Материал: Lolli_Filosofia_matematiki-1

Философия математики: наследие двадцатого столетия

Логицизм обычно воспринимается как философия философской математики или, по крайней мере, в соответствии с названием, как логика, разработанная логиками. Бурбаки не имел никакого уважения к Расселу, поскольку не считал его математиком. Однако в действительности именно математик, Р. Дедекинд (1831–1916), должен считаться основателем логицизма, поскольку именно он добился самого большого успеха в этом направлении, предложив вариант определения натуральных чисел, принятый почти всеми математиками, поскольку он обосновывал принцип индукции.

«Самая простая из всех наук», по словам Дедекинда, должна былаожидатьдолгоевремя, преждечем прояснилисьееоснования2:

Ничто в науке из того, что может быть подвергнуто проверке или доказательству, не должно приниматься без этого. Хотя это требование и кажется разумным, я не могу утверждать, что оно учитывалось даже в самых последних попытках, направленных на закладывание основания самой простой из всех наук, то есть той части логики, которая касается теории чисел. Говоря об арифметике (алгебре, анализе) как части логики, я хочу дать понять, что рассматриваю концепцию числа, совершенно независимую от понятий, в том числе интуитивных, пространства и времени. Мой ответ на вопрос, вынесенный в заголовок этой работы, будет поэтому следующим: числа являются свободными творениями человеческого разума …

Только посредством чисто логического процесса выстраивания науки о числах вплоть до достижения континуума мы адекватно подготовимся к изучению понятий пространства и времени, поставив их в отношение с этой числовой областью, порожденной в нашем разуме.

Не будем останавливаться и дискутировать по поводу того, что представляла собой логика времен Дедекинда, и обсуждать его употребление слова «разум», которое вскоре будет запрещаться

2 R. Dedekind, Предисловие к первому изданию Was sind und was sollen die Zahlen (1887), ed. ingl. in R. Dedekind, Essays on the Theory of Numbers, New York, Open Court, 1901, переиздание New York, Dover, 1963; итал. пере-

вод Che cosa sono e a che cosa servono i numeri?, in R. Dedekind, Scritti sui fondamenti della matematica, Napoli, Bibliopolis, 1982, pp. 79–128.

Примечание переводчика: существует перевод цитируемой работы на русский язык: Дедекинд Р. Что такое числа и для чего они служат. – Ка-

зань: Изд. Императорского университета, 1905.

160

Логицизм

как психологизм. Фреге был его современником, и новая логика еще не существовала. Сам Дедекинд объяснял, что этим термином намеревался исключить интуицию, которая в его время понималась совсем не так, как ее понимают платонисты сегодня, а скорее как геометрическая и кантианская. Мы встретим термин «творения разума» и в других контекстах и перспективах.

Далее Дедекинд отмечал, что исходя из наблюдения происходящего в счете «мы вынуждены рассматривать способность разума приводить одни вещи в соотношение с другими вещами, полагать, что одна вещь соответствует другой, или представлять одну вещь посредством другой. Без такой способности мышление невозможно. Вся наука о числе, по моему мнению, должна базироваться на этом уникальном и потому совершенно необходимом основании».

Он уже отмечал3:

Я рассматриваю всю арифметику как необходимое или, по крайней мере, естественное следствие самого простого арифметического акта, а именно

– счета, а сам счет есть не что иное, как последовательное создание бесконечного ряда целых положительных чисел, в котором каждый член определен тем, который ему непосредственно предшествует. Самый простой акт состоит в переходе от уже сформированного элемента к последующему новому члену, который должен быть создан.

Однако простого повторения самого простого акта не достаточно, как это будет, напротив, для Брауэра. Структура натуральных чисел не создана бесконечным количеством креативных актов, это уникальный акт создания всей цепочки. Этот фундаментальный переход снимает все трудности и двусмысленности предыдущих попыток; он был понят и осуществлен как Дедекиндом, так и Фреге4. И действительно «цепь этих чисел представляет

3Stetigkeit und Irrationale Zahlen (1872), in Essays, уже цит., pp. 1–27; итал. перевод Continuità e numeri irrazionali, in R. Dedekind, Scritti sui fondamenti della matematica, уже цит., pp. 63–78; рус. перевод Р. Дедекинд, Непрерывность и иррациональные числа, Одесса, Матезис, 1923 (– прим. переводчика).

4Приходит на ум теологическая полемика по поводу уникальности или множественности божественных актов творения. Можно сказать, что для математики важен один единственный акт создания структуры. В этом кон-

161

Философия математики: наследие двадцатого столетия

собой инструмент, исключительно полезный для человеческого разума. Она предоставляет неисчерпаемое богатство значимых законов, полученных посредством введения четырех фундаментальных арифметических операций». Эти операции, обоснованные и ставшие возможными благодаря теореме о рекурсии, которая сама следует из определения Дедекиндом структуры натуральных чисел, являются источниками последующих числовых расширений базовой структуры, доказывая, таким образом, что «все числа созданы человеческим разумом».

Напомним кратко стратегию Дедекинда. Он начинает, предлагая определение «бесконечности» как множества, которое допускает свою инъекцию в себя же. Затем определяет систему натуральных чисел как наименьшее, за исключением изоморфизмов, бесконечное множество, то есть как самое маленькое множество, обладающее инъекцией в себя, которая представляет собой функцию «следующий»; это множество имеет один единственный элемент, который не принадлежит области значений, а именно – ноль. Принцип математической индукции является прямым следствием этого определения, так же, как и теорема о рекурсии, хотя она не столь очевидна.

