Материал: Lolli_Filosofia_matematiki-1

Философия математики: наследие двадцатого столетия

доказательством невозможности. Следовательно, утверждать отрицание некоторого высказывания есть дело, требующее усилий. Доказательство невозможности проводится демонстрированием того, что определенное допущение приводит к противоречию. Доказательства также являются конструкциями. Намерение не-р удовлетворяется проверкой, что р есть абсурд. Выражаясь словами Беккера, цитированного Гейтингом, отрицание есть ожидание некоторого противоречия, содержащегося в первоначальном намерении.

Дизъюнкция, если рассматривать одну из традиционных логических связок, также является намерением. Она может утверждаться (быть истинной), только если утверждается одно из двух суждений в связке. Следовательно, р или не-р может утверждаться, только если имеется доказательство р или имеется доказательство того, что удовлетворение р ведет к противоречию. Два суждения «р» и «доказуемо, что р» выражают два разных намерения, первое из которых удовлетворяется построением, относящимся к тому, о чем говорит р, второе – построением, представляющим собой доказательство р. Аналогично, «недоказуемо, что р» и «доказуемо, что не-р» выражают два различных намерения, причем второе, понятно, сильнее первого. Легко представить также ситуации, в которых ни р не удовлетворяется, ни доказательства, что р – абсурд, тоже нет. Легко, прежде всего, если математика понимается в сочетании с идеей произведения творческого субъекта, как зависящая от времени, как совокупность выполненных построений, а не как совокупность истин. Отсюда видно, что принцип исключенного третьего неприемлем. Гамлет явно был интуиционистом, поскольку to be or not to be было для него проблемой, а не тавтологией. Другие интерпретации интуиционистской логики представляют ее как исчисление задач13.

13 A.N. Kolmogoroff, Zur Deutung der intuitionistische Logik, in «Mathematische Zeitschrift», 35, 1932, p. 565; A. Grzegorczyk, A philosophically plausible interpretation of intuitionistic logic, in «Indagationes Mathematicae», 26, 1964, pp. 596–601.

200

Конструктивизм

Во всяком случае, для любого р, р или не-р есть ожидание некоторого математического построения, следовательно, логика зависит от математики и отнюдь не лежит в ее основании.

Логика, применяемая в математике, должна, следовательно, строиться, отталкиваясь от математического понятия доказательства. М. Даммит14 использовал эту идею как фундамент для логики в целом, для семантики в частности, применяя простейшее понятие доказательства интуиционистским образом.

Гейтингобращается, преждевсего, клогикеиарифметике15, ане к проблеме континуума, и строит некоторую формальную интуиционистскую логику – одну из тех формальных систем, против которых выступает даже Бишоп. Интуиционистская логика имеет интересные интерпретации как в терминах возможных миров, исчисления задач, так и в терминах функционалов. Подобные системы интересны в теории доказательства для измерения силы различных теорий16, но также верно, что с ними снижается немного подрывной заряд интуиционизма. Гёдель начал показывать то, что известно как принцип двойного отрицания, сначала для логики, затем для арифметики, иначе говоря, то, что двойное отрицание любой классической теоремы выводимо в интуиционистском смысле (то есть что невозможно доказать, что оно абсурдно). Интуиционистские системы дают, следовательно, доказательства относительной непротиворечивости для логикииклассическойарифметики.

До своего разбавления логикой интуиционизм Брауэра в двадцатые годы привлекал значительное внимание. Брауэр, будучи блестящим геометром, стал непримиримым оппонентом Гильберта не только на поле философии математики, но также и в академических дискуссиях. Гильберт был напуган его успехом в вопросе оснований и говорил об интуиционистской революции как о путче.

14M. Dummett, The Logical Basis of Metaphysics, Cambridge, Mass., Harvard Univ. Press, 1991; итал. перевод La base logica della metafisica, Bologna, Il Mulino, 1996.

15Смотри A. Heyting, Intuitionism. An Introduction, Amsterdam, North Holland, 1956.

16Смотри, к примеру, A.S. Troelstra, Metamathematical Investigation of Intuitionistic Arithmetic and Analysis, уже цит.

201

Философия математики: наследие двадцатого столетия

В итоге он для защиты математики от угрозы Брауэра серьезно занялся теорией доказательства. Вейль, напротив, был среди тех, для кого Брауэр представлял настоящую революцию.

Вейль флиртовал с интуиционизмом весьма недолго. Но еще до этогоонразработалсвоюсобственнуюверсиюконструктивизма17.

С самого начала Вейль выступил как трансцендентальный идеалист, обращаясь более к Фихте, чем к Канту, при некотором гуссерлианском влиянии. В своих работах он часто рекомендовал обращаться к рассуждениям Фихте. У Канта он усвоил, что познание требует априорных понятий и интуиции, и его работа может рассматриваться собственно исследованием отношений между формальными теоретическими понятиями и интуицией. В идеализме Вейля объективная истина не отвергается, однако рассматривается исходя из абсолютной, безусловной данности, которая является чистым сознанием. И реальный мир дан как интенциональный объект деятельности сознания18.

