Материал: Lolli_Filosofia_matematiki-1
Формализм
действий с символами, к примеру, представляя некоторую особенную формальную систему, которая кодифицирует часть математики, тогда мы будем
всостоянии дать и точный отчет о роли основной теоремы арифметики. Мы смогли бы привести одно или несколько формальных доказательств теоремы
внашей системе и дать примеры применения теоремы в доказательстве других. Для формалиста, однако, теорема не имеет никакого значения за пределами той роли, которую она играет в наших действиях с символами. Она не является утверждением относительно натуральных чисел, поскольку для формалиста не существуют объекты такого рода.
Вэтом отрывке в общих чертах обрисована и приписана формалисту теория значения (роль, играемая в различных формах деятельности, в которых мы заняты), против которой не возражал бы,
кпримеру, Витгенштейн, если ограничиться только одним именем. Математики, которые рассуждают на философские темы, не всегда хорошо знакомы с их разнообразием и глубиной. В данном случае Николас Гудмэн представляет позицию, которую описывает как абсентеистскую, или позицию добровольного отказа, по отношению к значению, поскольку полагает, что значение может быть постигнуто лишь референциальным образом.
Можно выделить, по крайней мере, два момента в работе с формальной системой. Первый – механический, слепой вывод внутри системы на основе правил этой системы. Второй – построение самой системы, выбор языка, аксиом и правил, которые устанавливают границы возможных внутренних символических действий. Не ясно, разделяет ли формалист эти моменты, и, если это так, то какой из них представляет собой математику? Она могла бы быть скорее совокупностью настоящих и будущих систем, чем деятельностью по выводу внутри некоторых из них.
Существуют различные версии формализма. Некоторые утверждают, что непротиворечивость является единственным необходимым свойством формальной системы. Однако, принимая во внимание вторую теорему Гёделя о неполноте, она не может быть доказана внутри системы, если система кодифицирует достаточно богатую часть математики. Для математика, который работает внутри формальной арифметики, доказательство ее непротиворечивости выступает как нематематическое доказательство, внешнее
кэтой системе.
175
Философия математики: наследие двадцатого столетия
Другие версии формализма не требуют даже непротиворечивости. Выбор системы произволен. Соревнование между системами разрешается, вероятно, различными внешними критериями успеха (предполагается, что их можно определить) или внутренними, такими, как техническая сложность или красота манипулирования, т.е. критериями, которые опять-таки не являются математическими.
Нерешенной проблемой всех версий формализма, утверждающих, что формальные системы и есть сама математика, а не только ее представление, остается обоснование применимости математики, что вскрывается уже в дискуссии между Фреге и Томэ. Применимость проявляется как невероятная удача, невероятное стечение обстоятельств, состоящее в том, что системы, с которыми мы предпочитаем играть (по эстетическим причинам, традиционным или другим), оказываются также полезными и высокоэффективными. Правда, и другие философии не лучшим образом объясняют это, хотя некоторые из них и претендуют на знание ответа.
Логицизм заявлял, что решил проблему применимости математики. Предположим такую цепочку вывода, что если на столе есть семь яблок и пять груш и нет никаких других фруктов, тогда на столе есть двенадцать фруктов, и допустим обоснование этого вывода при помощи равенства 7+5=12. Трудность состоит в том, что 7 есть имя одного числа, или так думается, тогда как «семь» есть предикат множества яблок, находящихся на столе. Фразы и формула не стыкуются между собой. По мнению Фреге, однако, числовое присвоение никогда не является приписыванием числа объекту или совокупности объектов, а скорее является присвоением числа понятию. «Семь яблок на столе» утверждает Num(A)=7, где А есть понятие «яблоки, лежащие на столе». Таким образом, число является не понятием, а понятием понятия, как и изложено в определении Фреге. Теперь 7 и 5 появляются уже в первых предпосылках, и вывод посредством 7+5=12 следует легко и корректно в логической манере6.
6 M. Steiner, в The Applicability of Mathematics as a Philosophical Problem,
уже цит., утверждает, что Фреге прав, считая полностью удовлетворительным свое решение.
176
Формализм
Вопрос арифметических приложений был рассмотрен с точки зрения формализма Х. Карри (Haskell Curry)7, заключившим, что проблем нет. В каждой формальной арифметической системе имеются правила для эффективного генерирования нумералов, к примеру, повторение произвольным образом записи знака |. Утверждение, что некоторое множество имеет определенную мощность, означает, что это множество может быть поставлено во взаимно-однозначное соответствие с начальным сегментом последовательности таких знаков. Это утверждение, естественно, не является внутренним, не является математическим, что справедливо, поскольку оно относится к приложениям математики.