Определение Дедекинда можно интерпретировать с небольшими вариациями расстановки акцентов как определение, данное на основе теории множеств, или как определение некоторой структуры (он использовал слово «система»), или аксиоматическим методом. Все эти возможности тогда еще не разделялись на отдельные альтернативы. Неслучайно Пеано даст независимым от Дедекинда образом те же самые принципы в виде аксиом, но эти детали5 в данном контексте нас не интересуют, а важны предварительные соображения Дедекинда6.

тексте можно также спросить, а не клонированием ли производятся нестандартные модели?

5За деталями можно обратиться к G. Lolli, Dagli insiemi ai numeri, уже цит., cap. 4.

6То, как он пришел к определению, Дедекинд объяснял в известном письме к Кеферстайну (H. Keferstein), опубликованном на английском в ан-

тологии под ред. J. Van Heijenoort, From Frege to Gödel, Cambridge, Mass., Harvard Univ. Press, 1967, pp. 98–103.

162

Логицизм

Эти записки могут быть понятны каждому, кто имеет то, что обычно называется простым здравым смыслом. Для этого не требуется никаких специальных знаний, ни философских, ни математических. Я отдаю себе отчет, однако, что многие читатели с трудом признают в неизвестных формах, которые я представляю им, числа, сопровождавшие их всю жизнь как верные и близкие друзья. Они испугаются длинных [не такие уж длинные, речь идет всего лишь о 59 страницах – прим. автора] последовательностей простых выводов, которые соответствуют нашему восходящему пониманию, испугаются фактического раскрытия цепочек рассуждения, от которого зависят законы чисел. Они потеряют терпение от того, что будут вынуждены проследить от начала до конца доказательства истинности, которые, в то же самое время, очевидны и неоспоримы. Все же, именно в этой возможности сводить такие истины к другим, более простым, вследствие того, что не важно, насколько длинны и внешне искусственны последовательности выводов, я признаю убедительное доказательство того, что владение ими или вера в них не даны внутренним сознанием, а добываются всегда только посредством более или менее полного повторения отдельных единичных выводов… Так, начиная с рождения и далее во все возрастающей степени, мы вынуждены соотносить одни вещи с другими вещами и использовать способность разума, от которой зависит, собственно, создание числа. Посредством постоянных упражнений такого рода, даже без какой-либо определенной цели, в раннем детстве и при последующем формировании суждений и цепочек умозаключений мы приобретаем багаж реальных арифметических истин, на которые в дальнейшем наши учителя ссылаются как на что-то простое, очевидное, данное во внутреннем сознании. Таким образом, случается, что многие сложные понятия (как понятие количества некоторой совокупности вещей) ошибочно считаются простыми.

Много интересного вытекает из этого обсуждения Дедекинда помимо, прежде всего, факта, который представляет и отражает, как не признается правильным то, что делали ученые. Обращает на себя внимание тезис, что базовым логическим понятием является «соответствие». Сегодня мы могли бы сказать «морфизм» и записать Дедекинда в сторонники оснований теории категорий. Еще один момент, который необходимо подчеркнуть, заключается в том, что это понятие логическое, но приобретается оно посредством практики и повторения. Он думал об интериоризации сложных понятий в знакомых терминах и, в этом смысле, простых, принадлежащих внутреннему опыту. Логическая реконструкция понятий, к которым мы привыкли, вновь подтверждает то, что ин-

163

Философия математики: наследие двадцатого столетия

териоризация предшествует логической реконструкции. Формальные неясности – неизбежное следствие редукционизма. Дедекинд предлагает также интересную, хотя и сомнительную, гипотезу по поводу овладения детьми концепцией числа, параллельную и обратную его аналитической реконструкции.

Наконец, Дедекинд предвосхищает ответ на замечание, касающееся того факта, что логическое представление чисел ведет к увеличению длины доказательств. Замечание (которое в действительности будет сделано сначала Витгенштейном, а затем эмпиристами), относящееся к феномену, который Дедекинд, кажется, полагал естественным.

В1893 году в предисловии ко второму изданию «Что такое числа…» Дедекинд объяснял, как он год спустя после опубликования своего труда, содержание которого он, кстати, улучшал не-

сколько лет, познакомился с работой Фреге Die Grundlagen der Arithmetik, появившейся в 1884 году7. Дедекинд признавал различия как в представлении материала, так и в фундаментальной постановке. Действия над системами, выполненные им, были того типа, который и использовался в те годы, и в дальнейшем были встроены в теорию множеств, тем не менее, он отметил, что имеются «точки соприкосновения» между двумя работами, особенно, начиная с §79 (Дедекинда) и далее. Это признание – значительная заслуга, поскольку работа Фреге оставалась непонятой и неизвестной многим.

Всвоей работе Фреге вводит понятие порождения какоголибо отношения, в дальнейшем названное транзитивным замыканием отношения, и определяет совокупность натуральных чисел через порождение отношения следования, которое, в свою очередь, явно определено в логической терминологии Фреге относительно понятий в терминах соответствий и из которого вытекает его знаменитое определение, что каждое число есть понятие понятий. Однако не определение отдельных чисел является существенным, а определение всей цепочки в целом. Определение Дедекин-

7 G. Frege, Die Grundlagen der Arithmetik, Breslau, Köbner, 1884; итал.

перевод I fondamenti dell’aritmetica, in Logica e aritmetica, уже цит., pp. 211– 349.

164