Материал: Lolli_Filosofia_matematiki-1

Философия математики: наследие двадцатого столетия

Мы поняли, благодаря дедуктивизму, что такое теорема, и как применяется аксиоматический метод. Поняли, что дедуктивный вывод есть некая формальная структура, которую можно запрограммировать в машине для выполнения, и что машины могут выполнять доказательства. Поняли, что такое структура, и что математика изучает структуры и становится все более чем-то, что не является наукой о числе.

Витоге мы поняли две или три действительно важные вещи

оматематике (фрагментарно, может быть, и, кто-то мог бы сказать, запоздало). Да, потребовалось время для всего этого, но, с другой стороны, сколько времени потребовалось, чтобы увидеть эллипсы в небе?

Достижения логицизма, дедуктивизма, структурализма, логики являются богатством знаний о математике, которые имеют непреходящее значение, никогда не будут опорочены и должны быть приняты всеми, не должны стать поводом философских споров. Совсем не обязательно принимать философию, которая сопровождала их открытие, чтобы признать значение этих результатов.

Ксожалению, когда говорится, что мы что-то поняли, это не означает, что поняли все. Иногда в полемике продолжают отрицать очевидные факты. К примеру, Дж.-К. Рота прокомментировал теорему Дезарга, которая выделяется своей центральной ролью из мириадов прочих забытых результатов проективной геометрии, справедливо отметив, что ее важность заслуженна, поскольку «она открыла новые горизонты возможностей, которые связывают ал-

гебру и геометрию неожиданным образом». После чего не смог отказаться от попытки антиаксиоматического выпада4:

То, что аксиоматическое представление некоторой математической темы скрывает, для понимания математики не менее значимо, чем то, что аксиоматическое представление претендует раскрыть.

Правда же состоит в том, что теорема Дезарга занимает то место, которое занимает, потому, что стали понятны ее эквивалент-

4 Цитировано Ph.J. Davis, The Education of a Mathematician, уже цит.,

p. 66.

280

Заключение

ность с погружаемостью плоскости в пространство, ее связи с пространственными аксиомами, с возможностью представить аффинную плоскость телом, с теоремой Паскаля и коммутативным законом умножения, а все это обязано аксиоматическим исследованиям Гильберта в Grundlagen der Geometrie5 1899 года6. Забывать – это просто.

Стоит предостеречь, что все то, что было понято, может оказаться забыто, прежде всего, если это не преподается, если этому отдается должное словами, а потом не подготавливается и не снаряжается для передачи последующим поколениям или, что еще хуже, если продолжаются бесплодные идеологические споры. Нет никакой гарантии перманентности. Достаточно вспомнить, на сколь большое время была забыта эмпирическая индукция Эйлера, потому что, естественно, все занимались другим. Эйлер не был потерян целиком, мы его восстановили. Но не всегда будет происходить так, как в период мрачного Средневековья, и не всегда придут арабы, чтобы помочь нам. Если правда то, что трудно стереть все следы какого-то интеллектуального достижения, то правдой является также и то, что «большая деревня» представляет собой опасность из-за своей унификации и отсутствия экологических ниш для сохранения сокровищ прошлого.

Еще многое, конечно, нужно понять. Горячей темой, но, кажется, лишь потому, что она сейчас стала актуальной из-за компьютера, является, без сомнения, соотношение между алгоритмами и доказательствами и соотношение их с третьим центральным моментом математики, каковым является творческий акт определения. Алгоритмы и доказательства отделяются от понятий, представленных определениями, но именно последние, накапливаясь, утверждают и делают их работоспособными моделями.

Тот факт, что вычисление и логический вывод являются одним и тем же в абстрактных моделях, представленных формальными системами, не говорит ничего (это как заявить, что всякая

5Рус. перевод, например, Гильберт Д. Основания геометрии. Пер. с нем. М.–Л.: ОГИЗ, 1948 (прим. переводчика).

6См. J.C. Webb, Mechanism, Mentalism and Metamathematics, Dordrecht, Reidel, 1980, pp. 88–111.

281

Философия математики: наследие двадцатого столетия

информация сводится к 0 и 1). Другой пример: обязательное сопровождение алгоритмов соответствующими доказательствами их корректности или, наоборот, извлечение алгоритмов из конструктивистских доказательств. Это интересные результаты и процедуры, но факт остается фактом (вспомним Витгенштейна) – с точки зрения психологии, практики, культуры, антропологии доказательство и вычисление представляют собой две различные деятельности, которые, однако, обязательно и неотвратимо сливаются.

С другой стороны, возможно, что эта проблема вместо того, чтобы оказаться в центре философского внимания, исчезнет, как того желают многие, те, кто считает доказательство морально устаревшей вещью вместе со всем тем, что имеет дело с языком. Ничего нельзя предвидеть заранее.

