Материал: Lolli_Filosofia_matematiki-1

Конструктивизм

конов классической логики наносил структуре передовых теорий, и разрушения прекрасного здания классической математики22.

Неизбежно происходит его встреча с Гильбертом, который был озабочен теми же самыми проблемами. Вейль не отвергает Брауэра, но считает неотъемлемой основную часть математики, в которой присутствуют понятия без построений, данных интуицией. Продолжая допускать, что в этой части математики мы не имеем знания (имеем, скорее, веру ), он считает, что нужно все-таки с ней согласиться. Он называет ее символической математикой. Математика, не основанная на интуиции, претендует на разговор о трансцендентном, приглашает к наивному реализму. Реализм неприемлем для идеалиста, но через гильбертовский аксиоматический формализм сознание пытается перепрыгнуть свою тень и представить трансцендентное посредством символов. Если математика должна сохранять некоторую культурную ценность, то нужно постараться придать смысл игре формулами. Для этого Вейль выделяет третью возможность, кроме идеализма и наивного реализма, некоторую перспективу, которую называет уровнем теоретического конструирования23:

Но где этот трансцендентный мир, привнесенный верой, на который ссылаются символы? Я не нахожу его, если только не объединю полностью математику с физикой и не допущу, что математические концепции числа, функции и т.д. (или символы Гильберта) в целом играют ту же роль в теоретическом конструировании реальности, что и концепции энергии, гравитации, электрона и т.д.

Теоретическое конструирование отличается от интуиции, приближаясь к художественному произведению как некоторый креативный импульс к символическому представлению трансцендентного.

Как и Гильберт, Вейль в итоге ищет обоснования как для конструктивной математики, так и для классической.

22 H. Weyl, Filosofia della matematica e della scienza naturale, уже цит.,

с. 54.

23 H. Weyl, Die heutige Erkenntnislage in der Mathematik, in Symposion, 1, 1925, pp. 1–23.

205

Философия математики: наследие двадцатого столетия

Среди крайних конструктивистских подходов стоит упомянуть также ультраинтуиционизм24 и попытки совсем обойтись без отрицания25.

Панорама конструктивной математики в действии, понимаемой как нечто отличное от оснований, представляется весьма пестрой. Сюда входят, к примеру, русская школа, базирующаяся на алгорифмах Маркова, конструктивная алгебра, исследования рекурсивных аналогов классических концепций26. Метаматематические же исследования рассматривают построение систем, представляющих частные подтеории классических теорий, и среди них большое внимание получили теории Фефермана27.

Необходимое заключительное замечание по поводу значения конструктивизма в целом состоит в том, что разделы математики, которые расценивались как лишенные смысла и отбрасывались конструктивистами, представляют собой темы, касающиеся континуума или вопросов еще более абстрактных и крайне редко рассматриваемых в школьной математике. Преподаватели фактически преподают, если преподают, конструктивную математику. С другой стороны, конструктивная трактовка представляется более тонкой, это определенный вызов мыслительным способностям и экологической технологии их использования, это отказ от стрельбы из пушки по воробьям, когда достаточно рогатки. Для будущих преподавателей было бы полезно близкое знакомство с конструктивистским изложением действительных чисел и вещественных функций вместо того, чтобы пассивно воспринимать изложение классическое, которое полностью оторвано от простейшей практики.

24A.S. Esenine-Volpine, Le programme ultra-intuitionniste des fondements des mathematiques, in Infinitistic Methods, Oxford, Pergamon Press, 1961, pp. 201–233.

25N. Dequoy, Axiomatique intuitionniste sans negation de la geometrie projective, Paris, Gauthier-Villars, 1955.

26D. Bridges, F. Richman, Varieties of Constructive Mathematics, уже цит.

27M.J. Beeson, Foundations of Constructive Mathematics, уже цит.

206

Структурализм

10. СТРУКТУРАЛИЗМ

Как структурализм, так и дедуктивизм, о котором поговорим в дальнейшем, не являются полноценными философиями, а скорее представляют собой лаконичные определения математики. Они выбирают один единственный характерный аспект: структуры – в первом случае, теоремы – во втором. Эти направления нарушают, конечно, принцип объективности и потому, что не дают ответов на все философские вопросы, и потому, что совсем пренебрегают разнообразными аспектами ежедневной практики. Но они делают это намеренно, поскольку не хотят заниматься ни философией, ни социологией. Тот, кто предлагает эти направления, хочет сказать, что есть математика с точки зрения математика. Эти две позиции предлагают мало, но они не предлагают глупостей и не рискуют быть фальсифицированными. Они выставляют, во всяком случае, на первый план, некоторую значимую характеристику, хотя и раскрывающую особенности математики лишь частично. Кроме того, они дают определение дисциплины в научных, математических терминах, и этого достаточно для тех, кто принимает эти направления. Следовать философским вопросам означало бы свернуть с центральной дороги в переулок без конца.

