Материал: Lolli_Filosofia_matematiki-1

Предисловие автора к изданию на русском языке

изучает диэлектрики. В Сибири выполняет исследования по антифризам, по вечной мерзлоте и по электронике. Этот опыт оставляет определенный след. Хотелось бы остановиться на его последней статье [Florenskij 1932] под названием «Физика на службе математики», сильно отличающейся от его первых изложений склонной к мистицизму философии.

Флоренский начинает, предупреждая, что «предметом настоящей статьи является опытный характер математики». Он сетует на то, что «мысль об уходящих в глубь опыта корнях математики еще не стала общим достоянием». Это видно «из постоянных попыток «очистить» математику, т.е. освободить ее от интуиций, попавших в нее, якобы, случайно и поэтому истолковываемых меркой излишнего психологизма как плохие кривизны мысли и промахи изложения […] Геометрический чертеж тушью или мелом […] терпится легко, модель из проволоки, картона или стекла еще выносима, а электрические токи, сила тяжести, магнитные листки и т.д. кажутся недопустимыми, слишком физическими».

По мнению Флоренского, если понятие пространства существенно опирается на опыт механики, «то и в отношении логики делались указания подобные же».

Если хотя бы некоторые механические интуиции лежат в основе математики, то тем самым открывается доступ в математику и механизмам. […] Когда […] механизм, основанный на тех же самых свойствах твердого тела, осложняется, сторонники математической чистоты косятся на него, заподозревая в грубости, «инженерности» и считая его чуждым сфере математики […] И там, где рядом с кинематикой вмешивается еще и динамика, большая часть математиков хочет увидеть измену чистому мышлению. Общепринятое мнение не признает или почти не признает не только приборы вроде построителей кривых и т.п. кинетического типа, но также более сложные кинематические механизмы вроде гармонических анализаторов и многочисленных приборов для выполнения операций анализа […] С определенным недоверием используются даже интеграторы и механизмы для интегрирования дифференциальных уравнений.

Флоренский приводит, вероятно, исчерпывающий список всех приборов, использовавшихся в те годы для сложных вычислений,

25

Философия математики: наследие двадцатого столетия

большинство из которых уже забыто. Он упоминает логарифмическую линейку (Э. Гантер (E. Gunter, 1623)), усовершенствованную Э. Вингейтом (E. Wingate, 1627) и Сет Патриджем (Seth Partridge, 1657), машины Риттера (Ritter) для вычислений алгебраических выражений и выражений с квадратными корнями, алгебраические весы Лаланна (Lalanne), вычислительные машины Экснера (Exner) (для решения всех уравнений первых семи степеней), весы Бойса

(C.V. Boys), Гранта (G.B. Grant) и Скеча (R. Skutsch) (конец XIX-го – начало XX-го века) для уравнений высших степеней, колеса Штамма

(E. Stamm, 1863), Депре (M. Deprez, 1871), Гуардуччи (F. Guarducci, 1890), прибор Кемпе (A.B. Kempe, 1873) для решения тригонометрических уравнений, машины Л. Торреса (L. Torres y Quevedo, 1895) для нахождения действительных и мнимых корней алгебраических уравнений, а также для решения нелинейных систем, механизм Веаге (H. Wehage, 1878) и многоугольники Вариньона, и механизм лорда Кельвина (1878) с интегрирующими дисками и цилиндрами. Также отмечает Деманэ (A. Demaner), который в 1898 году применил сообщающиеся сосуды для решения уравнений третьей степени, Меслена (G. Meslin), в конце XIX–начале XX вв. сконструировавшего гидростатические весы для решения алгебраических уравнений, Эмча (A. Emch), который в 1901 году использовал скорость потоков жидкости для извлечения корней, а также систему коромысел весов Вельтмана (Weltman, 1884) для линейных систем и электрическое решениеалгебраическихуравненийЛюка(F. Lucas, 1888).

Флоренский сам в 1922 году конструирует три прибора. Два первых предназначены для решения алгебраических уравнений высших степеней и даже многих трансцендентных. Первый прибор – гидростатический, а второй – электростатический. Третий прибор дает возможность интегрировать любые функции. Однако Флоренскому интересны не только вычисления. Он идет гораздо глубже того, что осмелились сказать западные эмпиристы, которые ограничились указанием методологических аналогий.