Философия математики будет определяться исследованиями и результатами математики, а они непредсказуемы, даже если уже сейчас известны. Непредсказуемым является процесс их концентрации в некую критическую массу, в ударный кулак, который порождает сдвиг в некотором направлении. За последние два столетия, как можно заметить, философия математики сформировалась, своеобразным и непредвиденным со стороны философии образом, событиями, происходившими в математике.

В той части, где излагаются философии математики, очевидной альтернативой представлению различных течений мог бы быть вариант, прослеживающий хронологическое развитие, который мы рассматривали и отклонили лишь потому, что он слишком сложен и имеет большое количество переплетающихся связей, которые необходимо отследить. Внутри некоторых философских направлений историческая составляющая видна под определенным углом зрения. Нет основания принимать априорно, что уменьшение числа точек зрения до очень небольшого количества позволило бы установить суть дела. Наоборот, взгляд с одной лишь точки зрения неизбежно будет упрощенным, потеряет в познавательном содержании и сразу станет идеологическим. В случае философии математики последних двух столетий краткое историческое изложение представляется приблизительно следующим.

282

Заключение

Девятнадцатый век предъявил математике драматическую проблему отделения от физического мира, необходимость рационального определения всех математических понятий и, прежде всего, континуума, открытие интриги аксиоматического метода и приключения бесконечности, порожденные Анализом и формальным представлением его функций. Здесь лежат корни логицизма и теории множеств, новой логики, программы Гильберта, дедуктивизма и структурализма. Из всех кризисов (иррациональности, бесконечно малые, ряды) математики всегда выходили, разрешая трудности при помощи новой математики. В данном случае произошло то же самое (алгебраические структуры, теория множеств, теория вычислимости), но в этом кризисе, который был преимущественно кризисом оснований, была приобретена также большая мудрость относительно самого способа существования математики со всеми достижениями, о которых говорилось и которые не должны рассматриваться обязательно приводящими к единообразному представлению математики. Иллюзии о существовании окончательных оснований математики были потеряны по дороге.

Возможно, математика не нуждается в основаниях или не подлежит обоснованию, но значительное развитие абстрактной математики конца девятнадцатого и начала двадцатого столетия (функциональные пространства, геометрические многообразия, топология) требовало систематизации или новой организации, которая не могла быть обеспечена теорией множеств, хотя она и принималась в качестве базисной теории.

Теория множеств предлагала удобный и адекватный язык, но там, где она показывала, каким образом любое математическое понятие, любая структура определяется на ее языке, она совершала акт редукционизма, что не соответствовало потребностям математиков. Они, увидев теоретико-множественные определения своих творений, не узнавали их более, как художник не узнает свои краски среди длин волн, которые обусловливают цвета.

Организация всего нового материала была выполнена Бурбаки к середине столетия. Согласованное изложение математики, осуществленное Бурбаки, было полезным, корректным, глубоким, но это было упорядочение сверху, некое унифицирующее объеди-

283

Философия математики: наследие двадцатого столетия

нение наиболее общих понятий и их сочленений в соответствующих разделах.

Такие чрезвычайно общие понятия не встречаются в построении снизу, в реальном развитии теорий и в их стандартных изложениях, например, для специалистов, занимающихся прикладными задачами. Объединение понятий, зарождающихся в различных разделах, в одно общее является неотъемлемой и важной частью развития математических теорий, но всеобщность должна быть пунктом назначения и не может быть пунктом отправления.

Совершенство бурбакистской конструкции усилило, однако, искушение работать над надстройками (или внутри) этого неестественно огромного, сочлененного и самодостаточного абстрактного построения, как если бы существовало только оно, а не реальный мир, как природный, так и человеческий.

От этого появилось несколько нереальное представление о математике, будто бы живущей в некоторой платоновской гиперурании. Оно на несколько десятилетий (почти для двух поколений) определило вектор исследований и преподавание математики на всех уровнях.

Платоновский мир – это, все же, не человеческий мир. В последнем история, которая развивалась в результате действий конкретных людей, приносила, между тем, новые открытия и новые виды деятельности (в то же время не отвергались и традиционные, к примеру, связанные с физическими исследованиями).

Исследования, которые стали возможны благодаря компьютерам (или были порождены ими), обеспечили расцвет математики проб и ошибок, предположений и экспериментов. Компьютеры возвратили вычисления также и в алгебру, где они были оставлены и где предпочтения были сделаны в пользу (необходимых и полезных) абстракций.

В тот же самый период под влиянием социальных перипетий рождались или укреплялись новые научные тематики и исследования, которые вовлекали математику или ускоряли развитие ее новых разделов (исследование операций, статистика или экономические приложения). Это происходило за счет импульса, приданного

284