Структурализм утверждает, что математика есть изучение структур. Такая формулировка встречается и в других изложениях, к примеру, в гиперплатонизме, и не случайно. Если спросить математика, что он изучает, то ранее он ответил бы, что изучает числа или пространство, а сейчас чаще отвечает, ссылаясь на какие-то классы структур. Характерной особенностью структуралиста, однако, является, в отличие от реалиста, отказ отвечать на вопрос о том, что есть структуры, – ответ математически излишний. Но, все равно, он должен объяснить, как они заданы в математическом исследовании, и это можно сделать разными способами.

Первая уловка – это использование неформальной семантики, в которой фундаментальные понятия рассматриваются как первичные

207

Философия математики: наследие двадцатого столетия

и не определяемые. Структуры характеризуются свойствами, касающимися отношений и функций, которые действуют в структурах. Однако ни концепция истинности, ни концепция свойств не анализируются. Структуры различаются числом и типом операций и отношений, но не говорится также, что представляют собой операции или отношения. Они понимаются как первичные логические концепции. Математика выделяет некоторые специфические операции и отношения, формулируя их свойства через формулы или условия, как могло бы быть для отношений порядка, частичного порядка, эквивалентности. Не только представление структур, но также и их изучение проводятсязатемсемантическинеформальнымобразом.

Проблема с этим обращением к неформальной семантике заключается в том, что при этом проявляется слишком неприкрытый отказ от признания результатов (даже если только в смысле культуры, а не математики), которые являются всеобщим достоянием. В двадцатом веке логика строго определила семантику, проанализировала ее концепции и сделала это в математических терминах, в частности, теоретико-множественных. Конечно, язык семантики остается неформальным умышленно, но он все равно является очень близким к теоретико-множественному или напоминает его. Прибежище в неформальном, кажется, означает тогда, что математика изучает то, что изучает.

Другое решение – совсем избежать семантических рассуждений и сказать, что структуры характеризуются аксиомами. В этом случае для задания некоторой структуры при помощи символических записей постулируются условия, которые должны быть удовлетворены со стороны операций и отношений. «Удовлетворены» также является семантическим термином, но использованным лишь как оборот, содержащий следующий намек: свойства структур состоят сейчас в следствиях, выводимых из аксиом. Тогда структурализм окрашивается в цвета формализма или же может быть спутан с дедуктивизмом. Позицию формализма принял, к примеру, Бурбаки1.

1 N. Bourbaki, L’architecture des mathématiques, in F. Le Lionnais, Les grands courants de la pensée mathematique, уже цит., pp. 35–47 ; английская

208

Структурализм

Для сохранения структурализма как независимого направления необходимо все-таки сказать, что есть структуры, даже если Бурбаки, как мы видели, нетерпим и саркастичен по этому поводу. Философы в соответствии со своими обязанностями обсуждают, как должны были бы встраиваться структуры в ансамбль бытия, где они вплоть до последнего времени отсутствовали: так как многим они представляются чем-то отдельным, они кажутся близкими к свойствам; еще один ржавый инструмент, который достается с онтологического чердака – универсалии ante rem2.

Структуры, о которых говорят современные математики, отнюдь не упали с неба платонизма, а родились в ходе истории. Математики не сразу заметили, что то, чем они занимались (или что изучали), были структуры (или построение структур) или, лучше сказать, что самым подходящим словом для выражения того, чем они занимались или что изучали, было слово «структура». Чтобы проследить постепенное становление структурной перспективы, нужно вспомнить историю математики девятнадцатого и начала двадцатого века3.

Достаточно было бы сказать, что математики боролись с бедностью языка для выражения того, что зарождалось у них на глазах, но для чего не было подходящего слова, поскольку никогда это не представлялось столь значительным. Они должны были выразить то, что находили общего в разных теориях или областях изучения, которыми они занимались. До того, как появились сюрпризы логики, термины «теория» и «область» использовались вза-

версия – The architecture of mathematics, in Amer. Math. Monthly, 57, 1950, pp. 221–232.

2S. Shapiro, Talking about Mathematics, уже цит., pp. 263–264.

3Подборку материалов для изучения структурализма можно найти в

L. Vercelloni, Filosofia delle strutture, Firenze, La Nuova Italia, 1988. С матема-

тической точки зрения см. J. Dieudonné, The difficult birth of mathematical structures (1840–1940), in Scientific Culture in the Contemporary World, под ред.

V. Mathieu, P. Rossi, специальный выпуск Scientia, 1979, pp. 7–23, и J. Guérindon, J. Dieudonné, L’algèbre depuis 1840, in Abrégé d’histoire des mathématiques, под ред. J. Dieudonné, Paris, Hermann, 1978, vol. I, pp. 91–127;

см. также G. Lolli, La matematica: i linguaggi e gli oggetti, уже цит., и Le ragioni fisiche e le dimostrazioni matematiche, уже цит., гл. 1.

209