Материал: Lolli_Filosofia_matematiki-1

Конструктивизм

член находится путем некоторой поисковой процедуры, а то, что этот поиск завершится, фактически гарантируется некоторым доказательством в формальной системе? Бишоп не принял бы этого, но он отдает себе отчет в том, что читатель вначале может его не понять. Лишь в процессе дальнейшего чтения и рассмотрения примеров, становящихся все более точными, проясняется понимание того, что означает «конструктивный», того, как это понятие использует автор. И может статься, что сам автор не владеет полностью всеми ветвями своих определений и вынужден модифицировать интерпретации и даже непосредственно определения, чтобы соответствовать тому, что диктует практика. Поначалу присутствует естественная тенденция выбора, насколько это возможно, рекурсивных функций как парадигмы конструктивных методов, однако не это является настоящим ограничением, поскольку, кроме всего прочего, определенные аспекты самой теории рекурсивных функций не являются конструктивными.

Показателем неконструктивности, по мнению Бишопа, является принцип всезнания, который является не чем иным, как принципом исключенного третьего, приложенным к утверждениям относительно бесконечных свойств и бесконечных множеств. Принцип всезнания в узком смысле утверждает, что для всякой бесконечной последовательности целых чисел {nk} или существует k, для которого nk = 0, или же все члены отличны от 0. Он кажется очевидным в силу привычки, унаследованной от классической логики, но7

Многие теоремы в классической математике зависят существенным образом от принципа всезнания в узком смысле … Можно привести несколько примеров: теорема, что всякая вещественная непрерывная функция на закрытом ограниченном интервале достигает своего максимума; теорема о неподвижной точке для непрерывного отображения некоторой замкнутой области пространства в себя; эргодическая теорема; теорема Хана–Банаха. Тем не менее, эти теоремы не должны быть потеряны в конструктивной математике. Любая из этих теорем P имеет конструктивную замену Q, которая представляет собой теорему, сформулированную в рамках конструктивного подхода, и которая имплицирует P в классической системе, с доказательством, кото-

7 E. Bishop, Foundations of Constructive Analysis, уже цит., p. 9.

195

Философия математики: наследие двадцатого столетия

рое, в общем, является простым обращением к принципу всезнания. К примеру, у теоремы о том, что любое непрерывное отображение некоторой замкнутой области евклидова пространства в себя имеет неподвижную точку, существует конструктивная замена в виде высказывания, что подобное отображение допускает точку, как угодно близкую к ее отображению.

Часто классическая теорема имеет больше одного заменителя, в том смысле, что она разбивается на разные теоремы, тонко используя и варьируя каждую гипотезу и способ достижения заключения. Эти заменители всегда дают больше информации, поскольку предоставляют алгоритмы или эффективные методы, или ограничения для возможных заключений. Теоремы о существовании всегда заменяются эффективными версиями. Большое количество разделов, в которых имеются хорошие конструктивные замены теорем классической математики, является для Бишопа доказательством того, что классическая математика имеет существенную опору в виде конструктивной истины. Такая постановка вопроса поясняет причину успеха Бишопа и внимание, которое конструктивизм вернул себе8.

С точки зрения Бишопа, ранее конструктивизм не пользовался доброй репутацией по причине философских излишеств Брауэра, «вовлеченного в метафизические спекуляции из-за своего желания улучшить теорию континуума» в ущерб конкретной математической деятельности. С именем Брауэра и с интуиционизмом связано существование конструктивизма в двадцатом веке. Однако Брауэр, казалось, верил, как утверждает Бишоп, что без его вмешательства континуум стал бы дискретным. Его ученики в дальнейшем изменили его духу, пускаясь на компромиссы с логикой. Другие последователи сменили флаги, как Вейль, который «подавил свои конструктивистские убеждения», полагая, что «идеалистическая математика найдет свое оправдание в приложениях к физике».

Если вернуться в прошлое, следуя этим вехам, то там мы обнаружим представителей конструктивизма, существенно более философски мотивированных, нежели Бишоп с его прагматиче-

8 Помимо предыдущих ссылок см. A.S. Troelstra, D. Van Dalen, Constructivism in Mathematics, vol. 1, Amsterdam, North Holland, 1988.

196

Конструктивизм

ским подходом и другие современные последователи, целиком обращенные к доказательству теорем без прочих фантазий, взятых из головы.

Основой интуиционизма, как начиная с 1907 года заявлял Л.Э.Я. Брауэр9, является положение о радикальном разрыве между мышлением и языком. Математика есть продукт человеческого разума. Выражение, сформулированное на некотором языке, не является математикой и не является также представлением математики. Язык служит лишь для сообщения, для предоставления возможности другим (попытаться) следовать за твоей мыслью10. Человеческое мышление иногда идеализируется интуиционистами, но чаще представляется состоящим из единичных актов мышления. Для них не существует какого-то коллективного ума, в частности, ум не бесконечен и работает всегда с конечным количеством информации. Математика заключается в ментальных конструкциях, первая из которых представляет собой натуральные числа и основана на

восприятии некоторого перехода времени, определенного расщепления некоторого момента жизни на две различные вещи, одна из которых уступает место другой, но остается в памяти. Пустая форма двуединства, порожденная таким образом, представляет собой базовую интуицию математики.