Формальные системы являются определенным способом представления математических аксиоматизированных теорий, когда уточняется язык и оговаривается использование логики рекурсивного исчисления, то есть логики, в которой следствия выводятся повторением применения некоторых синтаксических правил. Логика первого порядка относится к этому типу, поэтому возможно и корректно утверждать, что все математические теории (с логикой первого порядка) являются формальными системами. Однако такой подход справедлив для развитых и зрелых теорий, аксиомы которых окончательно утверждены, когда при введении других постулатов ясно, что мы оказываемся в другой теории. К примеру, если в теории полугрупп допустить коммутативность, то мы перейдем в теорию моноидов. Для теорий же, находящихся на начальной стадии развития, и для разделов аксиоматизированных теорий, которые еще предстоит разрабатывать, такой подход не приемлем. Исследовательский аспект математики даже не упоминается в формализме.
Формализм, утверждающий, что математика состоит в проведении формальных выводов и исчерпывается этим, конечно же слишком ограничен. Такая позиция не соответствовала взглядам Гильберта. Проблемы, которые он поднимал, не затрагивались в полемике между Фреге и Томэ. Для Гильберта представление тео-
7 H.B. Curry, Outlines of a Formalist Philosophy of Mathematics, Amsterdam, North Holland, 1951 и Foundations of Mathematical Logic (1963), New York, Dover, 1976.
177
Философия математики: наследие двадцатого столетия
рий как формальных систем было лишь определенной техникой перед применением инструментов математической логики к исследованию их логических особенностей и, прежде всего, непротиворечивости. Ничего более. Цитата же, приведенная в начале главы, несколько сбивает с толку, однако, к сожалению, она типична для идеи, которая уже распространилась и очень живуча. Математические исследования, задуманные Гильбертом, не мешали ему заявлять, что источник проблем и идей математики находился в физике и интуитивной геометрии. Для Гильберта некоторые утверждения, по крайней мере, комбинаторные, взятые обособленно, независимо от роли, которую они играли в дедуктивной цепи, имели значение.
Гильберт обладал большим персональным и вполне оригинальным видением по сравнению с формализмом девятнадцатого века. Его отправной точкой стали отрицание существования актуальной бесконечности в природе и констатация того, что невозможно, все-таки, развивать математику или принимать ту, которая была создана, ограничиваясь теориями, которые говорили бы о конечном. Достаточно вспомнить о понятии предела и о дифференциальном исчислении. Элементарные разделы арифметики, которые касаются комбинаторных конструкций объектов, имеют смысл и бесспорное истинностное значение. Те же самые конструкции реализуются на символах, которые являются конкретными объектами, и распознавание, а также манипуляции конкретными объектами и символами являются предварительным условием любой формы размышления.
Размышление, которое выражается в построении и манипуляции конечными объектами и символами, было названо Гильбертом финитным. Эта доктрина имеет априорное обоснование кантианского типа. Такая форма рассуждения является одновременно логической и математической. Здесь логика и математика переплетаются и связаны неразрывно. Невозможно положить одну из них в основание другой. Финитная арифметика является истинной и полной.
Новаторская идея Гильберта состоит в том, что нефинитные суждения, которые используют квантификации бесконечных сово-
178
Формализм
купностей, играют в выводах ту же самую роль, которую идеальные элементы (например, так называемые бесконечно удаленные точки) играют в других разделах математики, а именно, позволяют сделать теорию более стройной, общей и глубокой. Вспомним о конических сечениях, каждое из которых не является особой кривой, независимой от других. Все они объединены одной теорией именно благодаря точкам на бесконечности8:
Наконец, познакомился с двумя воображаемыми бесконечно удаленными точками I и J (названными некоторыми страстными поклонниками проективной геометрии Исааком и Иаковом [англ. Isaac и Jacob]). Эти точки обладали вдвойне абсурдной реальностью там, в небесах, в бесконечности (где бы ни было это)… за пределами зрительного воображения… Коника была окружностью тогда и только тогда, когда проходила через точки I и J. Вот вам загадка: тройное напряжение между тем, что было визуально представимо, между символическим и виртуальным, начинало приобретать некоторое чувственное качество.
Если бы Гильберту удалось доказать, что идеальные элементы являются безвредными в том смысле, что не добавляют ничего нового (и, следовательно, ложного) к истинам, относящимся к конкретным, финитным и разрешимым разделам, то есть что абстрактные теории являются консервативными расширениями элементарных, то не нужно было бы заботиться об их интерпретациях. Тогда стало бы не нужным обоснование бесконечных множеств, эффектно используемых в формулировках этих теорий, но оказалось бы возможным узаконить их применение, используя преимущества, которые они давали в терминах простоты и дедуктивной силы. Стало бы возможно распространить на бесконечные множества классическую логику, которая естественна в финитных разделах, с ее принципом исключенного третьего, опротестованным интуиционистами. Одним словом, стало бы возможно спасти «рай Кантора» современной математики.
Ретроспективно не трудно разглядеть непоследовательность в том, что для Гильберта высшим судом является суд классической
8 Ph.J. Davis, The Education of a Mathematician, Natick, Mass., A K Peters, 2000, p. 62. Отметим, что Дэвис – радикальный эмпирист.
179