Материал: Lolli_Filosofia_matematiki-1

Философия математики: наследие двадцатого столетия

речь идет об иллюзии, обусловленной замкнутостью теоретикомножественных построений, скрытых в подобных так называемых логиках. По мнению Куайна, логика второго порядка есть замаскированная теория множеств, «волк в овечьей шкуре»13. С другой стороны, формулировать теорию множеств в логике второго порядка как-то неестественно (теории классов не являются подходящими заменителями, так как сводимы к логике первого порядка). Такой подход не очень нравится математикам, поскольку нужно изучать что-то нематематическое перед началом работы.

Можно продолжать предлагать исправленный логицизм, однако исправить логицизм означает на практике решить и найти согласие по поводу того, что представляет собой логика. Альтернатив не так уж много, и ни одна из них не склоняет в свою пользу большинство мнений специалистов. Трудности, встреченные Фреге и Расселом, пока непреодолимы.

Р. Карнап попробовал избежать их, предложив логицистский подход14 в Кенигсберге на симпозиуме по основаниям математики в 1930 году при отсутствии других оставшихся в живых и активно работающих сторонников логицизма. Там он прокомментировал два тезиса логицизма. Первый – что математические концепции могут быть выведены из логических понятий посредством явных определений. Второй – что теоремы могут выводиться из логических аксиом посредством чисто логических выводов. После обсуждения различных трудностей и попыток их решения Карнап отметил близость программы как с интуиционизмом, в отказе от аксиоматических определений, так и с формализмом, в том смысле, что финальным результатом логицизма должна быть формальная система, причем такая, что определения и выводы могли бы быть осуществлены внутри нее. Учитывая общие взгляды Карнапа на принцип толерантности15, то есть на возможность свободного выбора логики при условии явной декларации сделанного выбора,

13 W.O. Quine, Philosophy of Logic, Englewood Cliffs, Prentice-Hall, 1986,

ch. 5.

14R. Carnap, Die logizistische Grundlegung der Mathematik, in Erkenntnis, 2, 1931, pp. 91–121, на английском в P. Benacerraf, H. Putnam, Philosophy of Mathematics, уже цит., pp. 31–41.

15R. Carnap, Sintassi logica del linguaggio, уже цит., §17, pp. 88 ss.

170

Логицизм

можно сказать, что логицизм с тех пор стал некоторой разновидностью формализма.

Сегодня есть философы и логики, которые объявляют себя неологицистами и пытаются реализовать программу Фреге. Делают они это менее амбициозным образом, отдавая себе отчет в том, что можно сделать, а что невыполнимо, как было доказано ранее. Фреге использовал несостоятельную аксиому V, чтобы вывести принцип, согласно которому «для двух концепций F и G число F равно числу G тогда и только тогда, когда F и G имеют одну и ту же мощность», где это последнее понятие было определено без использования чисел, в терминах соответствий. Из этого принципа, названного принципом Юма, Фреге выводил всю арифметику в рамках того, что сегодня определяется как непредикативная логика второго порядка. Главная идея неологицистов состоит в том, чтобы вновь предложить подобную постановку проблемы, отталкиваясь от принципа Юма. Этот принцип не является логической истиной и не представляет собой определение понятия числа, но может пониматься как объяснение понятия равенства мощностей. Если это объяснение можно считать аналитическим, как они, с учетом некоторых нюансов, думают, то, во всяком случае, реализуется цель логицизма в отношении доказательства аналитичности арифметики. Сомнения касаются, как обычно, использования логики второго порядка и необходимости, в любом случае, применения некоторой формы абстракции, как это обнаруживается, к примеру, в принципе Юма. Даже если эта особенная абстракция не является противоречивой в отличие от аксиомы V Фреге, то не совсем понятно, как естественным образом разграничивать законные абстракции от опасных16.

С другой стороны, присутствуют также те, кто утверждает, что нет никакой необходимости спасать логицизм, поскольку он является ошибочной философией. Это течение, к примеру, не отвечает принципу объективности, так как признает, что математика состоит из истин, не зависящих от субъективной деятельности,

16См. S. Shapiro, Talking about Mathematics, уже цит., ch. 5, pp. 113–118,

оработах таких авторов, как Crispin Wright, Neil Tennant и других. Смотри также подборку по теме в M. Schirn, The Philosophy of Mathematics today, уже цит.

171

Философия математики: наследие двадцатого столетия

однако не подводит под это нечто объективное, к чему бы эти истины относились. Отталкиваясь от определений, получаем в итоге чисто логические истины, как того требует название, которые зависят лишь от внутренней, в конечном счете, синтаксической структуры. Критика упрекает логицизм за то, что он таков, каким он и должен быть.

