Материал: Lolli_Filosofia_matematiki-1

Философия математики: наследие двадцатого столетия

ции определимости, которая стремится признавать только определимые математические объекты. Она противостоит комбинаторной традиции, которая рассматривает бесконечные объекты как финитные и подверженные тем же самым операциям, естественно усиленным или идеально повторенным бесконечное число раз. Используемая терминология принадлежит П. Бернайсу. Комбинаториализм, определенный таким образом, порождает платонистическую тенденцию. В процессе исторического развития математики и, в первую очередь, Анализа, начиная с XVIII столетия в ходе дискуссии об определении функции выявилась превалирующая идея о том, что внимание исследователя должно быть сосредоточено не только на определимых функциях. Однако выводы сторонников комбинаторной традиции слишком поспешны. В действительности же по мере того, как старые определения перестали отвечать новым областям, были предложены другие определяющие принципы, от рядов до двойных рядов, до их трансфинитнойитерации, каквиерархииБэравконцеXIX века.

У аксиомы конструируемости есть соперницы – другие аксиомы, которые утверждают иное и имеют другие следствия, как, например, аксиомы о больших кардиналах, начиная с измеримых и далее. Как и все, Мэдди отмечает, что превалирует выбор, отличный от V=L, интерпретируя это как методологический или философский выбор, однако на практике это часто лишь выбор тех, кто хочет оправдать собственную работу. По поводу V=L специалист в теории множеств знает почти все. Другие математики просто должны научиться использовать V=L. Новые же аксиомы являются актуальными объектами проводимых исследований.

Для того чтобы найти некоторую рациональность в выборе, противоположном к V=L, Мэдди предлагает два методологических принципа, или правила, которые вдохновили бы математиков. Первое – унификация, то есть стремление ограничивать размножение альтернативных теорий по поводу неразрешимых высказываний, осуществляя ясные выборы новых дополнительных аксиом. Второе – императив максимизации. Как должен относиться математик к этому моральному долгу максимизации и зачем он нужен

– не совсем ясно, кажется, все это лежит за пределами круга его рабочих обязанностей. Если речь идет о максимизации теорем, то

150

Натурализм

V=L является отличным кандидатом, поскольку разрешает элегантным и содержательным образом многие вопросы.

Мэдди подхватывает канторовский девиз о свободной математике, без каких бы то ни было ограничений, и такой подход может также сегодня допускать максимизацию теорий в противовес принципу унификации. Она же утверждает, что специалист по теории множеств хочет максимизировать количество множеств, существование которых можно доказать. Если это верно, то накладывается условие, что на каждой стадии образования универсума все возможные на этой стадии множества формируются на ней. Предикативная аксиома V=L не соблюдает это условие.

Оправдание императива максимизации коренится, однако, в точке зрения, согласно которой теория множеств служит в качестве основания математики и, следовательно, должна быть в состоянии строить конструкции (теоретико-множественные аналоги) всего того, с чем имеет дело математика. Иного обоснования не видно, за исключением, возможно, некоторых версий платонизма, которые, однако, не задумывались с точки зрения подобного натурализмом. Если теория множеств задается подобной целью и чувствует ответственность за основания, тогда некоторый принцип, который не сводился бы к существованию, был бы, в действительности, более разумным. Однако не все математики поддерживают эту идею, даже среди тех, кто работает в области теории множеств и кто является скорее математиком, чем логиком. В любом случае кажется, что этот выбор не порожден внутренней методологией теории, а мотивирован перспективой обоснования математики, которая исторически оправданна.

Кроме того, Д. Мартин (Donald A. Martin), как адвокат дьявола, коварно нашел пример одного типа множеств, который гарантируется V=L, а не аксиомами-соперницами, которые, в общем, являются более мощными. Для нейтрализации этого контрпримера Мэдди должна изворачиваться посредством некоторого специального определения, чрезвычайно ненатурального, касающегося расширения одной теории по отношению к другой. Это определение вовлекает тонкие и сложные особенности внутренних моделей

151

Философия математики: наследие двадцатого столетия

этих теорий (так же, как и пример Мартина). Мы не будем здесь углубляться в подобные нюансы и обсуждать, насколько все это удалось или нет. В данном контексте кажется более важным отметить, что, в итоге, требование Мэдди по поводу использования только рациональных и внутренних методологических критериев для развития какой-либо научной дисциплины остается сомнительным и требующим дальнейшего обсуждения.

В отношении проблемы определимости нельзя не отметить один факт, оставленный Мэдди без внимания и имеющий отношение к затруднениям, связанным с принятием аксиомы V=L. Вероятно, математики ее не приняли или не любят именно потому, что она основана на концепции определимости и для своего применения требует логического умения пользоваться техникой предикативного определения, которое математики не хотят включать в свой багаж знаний.

Это очень любопытно и характеризует важный аспект математики двадцатого века. С одной стороны, стараниями Гёделя определимость окончательно вошла в математику6, с другой стороны, математики, которые два столетия преследовали ее мираж, оказались сегодня в ситуации нежелания и неумения это использовать по причине ее лингвистической природы, которая, отчасти, все еще является чуждой их менталитету.

