Материал: Lolli_Filosofia_matematiki-1

Предисловие автора к изданию на русском языке

Философия математической практики смещает акцент с продукта на самого математика; она вызывает в авторе реакцию, аналогичную критике, которую в десятые и двадцатые годы прошлого века русские интеллектуалы, известные как формалисты (порочащий термин в устах их оппонентов), выдвигали против превалировавшей тогда тенденции в литературоведении (см. антологию [Todorov 1965]). Они сетовали на то, что в центр интересов ставились психологические, философские, социологические аспекты произведения, сведения об авторе или о социальном контексте, но не произведение само по себе; что мало говорилось, следовательно, о внутренних характеристиках литературного творчества. Для анализа последнего они сосредотачивались, напротив, на фонетических, лингвистических и структурных средствах литературного языка.

Натурализм (рассмотренный в главе 5 второй части) также увеличивает число своих последователей не только в направлении, указанном П. Мэдди (Penelope Maddy), и мог бы стать теоретической опорой для той же философии математической практики. Недавняя работа [Franks 2009], например, представляет собой оригинальную защиту автономии математики от любых философских оснований с использованием гильбертовских аргументов или, точнее, с помощью немного натянутой трактовки видения Гильберта, как если бы оно не имело никаких философских предпосылок.

Другой отличительной чертой этих последних лет является рост интереса к феноменологии, обусловленный исследованиями, посвященными столетию со дня рождения Гёделя (2007). Кроме упомянутой уже в основном тексте [Tieszen 1998], можно отме-

тить, например, новые работы [van Atten e Kennedy 2003], [Martin 2005], [Hauser 2006].

Еще одним долгом автора является обязанность пояснить отсутствие в его работе ссылок на российских мыслителей, если не считать краткогоупоминанияо А.А. Маркове в конце девятой главы.

В двадцатом веке российская математика и математика других республик, входивших в Советский Союз, была на высочайшем уровне, что не нуждается в доказательствах. Такие ученые,

15

Философия математики: наследие двадцатого столетия

как Д.Ф. Егоров, Н.Н. Лузин, П.С. Александров, П.С. Урысон, А.Н. Колмогоров, А.Я. Хинчин, А.И. Мальцев, П.С. Новиков, А.А. Марков, В.И. Арнольд вошли в историю математики, внеся вклад во все ее разделы от анализа до топологии, математической физики, логики и теории вероятностей несмотря на бурные, часто полные драматизма события, происходившие в стране.

Это пышное цветение не сопровождалось, как правило, явно выраженными философскими размышлениями, хотя это не означает, что российские мыслители не оказали влияния на философию математики. Аксиоматизация понятия вероятности Колмогоровым сыграла решающую роль не только для теории вероятности, но для полного понимания и принятия аксиоматического метода, причем роль эта, возможно, была даже более значительна, чем неустанная пропаганда Гильберта. Именно вклад А.Н. Колмогорова и В.И. Гливенко в интуиционистскую логику (вместе с результатами Гёделя) лежит в основе развития этой фундаментальной школы философии математики. Аналогичное утверждение можно сделать о роли А.И. Мальцева и значимости его теоремы о локальности в теории моделей, а также о значении результатов А.А. Маркова, Б.А. Трахтенброта, А.П. Ершова и других для теории эффективной вычислимости. Ультраинтуиционизм А.С. Есенина-Вольпина предвосхитил вопросы практической реализуемости (англ. feasibility), которые стали значимыми с развитием конечной вычисли-

тельной математики [Ésénine-Volpine 1961].

Отсутствие завершенной самобытной философии математики, как и более активного участия в разработке направлений, обсуждаемых в этой книге, обусловлено, вероятно, ограничениями, которые советская идеология накладывала на свободу мысли, используя также и политические инструменты. Если это впечатление автора ошибочно, то в его защиту можно сказать, что всегда необходимо помнить о том, как в течение долгих лет было трудно по-

16

Предисловие автора к изданию на русском языке

лучать информацию о происходящем в этой большой стране, и наоборот4– советские ученые получали мало информации извне.

Подтверждение может быть найдено в непростой истории математической логики в Советском Союзе. Страницы, которые следуют далее, должны быть истолкованы лишь как свидетельство знаний, которые были получены фрагментарно, поскольку в основном стали доступны на Западе только после 1989 года. Автор первым сознает, что картина, которая из этого складывается, драматически неполна и поэтому, вероятно, искажена и в хорошую, и в плохую стороны также из-за неизбежной склонности к использованию оценочных категорий, накопленных в другом контексте. Однако, в отличие от формальных систем математики, историческая картина, конечно же, дополняема, и условием для ее завершения является изложение известного, для того чтобы дать возможность затем его корректировать и обогащать.