9Из большого количества источников цитируем только D. Van Dalen,

Mystic, Geometer and Intuitionist: The Life of L.E.J. Brouwer, vol. 1, Oxford, Oxford Univ. Press, 1999 и W.P. van Stigt, Brouwer’s Intuitionism, Amsterdam, Elsevier, 1990.

10L.E.J. Brouwer, Historical background, principles and methods of intuitionism, in South African Journal of Science, 49, 1952, pp. 139–143; итал. пере-

вод Fondamenti storici, principi e metodi dell’intuizionismo, in C. Cellucci, La filosofia della matematica, уже цит., pp. 223–231. Другие вводные сочинения Брауэра и Гейтинга напечатаны в той же самой антологии, на стр. 233–267. Философские работы Брауэра опубликованы в L.E.J. Brouwer, Collected Works (под ред. A. Heyting), vol. 1, Amsterdam, North Holland, 1975. Литерату-

ра по интуиционизму очень обширна. Доступное представление интуиционистской логики и математики имеется в M. Dummett, Principles of Intuitionism, Oxford, Clarendon Press, 1977.

197

Философия математики: наследие двадцатого столетия

Интуиция времени напоминает Канта. Брауэр называл Канта протоинтуиционистом, но его интуиция сильно отличается от кантианской, она креативна, не ограничена, как у Канта, наполнением понятий. Естественно, эта интуиция отличается и от той, о которой говорят платонисты. Слово «интуиция» использовалось во многих областях наукивначалевека. Несмотрянато, что замыселБрауэрабыл,

вцелом, оригинальным, с налетом мистицизма, он сам признает, что среди многочисленных недругов из рядов формалистов или логицистовбылиите, когоможно назватьпредшественниками.

Среди предвестников интуиционизма иногда называют фран-

цузских математиков, которые известны как полуинтуиционисты: Э. Борель, Р. Бэр, А. Лебег и А. Пуанкаре11. Все они придерживались мнения, что основа и единственная абсолютно гарантированная часть математики представлена натуральными числами. Интуиция натуральных чисел непоколебима, числа являются объектом первичной интуиции. На этой основе могут использоваться лишь методы, которые работают с определимыми сущностями. Необходимо исключить актуальную бесконечность (с различными оттенками, кое-кто исключает также потенциальную бесконечность) и аксиому выбора, что для последовательного конструктивиста, наоборот, допустимо, поскольку, если данные представлены конструктивно, выборы могут производиться при помощи некоторой систематической процедуры.

Все математические объекты для Брауэра являются умственными конструкциями. Слово «конструкция» также напоминает Канта, но имеет отличное, самое общее, значение. У Канта оно имело технический смысл геометрических построений с циркулем и линейкой. Кроме базовой интуиции, ум для Брауэра имеет и другие способности конструировать новые математические сущности,

вчастности, последовательности чисел. Для построения (необычных заменителей) континуума Брауэр, который так и не закончит свои размышления над этой проблематикой, введет многие новые

11 Информацию о полуинтуиционистах в связи с зарождающейся теорией множеств можно найти в G. Lolli, Dagli insiemi ai numeri, уже цит., Parte I. По поводу предикативизма Пуанкаре см. A. Cantini, Una nota sulla concezione semiintuizionista della matematica, in «Rivista di Filosofia», 69, 1978, pp. 465–486.

198

Конструктивизм

концепции, такие, как законосообразные последовательности, свободно становящиеся последовательности, объяснения, виды. Он сформулирует оригинальные методы доказательств, такие, как теорема о запирании, интуиционистские аналоги индукции (бариндукция) и леммы Кёнига, которые совершенно эквивалентны своим традиционным аналогам, но неприятны математикам несмотря на то, что некоторые из них полезны для лучшего понимания непрерывности.

Брауэр замечает, что если некоторую выполненную конструкцию облечь в лингвистическую форму, то к ней могут применяться лингвистические преобразования. Результатом будет то, что в свою очередь может быть описанием некоторого возможного построения, в случае которого язык выполняет функцию кратчайшего пути до него. Это законно и гарантированно, лишь если в преобразованиях использовались некоторые определенные логические принципы, а не другие. Принцип непротиворечивости допустим, а закон исключенного третьего – нет.

Обоснование этих положений представляется более четким в изложении других авторов, которые в своих усилиях сделать интуиционизм более убедительным систематически обращались к логике. Главное место среди них принадлежит А. Гейтингу, ученику Брауэра, который в 1930 году излагает принципы интуиционизма12 и при этом явным образом ссылается на Гуссерля.

Математическое высказывание для Гейтинга выражает некоторое ожидание или, в феноменологических терминах, некоторое намерение. Утверждение или подтверждение высказывания есть признание исполнения этого намерения. Таков всегда смысл утверждения. В отличие от высказывания или намерения, подтверждение является эмпирическим делом (к слову сказать, не выставляются, к примеру, пространственные и временные ограничения). Ожидание удовлетворяется при помощи некоторой конструкции, при помощи предъявления объекта. Неудовлетворение некоторого ожидания, не врéменное, а окончательное, реализуется

12 A. Heyting, Die Intuitionistiche Grundlegung der Mathematik, на Кёниг-

сбергском симпозиуме 1930 года, уже цит., англ. перевод в P. Benacerraf, H. Putnam, Philosophy of Mathematics, уже цит., с. 42–49.

199