Отдать принятие решений ученым не представляется, следовательно, тем же самым, что оставить эту функцию за наукой. Оправдывая свой выбор утилитарностью, ученые могут испытывать влияние культурных и социальных факторов, профессиональных интересов, практических компромиссов и, как говорится сегодня, сделок, что может привести к оценке натурализма как субъективистской и релятивистской философии7. Этим не отрицается, а, наоборот, возможно, и подтверждается то, что научный метод не представляет собой ничего большего, чем подобная принятая социальная практика. Такая нехитрая уловка является, вероятно, од-

6См. G. Lolli, Definability before and after Gödel, in Changing Images in Mathematics, под ред. U. Bottazzini, A. Dahan Dalmedico, London, Routledge, 2001, pp. 207–221 и также G. Lolli, Da Zermelo a Zermelo, уже цит.

7По поводу постмодернистского релятивизма см. G. Lolli, Beffe, scienziati e stregoni, уже цит.

152

Натурализм

ной из причин успеха релятивизма или, по крайней мере, интереса, с которым он рассматривается в рамках эмпиристского подхода, обсуждаемого далее.

Четкое различие между математиками, с одной стороны, и философами, занимающимися предписаниями, с другой стороны, на практике может быть не столь явным. В процессе осуществления своих методологических выборов математики могут руководствоваться принципами, которые несводимы только к чистому развитию математики, так же как философы могут учитывать уроки практики.

Напомним, к примеру, что Вейль был сторонником предикативизма, то есть методологического направления, обреченного, по мнению Мэдди, на неудачу. Он поддерживал этот выбор не по поверхностным философским соображениям, а обосновывал его с привлечением, можно сказать, одной из форм натурализма (в дальнейшем рассмотрим и другую мотивацию)8.

Гёдель со всей своей верой в трансцендентальную логику любит думать, что наша логическая оптика лишь чуть-чуть расфокусирована и с помощью некоторой настройки мы сможем видеть четко, и тогда все будут согласны, что мы все видим правильно. Но кто не разделяет эту веру, остается смущенным высокой степенью неявной произвольности в такой системе, как Z, или даже в системе Гильберта9. Насколько более убедительными и близкими к фактам являются эвристические аргументы и последующие системные конструкции, которые имеют место в общей теории относительности Эйнштейна или в квантовой механике Гейзенберга–Шредингера! Настоящая реалистическая математика должна бы создаваться в соответствии с физикой как направление теоретического конструирования реального мира и придерживаться в отношении гипотетических расширений своих оснований такого же умеренного и осмотрительного подхода, который присущ физике.

8 H. Weyl, Philosophy of Mathematics and Natural Science, Princeton, Prinseton Univ. Press, 1949; итал. перевод Filosofia della matematica e delle scienze naturali, Torino, Boringhieri, 1967, p. 289. Книга представляет собой расширенное издание Philosophie der Mathematik und Naturwissenschaft, München, Leibniz Verlag, 1926.

9 Z представляет собой систему аксиом Цермело для теории множеств; система Гильберта представляет собой систему арифметики высшего порядка, к которой Гильберт хотел применить свою теорию доказательства [прим. автора].

153

Философия математики: наследие двадцатого столетия

Напомним знаменитое пари, заключенное между Вейлем и Д. Пойа (George Polya) в 1918 году10. Вейль выиграл бы, если бы в течение двадцати лет начиная с момента спора Пойа согласился бы отказаться от теоремы, согласно которой каждое бесконечное множество имеет счетное подмножество (что требует аксиому выбора) и от положения, что каждое ограниченное множество действительных чисел имеет верхний предел (непредикативный). В 1940 году все судьи, кроме Гёделя, все еще не убежденного в том, что идея множества прояснена для того, чтобы он мог высказать свою точку зрения, сошлись во мнении, что Пойа выиграл.

Вышеприведенное видение Вейля предваряет, с учетом всех прочих мотивировок, позицию Куайна, которую можно рассматривать как еще одну версию натурализма, которую он всегда поддерживал в соответствии со своей философией и независимо от явного указания термина «натурализм». Такая позиция научного реализма известна как «аргумент обязательности» и представлена под маркой Куайн–Патнэм.

Для эмпириста Куайна смыслом и целью науки (в которой естественно-научные и философские исследования рассматриваются совместно как неразделимые части одного целого) является обоснование и успешное предсказание чувственного опыта. Знание, встроенное в науку, представляет собой сеть или паутину без швов (англ. seamless web), которая лишь окаймляющей бахромой в некоторых местах касается реального мира. Эта конструкция может рассматриваться и изучаться только комплексно. Никакая часть не может быть отсоединена, рассмотрена отдельно и не может основываться на чем-то отличном от общей способности объяснять опыт. Эмпиризм Куайна является холистским. Математика является частью структуры познания так же, как и наиболее теоретические разделы науки. Невозможно провести четкую разграничительную линию между математикой и теоретическими науками, на которые она оказывает влияние и через которые принимает участие в процессе познания. Она далека от периферии, которая контактирует с реальностью, однако принимается из-за того зна-

10 Рассказано в Hao Wang, From Mathematics to Philosophy, New York, Humanities Press, 1974.

154