Некоторые моменты истории логики были отчасти реконструированы с помощью многих документов и свидетельств5. Перед революцией 1917 года в России публикуются такие самобытные мыслители, как Н.А. Васильев (1880–1940), который в 1910 году изобретает логику без закона исключенного третьего и без закона непротиворечия, назвав ее «воображаемая логика». Сегодня он считается предвестником паранепротиворечивых логик6. После революции исследования медленно угасают несмотря на достойные внимания исключения. Так, в 1927 году И.И. Жегалкин (1869– 1947) независимо от Витгенштейна, Поста и Лукасевича изобретает таблицы истинности. В тридцатые годы Д.А. Бочвар в цикле работ предлагает неклассические системы для разрешения парадокса Рассела, введя среди прочего трехзначные пропозициональ-

4Единственной немарксистской работой советского логика по философии науки, с которой автору в свое время удалось ознакомиться, была [Zinov’ev 1973], опубликованная в Европе еще до того, как он стал известным писателем после публикации [Zinov’ev 1977].

5См., например, [Cavaliere 1990].

6[Vasiliev 1924] опубликована первый раз в Неаполе в 1924 году.

17

Философия математики: наследие двадцатого столетия

ные связки, использованные в дальнейшем С.К. Клини, США, (S.C. Kleene, USA) в теории вычислимости. Однако формальная логика подвергается нападкам со стороны защитников марксист- ско-ленинской или, просто, гегелевской диалектики как абстрактная и субъективная, стерильная и неспособная уловить движение (среди наиболее рьяных можно вспомнить Э.Я. Кольмана и В.Н. Молодшего). В 1930 году С.А. Яновская в журнале «Под знаменем марксизма» инициирует жестокую атаку на математиков, которые ревниво защищают математику (сарказм) от материалистической философии, осуждает Фреге, Рассела и Кантора как представителей буржуазной и идеалистической философии и надеется на обновление кадров на кафедрах математики Москвы и Ленинграда [Yanovskaya 1930]. В том же году Д.Ф. Егорова ссылают в Казань, где он через год умирает.

С.А. Яновская, сама математик, представляется фигурой спорной и противоречивой7. В тридцатые годы она стоит на выше обозначенных позициях и с усердием, достойным похвалы, посвящает себя изданию математических рукописей Маркса8; однако по прошествии нескольких лет ее поведение резко и до сих пор необъяснимо меняется. В 1947 году она переводит на русский кни-

гу [Hilbert–Ackermann 1928], а в 1948 – работу [Tarski 1937] и ста-

новится сторонницей математической логики и аналитической философии. Большой авторитет, который она имела в Коммунистической партии, позволял ей защищать новые взгляды и содействовать развитию логики, с 1959 года до своей смерти в 1966 году быть профессором кафедры математической логики в Московском университете. Сейчас имеется тенденция придать ее деятельности вес, может быть, чрезмерный. Препоны, чинимые логике, продолжились, как мы увидим, в особенности сразу после ее смерти из-за изменившейся политической ситуации. Но факт остается фактом,

7См. попытку подвести итог ее деятельности в [Bazhanov 2001].

8Эта инициатива имела важные последствия, прежде всего, в Китае, и привлекла внимание к нестандартным методам. См. [Dauben 1998].

18

Предисловие автора к изданию на русском языке

после первой волны открытого осуждения математическая логика была частично реабилитирована, уровень публикуемых книг значительно вырос, а работа [Novikov 1959] используется на равных с наиболее распространенными в США и Европе учебниками.

В общем плане, отходя от персоналий, заметим, что счастливый поворот, важный, в частности, и для судеб логики, на Западе приписывается известному письму Сталина по поводу марксизма и лингвистики, которое появилось в «Правде» в сентябре 1950 года. В нем можно было прочесть, что язык не является оружием господствующих классов в классовой борьбе, а принадлежит всем. Будучи языком, пусть даже всегда подчиненным диалектике, формальная логика также вновь обрела свою законность.

А.А. Марков (1903–1979) не дожидался письма Сталина для разработки своей философии9. Потомственный математик10, он, после начального этапа восхищения творением Кантора, попал под обаяние теории вычислимости, которую обогатил прежде всего определением особой вычислительной модели, так называемыми нормальными алгорифмами («алгорифмы Маркова» на Западе и сейчас также в России)11, и такими открывшими новые области исследований результатами, как неразрешимость проблемы равенства слов в полугруппах (одновременно и независимо от Э. Поста (Emil L. Post) в США, еще одного изолированного, но по другим причинам, трагика). Он также разработал свою оригинальную версию математического конструктивизма.

9Устные свидетельства дают основания полагать, что определение основных идей было осуществлено Марковым еще до Второй мировой войны,

см. [Anellis 1994].

10Его отец, полный тезка, является автором марковских процессов. Кроме логики, Марков (младший) еще до Второй мировой войны внес важный вклад в квантовую механику, теорию динамических систем (ему принадлежит концепция абстрактной динамической системы) и топологию.

11Автор выполнял свои первые упражнения по вычислимости, используя больше алгорифмы Маркова, чем машины Тьюринга, поскольку они были приняты в учебнике [Mendelson 1964], который широко использовался в США и Европе в шестидесятые-семидесятые годы.

19