Предполагается также, что последовательный логицист должен использовать только логику для установления математических истин, однако «каждый математик знает, что его лучший результат базируется не на чистом рассуждении, а на некотором характерном виде озарения, который он называет «интуицией». Слово «интуиция» относится к способности постигать свойства структуры, которые он пока не в состоянии вывести»17. Эта критика весьма поверхностна. Даже не учитывая то, что уже отмечалось по поводу платонизма и касалось неоднозначного вопроса соотношения интуиции и дедукции, можно сказать, что она рисует немного механического логициста. Он может принимать то, что неявные свойства в определении некоторого понятия открываются понемногу, всегда за счет вывода, но, в то же самое время, может оставлять широкий простор для самых разнообразных эвристических стратегий, касающихся того, как выбирать свойства для изучения и, вероятно, верификации, как можно попытаться предвосхитить результат какого-то доказательства и других похожих поисковых работ, которые являются целиком субъективными и таковыми принимаются несмотря на отличие от объективной логики, которая, в итоге, должна бы восторжествовать.

17 N.D. Goodman, Mathematics as an Objective Science, уже цит.

172

Формализм

7. ФОРМАЛИЗМ

Направление, которое оспаривает у платонизма звание самой любимой математиками философии, называется формализмом. Он претендует, ни много ни мало, на разрешение всех проблем1:

Для среднего математика, который желает лишь верить, что его работа имеет прочное основание, наиболее привлекательным выбором представляется тот, который позволяет избежать разнообразных трудностей, обращаясь к программе Гильберта. Математика рассматривается как формальная игра, и остается лишь единственное беспокойство по поводу непротиворечивости.

Небольшая такая проблема. Формализм, однако, не стоит воспринимать лишь как отступление перед трудностями. Можно принимать его по убеждениям, исходя целиком из благих намерений. Так и было в первых заявлениях формалистов девятнадцатого века. К примеру, Фреге пришлось полемизировать с подобными позициями, которые использовали классическое сравнение математики с игрой в шахматы2:

Формальная концепция числа устанавливает менее жесткие ограничения, чем логическая концепция. Она не изучает сущность и значение чисел, а исследует их применение в арифметике. Арифметика же для формальной концепции есть игра с символами, которые, надо отметить, являются пустыми. Это заявление означает, что им (в игре под названием «вычисления») не принадлежит никакое другое содержание за исключением того, что должно быть присвоено с учетом их поведения в связи с определенными правилами взаимоотношений (правилами игры). Аналогичным образом шахматист использует свои фигуры. Он присваивает им определенные качества, которые определяют их поведение в игре, а фигуры являются лишь внешними символами этого поведения. Конечно, между шахматами и арифметикой имеется важное различие. Правила шахмат являются произвольными, тогда как система правил арифметики образована таким образом, что числа посредством

1P.J. Cohen, Comments on the foundations of set theory, уже цит.

2J. Thomae, цитировано из Фреге, см. следующую сноску.

173

Философия математики: наследие двадцатого столетия

простых аксиом могут быть приведены в соотношение с некоторыми интуитивными истинами, откуда следует, что они оказывают нам существенную услугу в познании природы.

Ответ Фреге также можно считать классическим3:

Вопрос в целом ясен. Чем отличается формальная арифметика от настоящей, простой игры? Томэ (J. Thomae), отвечая на этот вопрос, отправляет нас к услуге, которую она может оказать в объяснении природы. Это может основываться только на том, что числа кое-что значат, тогда как фигуры в шахматах, напротив, не значат ничего. Это может быть единственной причиной, по которой арифметике приписывается большее значение, чем шахматам. Все то, однако, что определяет такое различие, для Томэ находится вне арифметики, поэтому она по сути своей имеет тот же ранг, что и шахматы, и должна быть названа скорее искусством или игрой, чем наукой. Несмотря на то, что числовые символы что-то обозначают, по мнению Томэ возможно абстрагироваться от этого смысла и считать их просто фигурами, которыми манипулируют на основе некоторых правил. Если вновь вернуться к значениям, то именно в них правила нашли бы свое основание, но здесь это происходит, так сказать, за кулисами. На сцене формальной арифметики не дано наблюдать ничего из всего этого.

В возражениях Фреге содержится вся проблематика формализма. Эта позиция отвергает то, что математика представляет собой знание о некоторой реальности, и рассматривает ее как более близкую к чисто дедуктивной и игровой деятельности. Отсутствие значения не оставляет оппонентов равнодушными4:

Представим себе, что мы спрашиваем формалиста, в чем, по его мнению, заключается смысл основной теоремы арифметики5. Если он последовательный формалист, то должен ответить, что сама по себе теорема не имеет никакого содержания… Ощущение, что она имеет какое-то содержание, происходит от факта, что теорема играет вполне определенную роль в различных формах деятельности, в которые мы вовлечены. Это как позиция, которая часто встречается в шахматах. Если мы дадим более точное описание наших

3G. Frege, Grundgesetze der Arithmetik, Jena, Pohle, 1893–1902; частич-

ный итал. перевод I principi dell’aritmetica (1893–1902), в Logica e aritmetica,

уже цит., pp. 534–535.

4N.D. Goodman, Mathematics as an Objective Science, уже цит.

5Каждое число разложимо единственным образом на простые множители [прим. автора].

174