Материал: Lolli_Filosofia_matematiki-1

Заключение

в том числе и ими (помимо воздействия со стороны компьютерных наук) комбинаторной математике с конечными величинами.

Философия математики отреагировала, перенеся математику из разума или из гиперурании в мир, но уже не в природный, а в человеческий. Конец столетия увидел появление ряда разнообразных тенденций, которые можно было бы назвать гуманитарными и которые имели бы в качестве общего знаменателя желание рассматривать математику как один из видов человеческой деятельности настолько, насколько подобная формула может что-то означать.

Было уже упомянуто предложение Уайлдера (Wilder)7 рассматривать математику как культурную систему. Понятиями, подходящими для изучения культурных систем, являются, к примеру, понятия напряжения, консолидации, давления внешней среды. Уайлдер сформулировал несколько законов эволюции, касающихся принятия новой концепции, ее закрепления, распространения или изоляции, роли проблем и решений, проявления нарушения непрерывности, феномена антиципаций и множественных открытий и многого другого, пытаясь охватить все аспекты важных явлений в истории математики.

Социальный конструктивизм Херша (и другие еще более нетерпимые теории8) видит объективность (в том числе и законов природы) как интериоризацию навязанных обществом конвенций. Семиотика рассматривает математику как часть общей деятельности по созданию и использованию символов. Эмпиризм в качестве программного манифеста выдвигает подверженность ошибкам, временный характер и пересматриваемость всех знаний, приобретенных конечными существами, каковыми являются люди.

Все эти тенденции стремятся сгладить и свести к нулю специфичность математики как в культурных и социальных системах типа денежных систем или права, так и в практике индуктивного

7R.L. Wilder, Mathematics as a Cultural System, уже цит.

8Кроме социологов сильной программы, к примеру, см. P. Ernest, Social Constructivism as a Philosophy of Mathematics, New York, NY State Univ. Press., 1998. Херш излагает свой социальный конструктивизм в Che cos’è la matematica, davvero, уже цит.

285

Философия математики: наследие двадцатого столетия

исследования. Для того чтобы проделать это, все вынуждены отрицать роль и само понятие доказательства, и они счастливы делать это9. Объектам придается тот же самый статус, который имеют любые другие мысли, доказательствам – статус простых разговоров, болтовни или риторики. Почему тогда математика, отличающаяся от политики, не человечна?

Непонятно, что мешает увидеть то, что математика создана существами, которые несмотря на то, что они ограничены и подчинены условностям и правилам совместной жизни, в состоянии развивать интеллектуальную деятельность, предусматривающую элементы типа схем и patterns, которые показали себя полезными для познания мира и которые не являются ни материальными, ни запечатленными в материи, ни чистым социальным соглашением. К семейству этих формальных продуктов принадлежат доказательства, поскольку это лингвистические схемы отношений между схемами. Со времен Аристотеля известно, что люди могут узнавать и использовать лингвистические формы. Интересным с философской точки зрения является вопрос, как возможно, при нашем познавательном оснащении, не строить и продавать как эквивалентные математике запутанные постройки, откуда исчезли доказательства.

Без признания доказательств и, кроме того, в целом, универсального, вневременного, транскультурного характера математики вряд ли эти философии просуществуют долго (поскольку сиюминутная мода пройдет) или серьезно завладеют математиками. Надеемся в этом не быть плохими пророками. Единственное предсказание, которое можно сделать помимо предсказания, касающегося краха любых предсказаний, состоит в том, что никогда не стоит поддаваться периодически появляющемуся искушению считать, что наступил конец истории. Благоразумно, следовательно, надеяться, что какой-нибудь уже существующий активный фермент принесет последующим поколениям новые и неожиданные поводы для удивления и возможности философской работы.

9 К примеру, Эрнест (Ernest) при помощи обращения к герменевтике.

286

Указатель имен

ì͇Á‡ÚÂθ ËÏÂÌ

Аббаньяно (N. Abbagnano) 65, 69 Агацци (E. Agazzi) 149 Аккерман (W. Ackermann) 18, 32

Александров П.С. 16

Анеллис (I.H. Anellis) 19, 31

Антаков С.М. 11

Арган (Argand) 24

Аристотель (Aristotele) 54, 157, 235, 286

Арнольд В.И. 16

Архимед (Archimede) 274

Бажанов В.А. (V.A. Bazhanov) 18, 31 Балк М.Б. (M.B. Balk) 29, 31

Банах С. (S. Banach) 195 Барбэн (E. Barbin) 47 Бар-Хиллел (Y. Bar-Hillel) 255 Батталья (S. Battaglia) 89 Беккариа (G.L. Beccaria) 186 Беккер (O. Becker) 141, 200 Белл (J.L. Bell) 202

