Материал: Lolli_Filosofia_matematiki-1

Логицизм

да говорит о наименьшем множестве, замкнутом относительно следования. Определение же порождения Фреге рассматривает наименьшее транзитивное отношение, которое распространяет данное отношение, т.е. то же самое отношение следования. Следовательно, в некотором смысле Фреге удалось лучше, чем Дедекинду, представить конструкцию, основанную на фундаментальном принципе счета. С параграфа 79 и далее, когда Дедекинд уже может пользоваться теоремой о рекурсии, оба изложения идут, в действительности, параллельно.

Цель Фреге, как, впрочем, и Дедекинда, заключалась в том, чтобы показать, в противовес Канту, что арифметические истины – аналитические априори. Дедекинд не упоминает Канта, однако его замечания по поводу факта, что числа не базируются на интуиции, являются весьма показательными, проявляя его взгляды и ориентиры. С другой стороны, в то время еще изучали философию.

Логицизм должен бы избегать несоизмеримости между объектами и познающим субъектом, поскольку один и тот же субъект сначала определяет объекты, а затем их изучает. При этом не должно быть смущения по поводу отсутствия гарантированности эпистемологического доступа к конструкциям, порожденным разумом, так как эпистемологический доступ заключается только в выводе следствий из определений8.

Имеются и другие вопросы, которые не дают покоя. Необходимо уточнить, что хотелось бы получить и что получается при помощи некоторого определения. Если «определить» означает «выделить» одну из многих сущностей, существующих до этого, то мы вновь впадаем в реализм, и определения не имеют никакой другой функции, кроме указания на какую-то вещь или ее описания. И не важно, полные они или нет, поскольку их всегда можно расширить и улучшить. Если «определить» означает «свободно создавать» (или создавать только с условием непротиворечивости)

втом смысле, что все подлежащее определению приобретает свое существование только в момент определения и существует только

вопределении, тогда, когда тщательно исследуются сами определения, обнаруживаются трудности, непредвиденные простой он-

8 См. выше, раздел Методология, стр. 72, сноска 5.

165

Философия математики: наследие двадцатого столетия

тологической проблематикой. Возникает, к примеру, проблема непредикативности.

Определение некоторого объекта называется непредикативным, если оно ссылается на совокупность объектов, к которой будет принадлежать и тот, который хотелось бы определить. Ссылаться означает использовать универсальную квантификацию на такой совокупности. В обычной речи на этой особенности практически никогда не акцентируется особое внимание, поскольку обычно не определяется ни что другое, кроме существующих вещей, и через определение они лишь выставляются в определенном свете. Фраза «лучший студент группы» определяет непредикативным образом некоторого студента, ссылаясь на его группу. Когда определения конструируют, использование непредикативного определения может подвергаться сомнению и отторжению.

Определение натуральных чисел является непредикативным. Оно формулируется посредством оборота «наименьшее замкнутое множество …», определяемое пересечением всех замкнутых множеств, среди которых оказывается результирующее множество натуральных чисел. Чтобы почувствовать проблему непредикативности, нужно на практике увидеть, где и как она встречается. Математики, впервые столкнувшись с этой проблемой, не обратили на нее большого внимания, поскольку никогда бы не отказались от привычной операции обобщенного пересечения множеств. Со временем проблема произвела впечатление, так как она проявилась в виде многочисленных антиномий, одним словом, всего того, что известно под названием «порочный круг». На непредикативность возложили ответственность за все антиномии, против нее решительно выступил Пуанкаре, который имел большой авторитет и влияние, и убедил Рассела в уместности избежать ее. Однако обходиться без непредикативных определений весьма сложно, и Рассел мучительно, но безрезультатно, пытался найти выход, пробуя различные возможности, от радикального отказа от классов до различных попыток усовершенствований, к примеру, при помощи разветвленной теории типов и аксиомы сводимости.

Так сформировался предикативизм, являющийся еще одной альтернативной философией математики. Нужно владеть большой

166

Логицизм

технической изощренностью, чтобы развивать это направление и оценить его. Оно предполагает реконструкцию частей математики с использованием логики, более слабой, чем обычная, и, как следствие, рассматривается в рамках конструктивизма. Из-за значительного внимания, уделяемого специфическому, тонкому использованию логики, конструктивизм мог бы быть также отнесен к логицизму, однако слабые логики не в состоянии определить фундаментальные математические понятия, которые, следовательно, должны подлежать логической трактовке из других конструктивных источников, как мы увидим это в дальнейшем.

Наиболее значительным представителем предикативизма был Г. Вейль, который показал, как и в какой мере нужно развивать Анализ в предикативной манере9. В этом случае нужно избегать необдуманного применения теоремы Больцано–Вейерштрасса. Предикативизм является хорошей точкой зрения для оценки того, что означало бы в математике использование одной логики по сравнению с другой.

