Материал: Lolli_Filosofia_matematiki-1

Философия математики: наследие двадцатого столетия

190

Конструктивизм

9. КОНСТРУКТИВИЗМ

Существуют разные типы конструктивизма, от либеральных до фундаменталистских1. Конструктивизм – это способ занятий математикой, и поэтому трудно обсуждать его, оставляя в стороне его творения. Философия является одним из мотивов, которые побуждают к развитию или к принятию только одного особого вида математики. Между самими конструктивистами нет согласия в том, должны ли они считать себя реалистами или идеалистами. Они ощущают себя реалистами, поскольку настаивают на конкретном характере математических конструкций, и обвиняют в идеализме тех, кто допускает всевозможные абстрактные сущности, порожденные безудержной фантазией. Но они считают себя идеалистами, поскольку видят математику как произведение человеческого разума, подчиненное определенным ограничениям.

Конструктивизм направлен на развитие такой математики, которая внимательно подходит к виду приводимых доказательств, к информации, извлекаемой из них, к действительному содержанию теорем. Под этим имеется в виду, что каждая теорема должна утверждать не то, что нечто существует, а то, что нечто может быть сделано в широком смысле. Конструктивизм требует большего внимания к используемой логике. Он, в своих разных версиях, предпочитает слабые логики, основываясь на принципе, что при решении проблемы скудными средствами необходимо проявлять изобретательность для выжимания максимума из возможностей этих инструментов, хотя это не единственный вдохновляющий принцип, и пожелание использовать слабую логику не всегда выполняется. Конструктивизм представляет собой, следовательно, ещё один раздел логики с тех пор, как логика выработала большое

1 См. D. Bridges, F. Richman, Varieties of Constructive Mathematics, Cambridge, Cambridge Univ. Press, 1987.

191

Философия математики: наследие двадцатого столетия

многообразие промежуточных логик2. Однако в целом по своим философским мотивам он направлен против логики, а к классической логике относится особенно подозрительно и недружелюбно. Он подвергает сомнению саму концепцию существования в математике и делает это не таким простым или упрощающим способом, как номинализм. В общем, философия конструктивизма располагается в идеалистическом лагере, то есть рассматривает математику как продукт человеческого мышления, идеализированного, по крайней мере, настолько, чтобы позволить ей овладеть хотя бы потенциальной бесконечностью. Для того чтобы оценить философию, нельзя оставить без технического рассмотрения результаты ее применения.

Все формы конструктивизма проводят линию раздела между математикой значащей и допустимой, с одной стороны, и, с другой стороны, той, которая может быть названа математикой без смысла, иллюзией, или, во всяком случае, некорректным использованием разума, выходящим за допустимые пределы несмотря на то, что производятся действия, правильные внутри определенных границ. Примером является закон исключенного третьего, который, без сомнения, справедлив для разрешимых свойств, однако сомнителен в отношении бесконечных неразрешимых свойств.

Все версии конструктивизма сближает отказ от классической математики, под которой понимается гармоничная структура, сформированная в девятнадцатом веке определением вещественных чисел, функциональных пространств и функционалов на них, структура, чьи свойства определены с помощью теории множеств и классической логики3. Конструктивисты исключают, кстати сказать, теоретико-множественный континуум, патологические примеры функций, множества, неизмеримые по Лебегу. Они отбрасывают диагонализацию Кантора и вслед за тем – характеристику «более чем счетное», но пытаются сохранить свойство неисчерпа-

2По поводу логических аспектов конструктивизма см. M.J. Beeson,

Foundations of Constructive Mathematics, Berlin, Springer, 1985.

3Строгое и современное изложение классической математики см. в J.K. Truss, Foundations of Mathematical Analysis, Oxford, Oxford Univ. Press, 1997.

192

Конструктивизм

емости действительных чисел в качестве своего заменителя континуума. Действительное число – не бесконечный объект, а метод генерации последовательности чисел4.

Э. Бишопу принадлежит недавняя формулировка, осуществляющая намерения конструктивистов и имеющая успех из-за тщательного изложения и удачной и интересной для математиков подачи материала5.

Это последнее условие весьма важно. Если до конца не ясно, хочет ли номиналист в самом деле убедить математиков заниматься этой наукой в соответствии со своим подходом, то для конструктивиста это стремление вполне реально. Соображения конструктивиста действительно могут произвести впечатление на математика, поскольку состоят в требовании «дать численное значение максимально возможному количеству разделов классической абстрактной математики». В математике встречаются положения, которые являются «чистыми заклинаниями», утверждениями без эмпирического смысла, чистой логикой. Встречаются и другие тезисы, которые, напротив, имеют прямую эмпирическую силу, как, например, те, которые утверждают, что определенные выполнимые операции произведут определенные наблюдаемые результаты. «Математика представляет собой смешение реального и идеального». Реальная часть обеспечивает проверку, идеальная часть позволяет производить упрощения и открывает новые возможности. Равновесие между ними должно быть разумным, а прагматические соображения должны оставаться финальным руководством. В полемике о недостаточности веса численных разделов в классиче-

4Программы для генерирования последовательностей – дискретные объекты, и их множество не является рекурсивно счетным, как известно из результатов о неразрешимости. Теорема Кантора о несчетности континуума тогда нейтрализуется и переформулируется благодаря обстоятельству, что любое его фактическое перечисление (или некоторые из них) может быть действительно диагонализировано так, чтобы предоставить новое числопрограмму.

5E. Bishop, Foundations of Constructive Analysis, New York, McGraw-Hill, 1967. Цитаты взяты из этого текста. Рассмотрены и другие работы, к

примеру, E. Bishop, H. Cheng, Constructive Measure Theory, Providence, R.I., AMS, 1972.

193

Философия математики: наследие двадцатого столетия

ской математике конструктивизм руководствуется следующими этическими принципами: делать любую концепцию утверждающей, даже, например, концепцию неравенства; избегать лишних определений; избегать мнимой общности.

Э. Бишоп начинает свой конструктивистский манифест с утверждения, что главный интерес математики есть числа, целые положительные числа. Естественно, он вспоминает Кронекера и его утверждение, что натуральные числа были созданы Богом, остальное – человеком6, но уточняет, что натуральные числа были созданы на благо человека: математика человечна. От натуральных чисел он поднимается к более высоким уровням математического существования, вводя числовые структуры и функции Анализа, рассматривая функции и отношения между сконструированными уже понятиями и обязательно гипостазируя их, и осуществляет все это на основе конструктивного подхода.

Теорема Больцано–Вейерштрасса, с которой знакомы все студенты, не является конструктивной, поскольку если бы это было так, то должно было бы происходить следующее. Пусть дана ограниченная последовательность {xn} рациональных чисел, и нужно рассчитать верхнюю грань с желаемой степенью точности, однако не существует общего метода для построения конструктивного процесса, который вычислял бы такое число для любой последовательности, заданной конструктивно. Если бы он существовал, тогда для любой конструктивной последовательности из 0 и 1 такой метод или доказал бы, что все её члены есть 0, или выдал бы n, для которого xn есть 1. Подобный метод разрешил бы все открытые проблемы, от проблемы Ферма (во времена Бишопа) до гипотезы Римана, посредством очевидного кодирования всех математических высказываний.

Термин «конструктивный» до сих пор был использован неформальным образом. Его уточнение не представляется простым, поскольку речь идет об открытом понятии. Спрашивается, к примеру, считается ли конструктивно заданной некоторая последовательность целых чисел, если допускается построение, в котором n-й

6 L. Kronecker, Über den Zahlbegriff, in Crelle’s Journal, 101, 1887, pp. 337–355.

194