Материал: Lolli_Filosofia_matematiki-1

Философия математики: наследие двадцатого столетия

Отличительной чертой его подхода, по сравнению с интуиционизмом Брауэра и Вейля, является то, что он выглядит мотивированным прежде всего новыми математическими открытиями. Математические сущности для Маркова – не ментальные конструкции, как в интуиционизме, а конструктивные объекты и процессы, в конечном счете – слова в некотором алфавите и алгоритмы. Понятие вычисления является философским понятием. «Подлинное значение12 для математики уточнения понятия алгорифма выявляется […] в связи с проблемой конструктивного обоснования мате-

матики» [Markov 1954a, p. 2].

Если актуальная бесконечность отбрасывается Марковым, то потенциальная, напротив, принимается и берется серьезно как «отвлечение от реальных границ наших конструктивных возможностей, обусловленных ограниченностью нашей жизни в про-

странстве и во времени» [Markov 1954a, cap. 1, sec. 3.5].

Это приводит его к пониманию того, что для высказываний, касающихся процессов, возможен следующий тезис: если предположение, что алгоритм никогда не остановится на каком-либо слове, может быть опровергнуто, то можно заключить, что алгоритм остановится.

С формальной точки зрения это допущение приводит к принятию принципа исключенного третьего для высказываний, которые касаются остановки алгоритмов, и, в частности, закона двойного отрицания

¬¬ xA(x) → xA(x)

для соответствующих предикатов.

Этот принцип стал известен как принцип Маркова. Он не принят интуиционизмом, но имеет решающую роль в метаматематическом анализе различных форм конструктивизма. Кроме того, он позволяет трактовать конструктивный анализ («главное поле приложений уточненного понятия алгорифма» для Маркова), в котором вещественные числа и функции вещественной переменной вводятся алгоритмами. В такой постановке Марков опередил

12 В оригинале на русском языке всё значение (прим. переводчика).

20

Предисловие автора к изданию на русском языке

Э. Бишопа (E. Bishop) и продемонстрировал интересные результаты, в частности, непрерывность рекурсивных функций. Континуум Маркова отличается от интуиционистского, например, потому, что в случае первого отношение «быть отличным от нуля» имплицирует отношение отделения от нуля13.

Марков воспитал много учеников, которые, кроме развития конструктивного анализа, изучали и другие проблемы математики и логики, во многих случаях открывая новые пути. Список имен, пусть даже неполный, впечатляет: А. Драгалин, С. Маслов, Ю. Матиясевич, Г. Минц, В. Оревков, Н. Петри, Н. Шанин, Г. Цейтин, И. Заславский.

Тем не менее, в работе [Nagorny 1995] рассказывается о препятствиях и трудностях, чинимых официальными кругами, нетерпимыми к тем, кто не примыкал к марксистско-ленинскому материализму. Логика всегда была на задворках, как, впрочем, и кибернетика, развитие которой было, в действительности, приостановлено. Никто из учеников Маркова не получил высоких должностей в наиболее престижных учреждениях страны. Самон тоже был обвинен в идеализме иформализме, икнемуотносилисьсподозрением.

Марков смог работать и основать свою школу благодаря, в том числе, тому удачному обстоятельству, что период с 1957 по 1968 год был «золотым временем» для механико-математического факультета (мехмата) Московского университета. Под руководством декана Н.В. Ефимова (1962–1969) и под смелым, искусным и просвещенным покровительством ректора, математика И.Г. Петровского, который даже не был членом партии, факультет собрал коллектив преподавателей и воспитанников, который составил не только научную, но и культурную элиту.

Для западного математика может быть трудно понять, что в тоталитарном обществе высокий научный уровень как единственный критерий успеха в научных учреждениях был крайне редок. Превалирующим критерием в то время в России были политика или идеология, а не научная истина […] Мехмат до конца 1968 года был единственным местом, оазисом, прибежищем, где объективная ценность исследований была лучшей рекомендацией14.

13Эти неэквивалентные отношения были введены Брауэром и играют роль в построении его континуума незавершенных объектов.

14[Sossinsky 1992].

21

Философия математики: наследие двадцатого столетия

Любовь к математике сочеталась с художественными и литературными интересами и с антирежимными настроениями. В шестидесятые годы много писем было написано сотрудниками факультета в защиту диссидентов, пока власти в 1968 году не решили вмешаться в связи с письмом, подписанным 99 математиками из МГУ и других учреждений, против заключения в психиатрическую больницу Есенина-Вольпина, сына поэта Сергея Есенина, уже упомянутого выше как основоположника ультраинтуиционизма. «Закручивание гаек» становится понятным, если вспомнить, что 1968 был годом «Пражской весны». Администрация была заменена на персонал, верный жесткой линии. Двое из подписавшихся потеряли работу, все испытали трудности в продвижении по службе и имели запрет на выезд за границу15. Сформировалась иная обстановка, при которой возобновилась антисемитская практика, прежде всего, на вступительных экзаменах.