Как и у Гуссерля, думать для Вейля значит всегда думать о чем-то (что исключает, может быть, что обдумывать некоторый логический принцип означает думать), и намерения могут удовлетворяться или нет. Чтобы знать, что некоторый объект соответствует некоторому намерению и что мысль, следовательно, не пуста, необходима очевидность, и источник этой очевидности есть интуиция.

Для математики отправной точкой может быть любая интуиция, сопровождаемая ее повторением и интуицией этого повторения, что приводит к интуиции определенной итерации всякой интуиции. Именно это, а не бесконечные повторения, есть основание натуральных чисел, именно интуиция делает так, что понятие «натуральное число» экстенсионально определено. Такая интуиция представляется, очевидно, тесно переплетенной с интуицией времени.

17См. R. Tieszen, The philosophical background of Weyl’s mathematical constructivism, in «Philosophia Mathematica», 8, 2000, n. 3, pp. 274–301. См. также

J.L. Bell, Hermann Weyl on intuition and the continuum, ibidem, pp. 259–73.

18H. Weyl, Raum, Zeit, Materie, Berlin, Springer, 1918.

202

Конструктивизм

Так как бесконечность может быть постигнута благодаря лишь чистой интуиции, которая представляет собой идею итерации, то в примере с натуральными числами бессмысленно поворачивать вспять и искать теоретико-множественное основание для них.

Винтуиции итерации нет возможности появления порочного

круга, тогда как в мышлении, которое не основано на подобной интуиции, он всегда «сидит в засаде»19. Вейль придумывает парадокс прилагательного «гетерологический», чтобы дать пример интуиции, удовлетворение которой невозможно по принципиальным причинам. Он принимает, следовательно, сторону Пуанкаре в обличении непре-

дикативности и предлагает пересмотр Анализа, в котором не приме- няетсянепредикативнаятеоремаБольцано–Вейерштрасса20.

Визложении своего предикативистского Анализа Вейль часто прибегает к существованию верхнего экстремума для ограниченных последовательностей рациональных чисел. В этом случае верхний экстремум можно определить, используя кванторы только на натуральных числах.

Сверх натуральных чисел предикативист допускает только уровни, образованные множествами, которые являлись бы определимыми в терминах множеств уже данных. Прояснение концепции определимости во многом обязано трудам Вейля, который уже в своей дипломной работе 1910 года интересовался этим вопросом, предлагая определенный язык и совокупность правил, которые в дальнейшем стали называться логикой первого порядка. Однако из повторяющихся уровней определимости над натуральными числами Вейль принимал лишь первый, выступая при этом менее либеральным, чем сам Гуссерль, что в результате не позволило ему развить идеи, которые затем привели Гёделя к иерархии конструируемых уровней.

Вейль продолжил размышлять над Анализом, который он

предлагал, и над континуумом, который в нем был рассмотрен. Для него было очевидно, что (его) математический континуум и

19H. Weyl, Der “circulus vitiosus” in der heutigen Begründung der Analysis, in «Jahresbericht der Deutsche Matematiker-Vereinigung», 28, 1919, pp. 85–92.

20H. Weyl, Das Kontinuum, уже цит.

203

Философия математики: наследие двадцатого столетия

континуум интуитивный не совпадали. Формальный континуум был неизбежно атомистическим. Вейль мог лишь требовать, чтобы это формальное изложение было принято как некоторая теория континуума, оправдание которой нужно было искать в каком-то другом месте, как то происходит для физических теорий. Числа и функции предикативного Анализа допускают, по мнению Вейля, по крайней мере, некоторую трактовку движения, согласующуюся с тем, что обнаруживается в мире физической объективности. С. Феферман утверждает, что по прошествии времени такая адекватность нуждам физики, кажется, подтверждается21.

В своем размышлении по поводу атомистического математического континуума, не соответствующего непрерывному континууму интуиции, Вейль приближается к Брауэру. В 1921 году он заявляет о прекращении собственных независимых разработок и принимает полностью сторону интуиционизма. Он думал, что континуум Брауэра мог бы быть математическим представлением интуитивного континуума, обоснованного интуицией потока сознания, а не физическими приложениями, для которых было достаточно того атомистического понятия. Не было, однако, полного согласия между двумя мыслителями по поводу свободно становящихся последовательностей. Для Брауэра они были индивидами и не могли быть квантифицированы. Для Вейля же лишь законосообразные последовательности были неделимыми, но не свободно становящиеся последовательности. Сущность последних заключалась, собственно, в представлении действительных чисел как становления в некотором недетерминированном временном потоке, где нет точек без длительности. Вейль предвосхищает даже Брауэра в замечании, что все вещественные функции являются непрерывными не в силу какого-то доказательства, а на основе непрерывности интуитивного континуума и невозможности разделения его на отдельные части.

Однако начиная с 1924 года Вейль все чаще публично заявляет о своей озабоченности по поводу ущерба, который отказ от за-

21 S. Feferman, Weyl vindicated. «Das Kontinuum» 70 years later, in Temi e prospettive della logica e della filosofia della scienza contemporanee, a cura di C. Cellucci e G. Sambin, vol. 1, Bologna, Clueb, 1987, pp. 59–93.

204