Материал: Lolli_Filosofia_matematiki-1

Философия математики: наследие двадцатого столетия

математики, унаследованной от недавнего прошлого, и, в то же самое время, этот суд нуждается в более сильной легитимации. Уже признанная математика принимается лишь на основе вердикта еще одного суда, суда финитной математики.

В случае успеха программа Гильберта устанавливает достоверность математических истин, что не есть факт признания того, что математические истины верны или что они – истины. Это утверждение имеет смысл только у реалистов, платонистов или логицистов.

Путь, указанный Гильбертом для достижения задуманного, состоял в том, чтобы формализовать математические теории, сводя их к сочетаниям знаков, и представить доказательства как формальные образования, то есть тоже как финитные объекты. Об этих объектах можно было бы рассуждать, используя финитные арифметические методы. Доказательство непротиворечивости этих систем гарантировало бы консервативность их расширения и возможность работать с бесконечностью как с идеальным элементом9.

На симпозиуме по основаниям математики10 в Кенигсберге в 1930 году позицию формализма представлял Дж. фон Нейман (John von Neumann), являвшийся членом школы Гильберта, и его доклад был посвящен теории доказательств Гильберта. Это окончательно санкционировало двусмысленное использование этого термина, который сохранился до наших дней.

Возможно, по причине резонности программы или из-за больших ожиданий от ее реализации, возможно, из-за обаяния Гильберта или его авторитета большая часть математиков решила, что такая постановка (коротко – формализм) представляет собой программу оснований, наиболее предпочтительную с математиче-

9Для более детального ознакомления с историческим и техническим аспектами см. G. Lolli, Hilbert e la logica, в Atti del Convegno per il centenario dei “Grundlagen” di Hilbert (Catania, 1999), в «Le Matematiche», 55, 2000, suppl. 1, pp. 93–126. См. также M. Detlefsen, Hilbert’s Program, Dordrecht, Reidel, 1986 и G. Kreisel, Hilbert’s Programme, Dialectica, 12, 1958, pp. 346– 373; итал. перевод Il programma di Hilbert, в C. Cellucci, La filosofia della matematica, уже цит., pp. 185–221.

10Опубликовано в «Erkenntnis», 1931, pp. 91–121, ныне в P. Benacerraf,

H. Putnam, Philosophy of Mathematics, уже цит., pp. 31–54.

180

Формализм

ской точки зрения. Это убеждение до сих пор распространено, как мы уже видели, несмотря на провал программы или, по крайней мере, на необходимость ее чистки, так как, по мнению некоторых, программа не была окончательно похоронена второй теоремой о неполноте, и можно вновь ее рассматривать при соответствующем усилении финитарных методов.

Гипотеза Гильберта продолжает оставаться привлекательной для математиков настолько, что многие сегодня провозглашают себя формалистами, проповедуя ее как религию, принимая в то же время, что она недоказуема, в том числе и с использованием сложных уловок полной формализации. К примеру, А. Робинсон, уже цитированный, утверждает:

Моя позиция касательно оснований математики основана на следующих двух постулатах, или принципах: i) бесконечные совокупности не существуют ни в каком смысле этого слова… высказывания, которые претендуют на это, лишены смысла; ii) тем не менее, мы должны бы продолжать торговать математикой «как обычно», то есть должны вести себя так, как будто бы бесконечные совокупности существуют реально.

Подобный самообман присутствует вновь при рассмотрении теорий как формальных объектов из-за того, что правила формальной логики позволяют формально повторять любой возможный аргумент. Их непротиворечивость, однако, гарантирована лишь индуктивной очевидностью. Кроме того, вне постановки, предположенной Гильбертом, непротиворечивость сама по себе не гарантирует даже консервативный характер расширения, который не очевиден, как Гёдель часто отмечает, вводя новые аксиомы. Непротиворечивость служит лишь для того, чтобы не свести игру к банальности.

Несмотря на то, что изысканный, достаточно проработанный, но в чем-то искусственный замысел Гильберта продолжает вдохновлять современный формализм, последний, тем не менее, не может более делать ставку на его программу. Современный формализм не обещает достоверности обоснования, подобной гильбертовской. Он скорее похож на старый формализм Томэ и прежде всего стремится освободить математику и философию математики

181

Философия математики: наследие двадцатого столетия

от любых метафизических добавлений, характерных для платонизма и интуиционизма.

Современным формалистом, разрабатывающим подобный антиметафизический подход, является Х. Карри. В его взглядах заметно влияние неопозитивистского духа. Карри различает две возможности, или две основные точки зрения: контенсивизм (англ. contensivism, неологизм, который он ввел, сконструировав от немецкого Inhalt11) и формализм. Формализмом он называет любую философию, в которой математические объекты не являются специфицированными, а если являются, то их природа не важна для легитимности теорем, которые представляются инвариантными по отношению к возможной замене объектов.

Формалист, по мнению Карри, утверждает, что натуральные числа есть, по сути, любая система объектов, к которой применима формальная теория, известная как арифметика. Он принимает и широко использует теорему о полноте и нестандартные модели, не запрещает использование семантического языка и допускает даже платонистскую или интуиционистскую интерпретацию своей системы, но настаивает на том, что во главе угла стоит формальная теория, если речь идет о сути математики. В центр помещается, следовательно, доказательство. Формализм дает, по крайней мере, ясное определение и критерии опознавания доказательства.

Таким образом, формалист хотел бы не отбрасывать содержание и интерпретации, но оставаться независимым от любой формы контенсивизма. Он не стремится предъявить единую общую теорию для математики, поскольку знает, что, в силу теоремы Гёделя, не может существовать единственная теория, которая исчерпала бы все математические доказательства. Он не обеспокоен, следовательно, увеличением количества различных теорий множеств. Так как не существует привилегированной теории, то математика для формалиста есть общая наука о формальных методах.

Поскольку современный формалист имеет антиметафизические и номиналистические склонности, он предрасположен к тому допущению, что некоторые формы интуиции играют роль в математике, если они имеют лингвистическую природу или, по край-

11 Содержание, смысл, значение (нем. – прим. переводчика).

182

Формализм

ней мере, подлежат лингвистической формулировке и если вытекают из естественного развития практики, а не претендуют иметь априорный характер.

Наконец, Карри допускает, что некоторые слабые метафизические предположения неизбежны и бывают двух типов. Первый касается обычно природы символов, которые являются не простыми надписями, а классами эквивалентности эквиформных надписей. Второй – допущение наличия неограниченного пространства и времени, даже за пределами физических границ, для выполнения математических построений. Это кажется не совсем совместимым со строгим формализмом, в соответствии с которым заниматься математикой значит заниматься формальными доказательствами. Поскольку выводы произвольной длины не могут быть выполнены, о них можно рассуждать лишь метаматематически, но по сути, а не в качестве некой аббревиатуры.

Непротиворечивость для Карри не является необходимым условием, не говоря уже о ее недоказуемости. Теории создаются тщательно, внимательно и разрабатываются, пока остаются полезными, простыми и обоснованными в соответствии с критериями времени и не вводят нас в заблуждение, однако в них нет ничего абсолютного, ничего абсолютно верного.

В этой попытке построить более богатую философию, которая удовлетворяла бы отчасти принципу объективности, присутствует очевидное влияние эмпиризма и номинализма.

183

Философия математики: наследие двадцатого столетия

184