Сама логика, следовательно, становится объектом изучения и реконструкции. В процессе этой работы обнаруживаются новые проблемы разной степени сложности, к примеру, проблема бесконечности. Спрашивается, учитывая ее фундаментальное значение в определениях математических объектов, является ли «бесконечность» логическим понятием? У Дедекинда предполагается, что существует хотя бы одно бесконечное множество. Рассел долго пытался доказать это. Дедекинд даже сформулировал и доказал «Теорему о существовании бесконечных систем», предлагая в качестве примера множество S своих мыслей и используя аргумент, что если s есть мысль, а s' указываетмысль, что s можетбытьобъектоммысли, то имеетсяфункция следования во множестве мыслей. Если доказательство Дедекинда не принимается, то необходимо постулировать существование бесконечного множества. Если же существование постулируется, то «бесконечность» уже не кажется логической концепцией. Теория множеств со своими аксиомами существования не должна бы быть ча-

9 H. Weyl, Das Kontinuum, Leipzig, Veit, 1918; итал. перевод Il continuo, под ред. A.B. Veit Riccioli, Napoli, Bibliopolis, 1977.

167

Философия математики: наследие двадцатого столетия

стью логики, в которой должны иметься, самое большее, принципы для определения понятий исходя из других понятий, однако фактически даже в логике пришлось принять предположения, обсуждающие существование.

Таким образом, логика встраивается в теорию множеств. В свое время логика намеревалась заключить в себе то, что затем стало теорией множеств. Логика у Фреге была логикой высшего порядка, или теорией типов10, в которой можно было квантифицировать сущности любого порядка. Сам Фреге соглашался, что принципы собирания и соответствия, использованные Дедекиндом, были близки по духу его пресловутой аксиоме (или основному закону, Grundgesetz) V неограниченного понимания, из которой следует антиномия Рассела. Дедекинд в предисловии к третьему изданию (1911) своего труда отмечает сомнения, которые возникли в последнее время по поводу обоснованности его построения. Ясно, что он подразумевает проблемы теории множеств. Его вера во внутреннюю гармонию нашей логики, однако, не пошатнулась. Он заявляет, что последующие строгие исследования способности нашего духа создавать новые определенные сущности, опираясь на определенные элементы, позволят правильно оценить его труд. Это представляется ни чем иным, как еще одним способом выражения уверенности, что теория множеств будет приведена в систему надлежащим образом. В то время аксиомы Цермело были совсем недавно (в 1908 году) предложены и лишь начинали формировать всеобщий консенсус вокруг себя.

Теория множеств имеет сегодня формулировку, которая принимается большинством математиков, поскольку представляется для них именно математической теорией, что объясняет, возможно, с одной стороны, ее признание как фундаментальной, основополагающей теории, а с другой – подозрение в том, что она не является логической теорией.

10 По поводу системы Фреге и теории типов см. W.S. Hatcher, Foundations of Mathematics, Philadelphia, Saunders, 1968; итал. перевод Fondamenti della matematica, Torino, Boringhieri, 1973.

168

Логицизм

Те, кто утверждает, что математика развивалась и должна развиваться в рамках теории множеств, представляются, в целом, наследниками логицизма.

Все знают, что логицизм верен наполовину. Правильна в нем идентификация математики с теорией множеств… Ошибочной является его эпистемология11.

Эпистемология логицизма не ошибочна, а, скорее, находится в подвешенном состоянии. Различие между логикой и теорией множеств состоит не столько, может быть, в фактическом содержании аксиом, сколько в их выборе, который не является логическим, поскольку он оппортунистический. Ограничения аксиомы V кажутся продиктованными чисто прагматическими соображениями, которые призваны обойти парадоксы (даже в теориях, полностью отличных от ZFC, как, например, у Куайна12). Все представляется иным образом для тех, кто верит в кумулятивную иерархию, но они являются платонистами.

Кроме того, математическая теория множеств сформулирована в логике первого порядка, и присутствует феномен релятивизма моделей. Это также является проблемой, которая касается определений, проблемой единственности. Фреге полагал, что при отсутствии единственности аксиомы не могут предъявлять определения. Определить такое понятие, как «число» или «континуум», означает дать определение, которое имело бы одну единственную реализацию, если рассматривается семантическое соотношение между определяющей формулой и тем, что определено. В логике первого порядка нет категоричных теорий (то есть теорий с одной единственной моделью) за исключением нескольких банальных. Если категоричность является целью, то необходимо искать какую-то другую логику. Как уже было сказано, только логика второго порядка или высшего порядка могла бы, кажется, обеспечить единственность таких структур, как натуральные числа или кумулятивная иерархия. Сторонники логики первого порядка возражают, что

11N.D. Goodman, Mathematics as an Objective Science, уже цит.

12W.O. Quine, New foundations for mathematical logic, in Amer. Math. Monthly, 44, 1937, pp. 70–80.

169