26

Предисловие автора к изданию на русском языке

Для нас важно не только то, что показывает механизм, но и то, как мы узнаем о его показаниях, и это «как узнаем» не есть нечто внешнее в отношении механизма, орудия познания, но его конститутивная характеристика. Когда в действительности мы чертим окружность циркулем, мы должны знать, прошел ли грифель через начальную точку; когда чертим прямую между двумя точками, должны знать, прижата линейка или нет, и т.д. Обычно о такой необходимости говорится, как если бы она удовлетворялась сама собою, пренебрегая когнитивным актом, которым она предпосылается, и, следовательно, несмотря на те стороны действительности, которые в подобные акты должны быть вовлечены. Обычный взгляд на дело есть тот, что требуется механизм, а все дальнейшее сделается само собою; иначе говоря, математику приписывается отвлеченно-метафизический атрибут всеведения, непосредственное знание […] механизм будет выполнять свое дело, а математик будет рассуждать о нем, не имея конкретной жизненной связи с предметом своего рассуждения. И тогда, в действительности, необходимые интуиции ограничились бы сферой кинематики, а в математике не было бы места для новых интуиций.

По мнению Флоренского, такая отчужденная и стерилизованная практика ошибочна и фактически невозможна, поскольку «для вычерчивания круга или прямой нужно видеть то, что происходит; в противном случае известно, что у прямой могут отсутствовать нужные точки, а окружность может не замкнуться. Кроме того, мы должны удостовериться, что линейка не двигается и что ножки циркуля не делают того же, и т.д. Познания того, что делаем, получаются с помощью ряда физических факторов, которые имеют место во времени и в пространстве».

Причина, по которой математики или должны открыто отсылать к телепатичности собственного познания, или же должны так же открыто утверждать опосредованность познания и с этим законно ввести в математику (что она всегда использовала нелегально) интуиции разнообразных элементов природы и их особенностей. Но тогда аксиоматика математики должна быть полностью пересмотрена.

«Также изобретать математическую формулу означает умение конструировать. Формула есть воплощение абстрактных понятий в определенном конкретном материале: словах, буквах, символах;

27

Философия математики: наследие двадцатого столетия

она – конструкция и с необходимостью требует инженерной деятельности».

В заключение, в математику должны быть введены физические модели, физические приборы и, возможно, даже химические, биологические и психологические пособия20. «Ничего нам не говорят прожилки и годовые кольца стволов деревьев, которые представляют систему силовых линий и поверхностей, тем более изопотенциальных?»21

Указания Флоренского, кажется, оставили определенный след в российской математике, если, конечно, они сами не встраиваются в некоторую более старую традицию, которая, к сожалению, автору не известна. Сегодня они, кажется, даже экспортируются. В связи с этим можно указать [Levi 2009], где приведена богатая подборка примеров, предложенная для перевертывания идеи о том, что математика – служанка физики. Почти по Флоренскому, «в этой книге физика начала работать на математику, выступая очень эффективной служанкой» (с. 2). Новая типология доказательства добавляется к уже известным22 – физическое доказательство.

Марк Леви учился в Советском Союзе в семидесятые годы и рассказывает, что уже в старших классах средней школы встретил и впитал подобную постановку в книге Успенского, переведенной

20Флоренский оказывается здесь почти пророком. Цепи рассуждений выстраиваются подобно сшиванию лоскутов, развернутых независимо друг от друга, как в аморфном бульоне олигонуклеотидов выстраиваются цепи в виде постоянно растущих сегментов, в которых связываются между собой цепочки, становящиеся все более длинными при присоединении комплементарных олигонуклеотидов. Это не только метафора. В 1995 году Леонард Эйдельман (Leonard Adleman) доказал существование гамильтонова пути в графе при помощи биохимического доказательства, используя полимеразу ДНК. См. [Cipra 1996].

21Это один из возможных примеров того, что подразумевал Флоренский, когда утверждал: «Все научные идеи, которые меня волнуют, были всегда порождены во мне ощущением тайны».

22Включая биохимические доказательства в сноске 20.

28

Предисловие автора к изданию на русском языке

на английский как [Uspenski 1961]. Для других примеров он отсы-

лает к [Kogan 1974] и [Balk e Boltyanskii 1987].

Чтобы читатель понял, о чем идет речь у Леви, приведем первый и самый простой пример (с. 6). Для того чтобы доказать, что для данных трех точек A, B, C на плоскости точкой X, для которой длина XA+XB+XC минимальна, является та, для которой каждый из углов AXB, AXC и BXC равен 120°, связываются вместе три шнура, пропущенные в три отверстия в точках A, B и C, с одинаковыми грузами (условный вес 1) на концах:

C

A

X

B

Точка плоскости, где расположен узел этих трех шнуров при уравновешенной системе, и является искомой точкой. Сумма XA+XB+XC имеет физический смысл потенциальной энергии системы, так как длина XA есть потенциальная энергия первого шнура, поскольку для перемещения А в Х необходимо поднять единичный вес на АХ. При равновесии все три силы натяжения в точке Х дают в сумме ноль и, следовательно, образуют треугольник векторов

Треугольник получается равносторонний, поскольку три силы равны, и, следовательно, углы – по 120 градусов.

Не удивляет, что этого подхода придерживаются, прежде всего, российские математики или эмигранты российской школы, если учесть ее великую дидактическую традицию. Все студенты в Европе во второй половине прошлого века использовали курс

29