Белов М.М. 77

Бельтрами (E. Beltrami) 216

Бенацерраф (P. Benacerraf) 103, 117, 119, 170, 180, 199 Беньямин (W. Benjamin) 44

Берджес (J.P. Burgess) 90–91, 102, 104 Бернайс (P. Bernays) 113, 150

Бетти (R. Betti) 22–23, 31 Бираги (A. Biraghi) 65 Бисон (M.J. Beeson) 192, 206

Бишоп (E. Bishop) 21, 193–196, 201 Блур (D. Bloor) 71, 237

287

Философия математики: наследие двадцатого столетия

Богоссиан (P. Boghossian) 75 Бойс (C.V. Boys) 26

Болтянский В.Г. (V.G. Boltyanskii) 29, 31 Больцано (B. Bolzano) 167, 194, 203

Бонапарт Наполеон 8

Борель (E. Borel) 198 Боруэйн Дж. (J. Borwein) 240 Боруэйн П. (P. Borwein) 240

Боттадззини (U. Bottazzini) 152

Бочвар Д.А. 17

Браун (J.R. Brown) 39

Брауэр (L.E.J. Brouwer) 20, 21, 81, 161, 196–199, 201–202, 204–205, 273, 278 Бриджес (D. Bridges) 191, 206

Брюнсвик (L. Brunschvicg) 88

Бугаев Н.В. 22–23

Буль (G. Boole) 247

Бурбаки (N. Bourbaki) 109, 113, 122, 160, 208–209, 213–214, 269, 274, 276, 278, 283

Бэр (R. Baire) 150, 198

Вагнер (S.J. Wagner) 72, 250 Валери (P. Valéry) 118

Ван Аттен (M. van Atten) 15, 34

Ван Дален (D. van Dalen) 141, 196–197 Ван Стигт (W.P. van Stigt) 197

Ван Хао (H. Wang) 154, 254–255, 266 Ван Хейнорт (J. van Heijenoort) 162 Вариньон (Varignon) 26

Васильев Н.А. (N.A. Vasiliev) 17, 34 Вассалло (N. Vassallo) 149

Веаге (H. Wehage) 26 Вебб (J.C. Webb) 281

Вейерштрасс (K. Weierstrass) 141, 167, 194, 203

Вейль (H. Weyl) 7, 20, 141, 153–154, 167, 196, 202–205, 278 Вейт-Риччиоли (B. Veit Riccioli) 167

Велман (M. Velman) 140 Вельтман (Weltman) 26

288

Указатель имен

Верчеллони (L. Vercelloni) 209, 214 Вестерсталь (D. Westerstahl) 33 Вигнер (E. Wigner) 75

Вингейт (E. Wingate) 26

Витгенштейн(L. Wittgenstein) 17, 30, 55, 148, 164, 175, 253–254, 282

Галилей (Galileo) 114 Галуа (E. Galois) 260 Гантер (E. Gunter) 26 Гаусс (C.F. Gauss) 24, 244

Гейзенберг (W. Heisenberg) 153 Геймонат (L. Geymonat) 91,109 Гейтинг (A. Heyting) 197, 199, 200–201 Гемпель (C.G. Hempel) 57

Гербарт (J.F. Herbart) 49 Геридон (J. Guérindon) 209 Германн (R. Hermann) 214

Гёдель (K. Gödel) 8, 15–16, 32–34, 92, 103, 111–112, 116–117, 119– 121, 122–127, 130–132, 141, 143–144,146–147, 149, 152–154, 156–157, 162, 175, 181–182, 201, 203, 214, 232, 254, 267, 278

Гжегорчик (A. Grzegorczyk) 200

Гильберт (D. Hilbert) 8, 15–16, 18, 32, 64, 81–82, 92, 97, 103, 111– 112, 132, 153, 173, 177–181, 201, 205, 214, 218, 224, 254, 266–267, 273, 278, 281, 283

Гиппократ (Ippocrate) 219 Гиргенсон (R. Girgensohn) 240

Гливенко В.И. 16

Гобсон (E.W. Hobson) 49 Голд (B. Gold) 277–278

Гольдбах (C. Goldbach) 121, 241 Гонсет (F. Gonseth) 81, 88 Грант (G.B. Grant) 26 Гренандер (U. Grenander) 240 Грин (G. Green) 275

Гришагин В.А. 12

Гуардуччи (F. Guarducci) 26

289