Эти превратности истории известны российскому читателю сейчас, вероятно, даже более, чем западному. Впрочем, ни одна страна в своей недавней истории не избежала подобных периодов упадка. Мы напомнили их, потому что «нужны горькие лекарства, едкие истины», как говорил М.Ю. Лермонтов в предисловии к Ге-

рою нашего времени [Lermontov 1840, Introduzione].

Еще более удручающая история – события жизни менее известного интеллектуала, который, хоть и не сопоставим с Марковым в научном плане, все-таки заслуживает отдельного упоминания. Речь идет об авторе, который сейчас реабилитирован на родине и вызывает в Европе неподдельный интерес16.

Павел Александрович Флоренский (1882–1937) получил высшее математическое образование в 1904 году в Москве, защитив диплом, подготовленный под руководством Николая Васильевича Бугаева (1837–1903), одного из основателей Московского матема-

15См. [Fuchs 1992].

16Некоторые его работы опубликованы на итальянском в [Florenskij 1995] и [Florenskij 2007]. Кроме упомянутых переводов, см. [Betti 2009].

22

Предисловие автора к изданию на русском языке

тического общества и Московской философско-математической школы. Среди наиболее выдающихся учеников-математиков Н.В. Бугаева были Д.Ф. Егоров и Н.Н. Лузин.

Из развития Анализа во второй половине девятнадцатого века Бугаев сделал вывод о выходе на первый план разрывных функций, которых, в действительности, больше, чем непрерывных. С философской точки зрения Бугаев и его коллеги полагали, что развитие мира – постоянный процесс противостояния логоса изначальному хаосу и что математика необходима для поиска общей концепции мира. Изучение разрывных функций приводит Флоренского к новому видению мира, базирующемуся на принципе разрывности и на числах-формах (которые при непрерывности изменения невозможны).

В годы после защиты диплома Флоренский занимается философией, теологией, религией и искусствоведением17, всегда сохраняя мировоззрение, пронизанное математикой. Он пишет в 1900 году матери18:

Занимаюсь теперь я математикой, которой надо будет заняться больше, и немного философией. Как то, так и другое мне совершенно необходимы, и я чувствую, что математикой я увлекаюсь все сильнее и сильнее. Везде находишь соотношения, аналогии, параллели […] Математика для меня – это ключ к мировоззрению, такому мировоззрению, для которого нет ничего настолько неважного, чем не надо было бы заниматься, нет ничего не стоящего в связи с другим. При математическом мировоззрении […] натурфилосо-

17Тексты, которые считаются искусствоведческими, например [Florenskij 1995], насыщены геометрической культурой. Как отмечено в [Betti 2009]: «Представления о мире – это представления о пространстве», и культура каждой эпохи определяет идею пространства и манеру его представления в зависимости от духовного характера эпохи. В художественном произведении пространство является не «евклидово-кантианским» пространством классической физики, а скорее пространством с переменной кривизной, которое приспосабливается художникомкегоспецифическойпроблематикеивосприятиюимжизни.

18Цитировано из [Betti 2009] (прим. автора); полный текст письма может быть найден на русском языке, например, по адресу http://www.hrono.info/biograf/florenski/1900fl.html (1900.10.05.№24 (4-Ш).

О.П. Флоренской. – прим. науч. редактора).

23

Философия математики: наследие двадцатого столетия

фия соединяется в одно целое с этикой и с эстетикой. Религия получает совершенно особый смысл и находит соответственное место в целом, место, которого она была лишена раньше, почему ей и приходилось строить себе отдельное, изолированное помещение.

В частности, Флоренский после изучения теории множеств Кантора принимает теорию трансфинитных чисел как символ онтологического и логического отношения между двумя мирами абсолютного и относительного. Мы, люди – носители трансфинитного, мы – не конечная противоположность бесконечной божественности. Модель комплексной плоскости, которую Флоренский строит в работе «Мнимости в геометрии» 1922 года19, вновь изображает два мира, которые общаются через границу, и каждый в состоянии оставить след собственного присутствия на другом. Это не единая плоскость, как в модели Аргана–Гаусса. Одна сторона – реальная, другая – сторона чисто мнимых координат, а в середине находятся точки с комплексными координатами a + bi.

Математические модели, которые Флоренский использует в философии, «не являются ни аналогиями, ни метафорами, а указателями сущностной близости». Флоренский поддерживает, следовательно, понимание математики как привилегированного инструмента познания, не только научного, но и философского, поскольку она затрагивает необходимые структуры мышления, которые соответствуют онтологическим структурам мира.

Флоренский углубленно изучает богословие и становится православным священником, однако продолжает заниматься научными исследованиями, которые являются для него и источником некоторого заработка. После социалистической революции он работает на заводе пластмасс, преподает в Художественно-тех- нических мастерских, проводит исследования по электрификации в электротехническом институте, которым руководит К.А. Круг,

19 Частично переведена в [Florenskij 2007, pp. 278–89]. В ней Флоренский описывает пространство Комедии Данте как некоторую эллиптическую геометрию.

24