.

Мы поняли также, благодаря логике, что натуральные числа не поддаются определению. Поняли, что определить не значит перевести что-то в плоскость объективного существования, не значит выступить Создателем. Но это значит подготовить возможность отношений, которые зависят от логики, которую предполагается использовать для вывода следствий. Мы знаем действительно все по поводу возможностей, которые дают различные типы логики первого или высших порядков, или неклассических.

279